Страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

В предыдущем пункте мы полностью и подробно изучили уравнения вида $sin x = a$. Результатом стала таблица формул, в которой рассмотрены все возможные значения $a$. Попробуйте самостоятельно получить аналогичную таблицу для уравнений вида $cos x = a$.

Для составления таблицы решений уравнения вида $cos(x) = a$, необходимо проанализировать его в зависимости от значения параметра $a$.

Основное свойство функции косинус заключается в том, что её область значений — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого угла $x$ выполняется неравенство $-1 \le cos(x) \le 1$.

Случай 1: $|a| > 1$

Если модуль параметра $a$ больше единицы (то есть $a > 1$ или $a < -1$), уравнение $cos(x) = a$ не имеет решений в действительных числах, так как значение косинуса не может выходить за пределы отрезка $[-1; 1]$.

Ответ: $x \in \emptyset$ (корней нет).

Случай 2: $|a| \le 1$ (Общая формула)

Если параметр $a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, уравнение имеет решения. Для их нахождения используется понятие арккосинуса. Арккосинус числа $a$ ($arccos(a)$) — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

На единичной окружности прямой, соответствующей значению косинуса $a$, отвечают два симметричных относительно оси абсцисс угла: $arccos(a)$ и $-arccos(a)$. Учитывая, что косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно найти, прибавив к этим двум углам $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, общая формула для корней уравнения имеет следующий вид.

Ответ: $x = \pm arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Частные случаи

Для некоторых значений $a$ общую формулу можно представить в более простом виде. Эти случаи часто встречаются в задачах.

Уравнение $cos(x) = 1$

Используя общую формулу: $x = \pm arccos(1) + 2\pi n$. Поскольку $arccos(1) = 0$, получаем $x = \pm 0 + 2\pi n$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $cos(x) = -1$

Используя общую формулу: $x = \pm arccos(-1) + 2\pi n$. Поскольку $arccos(-1) = \pi$, получаем $x = \pm \pi + 2\pi n$. Обе серии корней ($x = \pi + 2\pi n$ и $x = -\pi + 2\pi n$) описывают одни и те же точки, поэтому их можно объединить.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $cos(x) = 0$

Используя общую формулу: $x = \pm arccos(0) + 2\pi n$. Поскольку $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, получаем $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Эти две серии точек на единичной окружности расположены на расстоянии $\pi$ друг от друга, поэтому их можно объединить в одну более компактную формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Итоговая таблица формул для решения уравнения $cos(x) = a$ выглядит следующим образом.