Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

16. (3) Определите сумму корней уравнения $2 \cos \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{3} = 0$, принадлежащих интервалу $(-\pi; 2\pi)$.

Сначала решим данное тригонометрическое уравнение. Преобразуем его, выразив косинус:
$2 \cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{3} = 0$
$2 \cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$
$\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для него находится по формуле:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем совокупность уравнений:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad$ или $\quad \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Теперь решим каждое уравнение из совокупности относительно $x$.
Для первого уравнения:
$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3x}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{10\pi}{36} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.
Для второго уравнения:
$\frac{3x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3x}{2} = \frac{-2\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{36} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.

Теперь необходимо найти все корни, принадлежащие заданному интервалу $(-\pi; 2\pi)$. Будем подставлять различные целые значения $n$ в полученные серии решений.
Для первой серии корней $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$:
При $n=0$, $x = \frac{5\pi}{18}$. Этот корень принадлежит интервалу, так как $-\pi < \frac{5\pi}{18} < 2\pi$.
При $n=1$, $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi + 24\pi}{18} = \frac{29\pi}{18}$. Этот корень принадлежит интервалу, так как $\frac{29\pi}{18} < 2\pi$.
При $n=-1$, $x = \frac{5\pi}{18} - \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi - 24\pi}{18} = -\frac{19\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит интервалу, так как $-\frac{19\pi}{18} < -\pi$.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{18}$. Этот корень принадлежит интервалу.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18}$. Этот корень также принадлежит интервалу.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{18} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi - 24\pi}{18} = -\frac{23\pi}{18}$. Этот корень не принадлежит интервалу.

Таким образом, мы нашли четыре корня, принадлежащие интервалу $(-\pi; 2\pi)$: $\frac{5\pi}{18}$, $\frac{29\pi}{18}$, $\frac{\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$.

Осталось найти их сумму:
Сумма = $\frac{5\pi}{18} + \frac{29\pi}{18} + \frac{\pi}{18} + \frac{25\pi}{18} = \frac{(5+29+1+25)\pi}{18} = \frac{60\pi}{18}$
Сокращаем полученную дробь:
$\frac{60\pi}{18} = \frac{10 \cdot 6 \pi}{3 \cdot 6} = \frac{10\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{10\pi}{3}$.

15. В следующей последовательности К обозначает красный, Ж – желтый, З – зеленый, Г – голубой, Б – белый цвета.

Если продолжить последовательность, то какой цвет будет следующим?

Г Г К Г К Б Г К Б З Г К Б З Ж Г К Г К Б Г К Б

Для решения задачи необходимо найти закономерность в представленной последовательности букв и определить, какая буква будет следующей.

В условии даны следующие обозначения цветов:

• К: красный
• Ж: желтый
• З: зеленый
• Г: голубой
• Б: белый

Анализируемая последовательность:

Г Г К Г К Б Г К Б З Г К Б З Ж Г К Г К Б Г К Б

1. Поиск закономерности

Для нахождения следующего элемента последовательности необходимо выявить лежащий в ее основе принцип. Можно рассмотреть несколько гипотез.

Одна из возможных гипотез заключается в том, что последовательность строится из последовательно удлиняющихся блоков. Например:

• $P_0 = Г$
• $P_1 = ГК$
• $P_2 = ГКБ$
• $P_3 = ГКБЗ$
• $P_4 = ГКБЗЖ$

Если объединить эти блоки, получится последовательность: $P_0 P_1 P_2 P_3 P_4 = Г ГК ГКБ ГКБЗ ГКБЗЖ$. Результат ГГКГКБГКБЗГКБЗЖ в точности совпадает с первыми 15 символами исходной последовательности. Однако эта закономерность не объясняет оставшуюся часть последовательности (Г К Г К Б Г К Б) и, следовательно, не может считаться верной для всей последовательности.

Другие сложные структурные или рекурсивные закономерности также не удается последовательно применить ко всей строке.

2. Анализ длины последовательности

Рассмотрим самую простую возможную закономерность — цикличность. Для этого посчитаем количество символов в данной последовательности:

Г Г К Г К Б Г К Б З Г К Б З Ж Г К Г К Б Г К Б

Всего в последовательности 23 символа. Число 23 является простым числом (делится без остатка только на 1 и на само себя).

Если последовательность является циклической (периодической), то ее период (длина повторяющегося блока) должен быть делителем общей длины наблюдаемого отрезка. Поскольку длина равна 23, то возможная длина периода — либо 1 (что очевидно неверно, так как символы разные), либо 23.

Таким образом, наиболее вероятная гипотеза состоит в том, что вся приведенная последовательность представляет собой один полный период (цикл). Если это так, то после последнего символа последовательность начнется заново с первого символа.

3. Определение следующего цвета

Исходная последовательность является периодом $P = Г Г К Г К Б Г К Б З Г К Б З Ж Г К Г К Б Г К Б$.

Полная бесконечная последовательность имеет вид $P, P, P, \dots$

Следовательно, символ, следующий за последним символом `Б`, будет первым символом периода $P$.

Первый символ последовательности — это буква `Г`.

Согласно условию, буква `Г` обозначает голубой цвет.

Ответ: Следующим в последовательности будет голубой цвет (Г).

16. В кладовке имеются большие и маленькие коробки. В маленькую коробку помещается только один мяч, а в большую – два. 13 мячей можно разложить по коробкам так, чтобы осталось 9 пустых коробок. 10 мячей можно разложить по коробкам так, чтобы осталось 6 пустых коробок. Сколько коробок в кладовке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $K$ - это общее количество коробок в кладовке. Известно, что в маленькую коробку помещается 1 мяч, а в большую – 2 мяча.

Рассмотрим первую ситуацию: имеется 13 мячей, и после их раскладывания по коробкам остается 9 пустых коробок.
Это означает, что количество использованных коробок равно $K - 9$.
Пусть $b_1$ – это количество использованных больших коробок, а $m_1$ – количество использованных маленьких коробок.
Тогда мы можем составить систему из двух уравнений:
1. По количеству использованных коробок: $b_1 + m_1 = K - 9$
2. По количеству мячей: $2 \cdot b_1 + 1 \cdot m_1 = 13$

Теперь рассмотрим вторую ситуацию: имеется 10 мячей, и остается 6 пустых коробок.
Количество использованных коробок в этом случае равно $K - 6$.
Пусть $b_2$ – это количество использованных больших коробок, а $m_2$ – количество использованных маленьких коробок.
Составим аналогичную систему уравнений:
1. По количеству использованных коробок: $b_2 + m_2 = K - 6$
2. По количеству мячей: $2 \cdot b_2 + 1 \cdot m_2 = 10$

Теперь выразим количество использованных коробок каждого типа ($b_1, m_1, b_2, m_2$) через общее количество коробок $K$.
Для первой ситуации:
Вычтем из второго уравнения первое: $(2b_1 + m_1) - (b_1 + m_1) = 13 - (K - 9)$.
Это дает нам: $b_1 = 13 - K + 9$, то есть $b_1 = 22 - K$.
Подставим найденное значение $b_1$ в первое уравнение: $(22 - K) + m_1 = K - 9$.
Отсюда $m_1 = K - 9 - (22 - K) = 2K - 31$.

Для второй ситуации проделаем то же самое:
Вычтем из второго уравнения первое: $(2b_2 + m_2) - (b_2 + m_2) = 10 - (K - 6)$.
Это дает нам: $b_2 = 10 - K + 6$, то есть $b_2 = 16 - K$.
Подставим $b_2$ в первое уравнение: $(16 - K) + m_2 = K - 6$.
Отсюда $m_2 = K - 6 - (16 - K) = 2K - 22$.

Поскольку количество коробок не может быть отрицательным числом, все найденные значения ($b_1, m_1, b_2, m_2$) должны быть больше или равны нулю. Это дает нам систему неравенств для $K$:
1. $b_1 \ge 0 \implies 22 - K \ge 0 \implies K \le 22$
2. $m_1 \ge 0 \implies 2K - 31 \ge 0 \implies 2K \ge 31 \implies K \ge 15.5$
3. $b_2 \ge 0 \implies 16 - K \ge 0 \implies K \le 16$
4. $m_2 \ge 0 \implies 2K - 22 \ge 0 \implies 2K \ge 22 \implies K \ge 11$

Объединим все эти условия. $K$ должно быть одновременно больше или равно 15.5 и меньше или равно 16. Математически это записывается как $15.5 \le K \le 16$.
Так как $K$ (количество коробок) может быть только целым числом, единственное значение, удовлетворяющее этому условию, – это 16.

Ответ: 16