Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. Определите, является ли функции непрерывными:

А. $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \le -1, \\ 3x+4, & \text{при } x \ge -1 \end{cases}$ в точке $x_0 = -1$;

Б. $g(x) = \begin{cases} 2x-3, & \text{при } x < 1 \\ x^2-2, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$ в точке $x_0 = 1$.

А. Чтобы определить, является ли функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \le -1 \\ 3x+4, & \text{при } x \ge -1 \end{cases}$ непрерывной в точке $x_0 = -1$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:
1. Функция определена в точке $x_0$.
2. Существует предел функции в этой точке (левый и правый односторонние пределы равны).
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$. Согласно определению функции, при $x = -1$ мы можем использовать любую из двух формул. Проверим, что они дают одинаковый результат.
Используя $f(x) = x^2$, получаем: $f(-1) = (-1)^2 = 1$.
Используя $f(x) = 3x+4$, получаем: $f(-1) = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1$.
Значения совпадают, следовательно, функция определена в точке $x_0 = -1$ и $f(-1) = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = -1$.
Левосторонний предел (при $x \to -1^-$, т.е. $x < -1$). В этом случае используется формула $f(x) = x^2$.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} x^2 = (-1)^2 = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to -1^+$, т.е. $x > -1$). В этом случае используется формула $f(x) = 3x+4$.
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x+4) = 3(-1) + 4 = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($1=1$), то предел функции в точке $x_0=-1$ существует и равен 1: $\lim_{x \to -1} f(x) = 1$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -1$.
$f(-1) = 1$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = 1$.
Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

Б. Проверим на непрерывность функцию $g(x) = \begin{cases} 2x-3, & \text{при } x < 1 \\ x^2-2, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$ в точке $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$. Согласно условию, при $x \ge 1$ используется формула $g(x) = x^2 - 2$.
$g(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.
Функция определена в точке $x_0 = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = 1$.
Левосторонний предел (при $x \to 1^-$, т.е. $x < 1$). В этом случае используется формула $g(x) = 2x - 3$.
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x-3) = 2(1) - 3 = -1$.
Правосторонний предел (при $x \to 1^+$, т.е. $x > 1$). В этом случае используется формула $g(x) = x^2 - 2$.
$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2-2) = 1^2 - 2 = -1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($-1 = -1$), то предел функции в точке $x_0=1$ существует и равен -1: $\lim_{x \to 1} g(x) = -1$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 1$.
$g(1) = -1$ и $\lim_{x \to 1} g(x) = -1$.
Поскольку $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция $g(x)$ является непрерывной в точке $x_0 = 1$.

2. Построй графики функций:

А. $y = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$;

Б. $y=2\cos\frac{x}{2}$.

А. $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x)$

Для построения графика данной функции выполним анализ и последовательные преобразования, исходя из базового графика функции $y = \text{tg}(x)$.

1. Преобразуем исходное выражение.
Используя свойство нечетности тангенса ($\text{tg}(-u) = -\text{tg}(u)$), можем записать:
$y = \text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x) = \text{tg}(-(2x - \frac{\pi}{3})) = -\text{tg}(2x - \frac{\pi}{3})$.
Вынесем коэффициент 2 за скобки в аргументе тангенса:
$y = -\text{tg}(2(x - \frac{\pi}{6}))$.
Эта форма удобна для анализа преобразований.

2. Определим последовательность преобразований графика $y = \text{tg}(x)$.
а) Сжатие графика $y = \text{tg}(x)$ вдоль оси OX в 2 раза. Получаем функцию $y = \text{tg}(2x)$. Ее период $T = \frac{\pi}{2}$.
б) Сдвиг полученного графика вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$. Получаем функцию $y = \text{tg}(2(x - \frac{\pi}{6}))$.
в) Симметричное отражение последнего графика относительно оси OX. Получаем искомую функцию $y = -\text{tg}(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

3. Найдем основные свойства функции для построения.
- Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$.
- Вертикальные асимптоты: Аргумент тангенса должен быть не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$-2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}$.
Асимптоты: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. (например, $x=...-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}...$)
- Нули функции (точки пересечения с осью OX): $y=0$ при $\text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x)=0$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$-2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi n}{2}$.
Нули функции: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. (например, $x=...-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}...$)
- Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Точка $(0, \sqrt{3})$.
- Поведение функции: Из-за знака "-" перед тангенсом (или знака "-" перед $x$ в аргументе), функция является убывающей на каждом интервале между асимптотами.

Построение:
1. Начертить координатную плоскость.
2. Провести вертикальные асимптоты $x = -\frac{\pi}{12}$, $x = \frac{5\pi}{12}$ и т.д. с шагом $\frac{\pi}{2}$.
3. Отметить на оси OX нули функции: $x=\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{2\pi}{3}$ и т.д.
4. Отметить точку пересечения с осью OY $(0, \sqrt{3})$.
5. На каждом интервале между асимптотами построить ветвь тангенсоиды, которая убывает от $+\infty$ до $-\infty$, проходя через соответствующий нуль функции. Например, на интервале $(-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12})$ кривая пройдет через точки $(0, \sqrt{3})$ и $(\frac{\pi}{6}, 0)$.
6. Повторить построение ветви на других интервалах с учетом периода $T = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x)$ представляет собой тангенсоиду с периодом $\frac{\pi}{2}$, убывающую на каждом из интервалов области определения. Асимптоты графика задаются уравнениями $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. График пересекает ось ординат в точке $(0, \sqrt{3})$.

Б. $y = 2\cos\frac{x}{2}$

Для построения графика данной функции выполним анализ и последовательные преобразования, исходя из базового графика функции $y = \cos(x)$.

1. Определим последовательность преобразований графика $y = \cos(x)$.
а) Растяжение графика $y = \cos(x)$ вдоль оси OX в 2 раза (горизонтальное растяжение). Это преобразование задается коэффициентом $\frac{1}{2}$ при $x$. Получаем функцию $y = \cos(\frac{x}{2})$. Период функции увеличивается в 2 раза и становится $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
б) Растяжение полученного графика вдоль оси OY в 2 раза (вертикальное растяжение). Это преобразование задается множителем 2 перед функцией. Получаем искомую функцию $y = 2\cos(\frac{x}{2})$. Амплитуда функции увеличивается в 2 раза и становится равной 2.

2. Найдем основные свойства функции для построения.
- Период: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
- Амплитуда: $A=2$.
- Область значений: $[-2, 2]$.
- Четность: Функция четная, так как $y(-x) = 2\cos(\frac{-x}{2}) = 2\cos(\frac{x}{2}) = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
- Ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 4\pi]$:
- При $x=0$, $y = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$ (точка максимума).
- При $x=\pi$, $y = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$ (точка пересечения с осью OX).
- При $x=2\pi$, $y = 2\cos(\frac{2\pi}{2}) = 2\cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$ (точка минимума).
- При $x=3\pi$, $y = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$ (точка пересечения с осью OX).
- При $x=4\pi$, $y = 2\cos(\frac{4\pi}{2}) = 2\cos(2\pi) = 2 \cdot 1 = 2$ (точка максимума).

Построение:
1. Начертить координатную плоскость.
2. Отметить на осях ключевые точки, найденные выше: $(0, 2), (\pi, 0), (2\pi, -2), (3\pi, 0), (4\pi, 2)$.
3. Соединить эти точки плавной линией, имеющей форму косинусоиды.
4. Используя свойство периодичности ($T=4\pi$) и четности (симметрия относительно оси OY), продолжить график влево и вправо.

Ответ: График функции $y = 2\cos\frac{x}{2}$ является косинусоидой с периодом $4\pi$ и амплитудой 2. Область значений функции — отрезок $[-2, 2]$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x=4\pi n$, а минимумы, равные -2, в точках $x=2\pi+4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График пересекает ось абсцисс в точках $x=\pi+2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. Вычислите:

А. $ \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \operatorname{arctg}\sqrt{3}; $

Б. $ \operatorname{ctg} \left( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right). $

А. $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(\sqrt{3})$

Для решения этого выражения необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложить результаты.

1. Вычислим $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
По определению, арксинус числа $x$ (обозначается $\arcsin(x)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. Вычислим $\arctan(\sqrt{3})$.
По определению, арктангенс числа $x$ (обозначается $\arctan(x)$) — это угол $\beta$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.
Нам нужно найти такой угол $\beta$, что $\tan(\beta) = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

3. Сложим полученные значения:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 0$.

Ответ: $0$.

Б. $\text{ctg}(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Для вычисления значения этого выражения сначала найдем значение аргумента функции котангенса, то есть $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

1. Вычислим $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
По определению, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

2. Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
$\text{ctg}(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4})$.

3. Вычислим значение котангенса:
$\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$ является табличным значением.$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$.

4. Найдите производные функций:

А. $y = \sin^3 2x$;

Б. $f(x) = \frac{(x+1)^2}{x-2}$.

А. Чтобы найти производную функции $y=\sin^3 2x$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функцию можно представить в виде $y = u^3$, где $u = \sin(v)$, а $v = 2x$. Производная сложной функции находится как произведение производных каждой из составляющих функций.

Формула производной сложной функции: $(f(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

1. Производная внешней степенной функции $(u^3)' = 3u^2$. В нашем случае это $3(\sin(2x))^2 = 3\sin^2(2x)$.

2. Производная функции синуса $(\sin(v))' = \cos(v)$. В нашем случае это $\cos(2x)$.

3. Производная аргумента синуса $(2x)' = 2$.

Теперь необходимо перемножить все полученные производные:

$y' = ((\sin(2x))^3)' = 3\sin^2(2x) \cdot (\sin(2x))' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)'$

$y' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2$

Сгруппировав множители, получаем окончательный вид производной:

$y' = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$

Ответ: $y' = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$

Б. Для нахождения производной функции $f(x)=\frac{(x+1)^2}{x-2}$ мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби), которое имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, числитель $u(x) = (x+1)^2$, а знаменатель $v(x) = x-2$.

Сначала найдем производные числителя и знаменателя:

Производная числителя $u'(x) = ((x+1)^2)'$. По цепному правилу, это $2(x+1)^{2-1} \cdot (x+1)' = 2(x+1) \cdot 1 = 2x+2$.

Производная знаменателя $v'(x) = (x-2)' = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x+2)(x-2) - (x+1)^2 \cdot 1}{(x-2)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x + 2x - 4) - (x^2 + 2x + 1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 2x - 4 - x^2 - 2x - 1}{(x-2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2}$

5. Найдите точки экстремума функций:

А. $f(x)=x+\cos x$;

Б. $f(x)=2-x+\sin x$.

А. f(x) = x + cos x

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки. Экстремум существует в критической точке, если производная при переходе через эту точку меняет знак.

1. Находим область определения функции.
Функция $f(x) = x + \cos x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$1 - \sin x = 0$
$\sin x = 1$
Критические точки: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной.
Производная $f'(x) = 1 - \sin x$. Поскольку область значений функции $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, $1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$.
Это означает, что производная $f'(x)$ всегда неотрицательна ($f'(x) \ge 0$). Она обращается в ноль в критических точках, но не меняет свой знак при переходе через них (знак производной слева и справа от критической точки — плюс).
Поскольку производная не меняет знак, то в этих точках экстремума нет. Функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

Б. f(x) = 2 - x + sin x

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Находим область определения функции.
Функция $f(x) = 2 - x + \sin x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2 - x + \sin x)' = (2)' - (x)' + (\sin x)' = 0 - 1 + \cos x = \cos x - 1$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$\cos x - 1 = 0$
$\cos x = 1$
Критические точки: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной.
Производная $f'(x) = \cos x - 1$. Поскольку область значений функции $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, $\cos x - 1 \le 1 - 1 = 0$.
Это означает, что производная $f'(x)$ всегда не положительна ($f'(x) \le 0$). Она обращается в ноль в критических точках, но не меняет свой знак при переходе через них (знак производной слева и справа от критической точки — минус).
Поскольку производная не меняет знак, то в этих точках экстремума нет. Функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

6. А. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Б. Из вазы с фруктами, в которой лежат 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

А.

В данной задаче нам нужно выбрать 3 дежурных из 15 членов группы. Поскольку порядок, в котором выбирают дежурных, не имеет значения (группа из Иванова, Петрова и Сидорова — это та же самая группа, что и Петров, Сидоров, Иванов), мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n = 15$ (общее количество туристов), а $k = 3$ (количество дежурных).

Подставим значения в формулу и произведем расчет:

$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3 \times 2 \times 1 \times 12!}$

Сократив $12!$, получим:

$C_{15}^3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2730}{6} = 455$

Следовательно, существует 455 способов выбрать трех дежурных.

Ответ: 455.

Б.

Эту задачу нужно решать в два этапа, используя правило произведения в комбинаторике. Сначала мы найдем количество способов выбрать яблоки, а затем — количество способов выбрать груши. Общее число способов будет произведением этих двух результатов.

1. Выбор яблок.

Нужно выбрать 3 яблока из 9 имеющихся. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу сочетаний, где $n = 9$ и $k = 3$.

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

Таким образом, существует 84 способа выбрать 3 яблока.

2. Выбор груш.

Нужно выбрать 2 груши из 6 имеющихся. Порядок также не имеет значения, поэтому используем формулу сочетаний, где $n = 6$ и $k = 2$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, существует 15 способов выбрать 2 груши.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сделать требуемый выбор, нужно перемножить количество способов выбора яблок на количество способов выбора груш:

$N = C_9^3 \times C_6^2 = 84 \times 15 = 1260$

Следовательно, существует 1260 способов выбрать 3 яблока и 2 груши.

Ответ: 1260.

7. А. Найдите абсциссу $x_0$ точки графика функции $y = f(x)$, в которой касательная к нему параллельна заданной прямой: $y=x^2-3x+2$, прямая $2x+y=5$.

Б. Найдите абсциссу $x_0$ точки графика функции $y = f(x)$, в которой касательная к нему параллельна заданной прямой: $y=8\sin x+\sqrt{27}\operatorname{tg}x+x$, прямая $y=x+3$; $x_0 \in [-\pi; 0]$.

А.

Условие параллельности касательной к графику функции $y = f(x)$ и прямой $y = kx + b$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ заданной прямой $2x + y = 5$. Для этого выразим $y$:
$y = -2x + 5$
Отсюда угловой коэффициент $k = -2$.

2. Найдем производную функции $y = f(x) = x^2 - 3x + 2$:
$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$f'(x_0) = k$
$2x_0 - 3 = -2$

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$:
$2x_0 = 3 - 2$
$2x_0 = 1$
$x_0 = 0.5$

Ответ: $x_0 = 0.5$

Б.

Действуем по тому же алгоритму.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ заданной прямой $y = x + 3$.
Угловой коэффициент этой прямой $k = 1$.

2. Найдем производную функции $y = f(x) = 8\sin x + \sqrt{27}\tan x + x$.
Заметим, что $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$f'(x) = (8\sin x + 3\sqrt{3}\tan x + x)' = 8\cos x + 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 1$.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$f'(x_0) = k$
$8\cos x_0 + \frac{3\sqrt{3}}{\cos^2 x_0} + 1 = 1$

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$ на интервале $[-\pi; 0]$.
$8\cos x_0 + \frac{3\sqrt{3}}{\cos^2 x_0} = 0$
Область определения функции и ее производной требует, чтобы $\cos x_0 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $\cos^2 x_0$:
$8\cos^3 x_0 + 3\sqrt{3} = 0$
$8\cos^3 x_0 = -3\sqrt{3}$
$\cos^3 x_0 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\cos x_0 = \sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{3})^3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид $x_0 = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, $x_0 = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

5. Найдем корень, принадлежащий заданному отрезку $x_0 \in [-\pi; 0]$.
Рассмотрим серию корней $x_0 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$, $x_0 = \frac{5\pi}{6}$, что не входит в отрезок. При $n=-1$, $x_0 = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$, что также не входит в отрезок.
Рассмотрим серию корней $x_0 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$, $x_0 = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень удовлетворяет условию $-\pi \le -\frac{5\pi}{6} \le 0$.

Ответ: $x_0 = -\frac{5\pi}{6}$

8. Найдите предел:

А. $\lim_{x\to 0} \frac{x+\sin 2x}{\sin x}$.

Б. $\lim_{x\to 0} \left(\frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1}\right)$.

А. Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{x+\sin 2x}{\sin x} $.
При подстановке $ x=0 $ в выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0+\sin(0)}{\sin(0)} = \frac{0}{0} $.
Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение, разделив его на сумму двух дробей:
$ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\sin x}\right) $
По свойству пределов, предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):
$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x} $
Найдем каждый предел по отдельности.
Первый предел является следствием первого замечательного предела $ \left( \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \right) $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1 $.
Для второго предела воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} $
Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \ne 0 $, можно сократить на $ \sin x $:
$ \lim_{x \to 0} 2 \cos x = 2 \cdot \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2 $.
Теперь сложим полученные значения пределов:
$ 1 + 2 = 3 $.
Ответ: 3

Б. Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1} \right) $.
Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций (при условии, что они существуют).
$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{5x^3}{1+5x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{1-3x^2}{3x+1} $
Обе функции в слагаемых являются рациональными и непрерывными в точке $ x=0 $, так как их знаменатели не обращаются в ноль при $ x=0 $. Следовательно, мы можем найти их пределы путем прямой подстановки значения $ x=0 $.
Для первого слагаемого:
$ \lim_{x \to 0} \frac{5x^3}{1+5x^2} = \frac{5 \cdot 0^3}{1+5 \cdot 0^2} = \frac{0}{1} = 0 $.
Для второго слагаемого:
$ \lim_{x \to 0} \frac{1-3x^2}{3x+1} = \frac{1-3 \cdot 0^2}{3 \cdot 0+1} = \frac{1-0}{0+1} = \frac{1}{1} = 1 $.
Складываем полученные значения:
$ 0 + 1 = 1 $.
Ответ: 1