Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 7

Рассуждения для решения уравнения вида $ctg x=a$ аналогичны только что приведенным для уравнения $tg x=a$ (рис. 7). Просто вместо оси тангенсов используется ось котангенсов. Проведите рассуждения самостоятельно и получите ответ: $x=arcctg x+\pi k$, где $k \in Z$.

Рис. 7

Формулы для корней уравнений $tg x=a$ и $ctg x=a$ приведены в следующей таблице.

$tg x=a$   $x=arctg a+\pi k$

$ctg x=a$   $x=arcctg a+\pi k$

Рассуждения для решения уравнения вида ctg x = a

Для решения тригонометрического уравнения $ctg x = a$ используется геометрическая интерпретация на единичной окружности. По определению, котангенс угла $x$ — это абсцисса (координата по оси $x$) точки пересечения луча, соответствующего углу $x$ (или его продолжения), с осью котангенсов. Ось котангенсов — это прямая, заданная уравнением $y=1$, которая является касательной к единичной окружности в точке $(0, 1)$.

Чтобы найти углы $x$, для которых $ctg x = a$, нужно на оси котангенсов ($y=1$) отметить точку $P$ с абсциссой, равной $a$. Координаты этой точки будут $(a, 1)$.

Далее, через начало координат $O(0, 0)$ и точку $P(a, 1)$ проводится прямая. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках. Углы, соответствующие этим точкам, и будут решениями исходного уравнения.

Одно из этих решений по определению является главным значением и называется арккотангенсом числа $a$. Арккотангенс $a$ (обозначается $arcctg(a)$) — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$. На окружности ему соответствует точка пересечения в верхней полуплоскости (в I или II координатной четверти). Обозначим этот угол как $x_1 = arcctg(a)$.

Вторая точка пересечения прямой $OP$ с окружностью является диаметрально противоположной первой. Угол, соответствующий этой второй точке, отличается от первого на $\pi$. То есть, $x_2 = x_1 + \pi = arcctg(a) + \pi$.

Поскольку функция котангенса является периодической с наименьшим положительным периодом $\pi$, все решения уравнения повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Следовательно, все множество корней можно описать одной формулой, прибавляя к главному значению $arcctg(a)$ целые кратные периода $\pi$.

Ответ: $x = arcctg(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.