Страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 6

Нарисуйте тригонометрическую окружность и отметьте $\frac{1}{2}$ на оси OY.

Проведите горизонтальную прямую через отмеченную точку до пересечения с окружностью. На отрезке $[-1;1]$ оси OY найдите числа, которые больше, чем $\frac{1}{2}$. Если нашли, закрасьте их цветной авторучкой или карандашом.

Найдите на окружности точки, у которых вторая координата (ордината) попадает на закрашенный участок, т.е. точка, у которой ордината больше, чем $\frac{1}{2}$. Найденные на окружности точки также закрасьте.

(НЕ путайте окружность с кругом. Окружность – это граница круга). Закрасили? Все. Стоп. Поздравляем! Вы только что решили неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$.

Подумайте, почему?

1. Построение тригонометрической окружности и отметка на оси OY

Сначала нарисуем систему координат XOY. Тригонометрическая окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1. Ось OY — это вертикальная ось, на которой откладываются значения синуса. На этой оси отметим точку, соответствующую числу $\frac{1}{2}$. Эта точка находится на положительной части оси OY между центром окружности (0) и ее верхней точкой (1).

Ответ: Начерчена тригонометрическая окружность в системе координат XOY, и на вертикальной оси OY отмечена точка со значением $\frac{1}{2}$.

2. Проведение горизонтальной прямой и нахождение точек пересечения

Через отмеченную на оси OY точку $(\text{т.е. } y = \frac{1}{2})$ проведем горизонтальную прямую, параллельную оси OX. Эта прямая пересечет тригонометрическую окружность в двух точках: одна в первой координатной четверти, а другая — во второй. Эти точки важны, так как они являются граничными для нашего решения.

Ответ: Проведена горизонтальная прямая $y = \frac{1}{2}$, которая пересекает окружность в двух точках.

3. Поиск и закрашивание интервала на оси OY

На оси OY значения для точек окружности лежат в отрезке $[-1; 1]$. Нам нужно найти все числа на этом отрезке, которые больше чем $\frac{1}{2}$. Это все значения от $\frac{1}{2}$ (не включая) до 1 (включая). Таким образом, мы получаем интервал $(\frac{1}{2}, 1]$. Закрасим этот участок на оси OY.

Ответ: На оси OY закрашен участок, соответствующий полуинтервалу $(\frac{1}{2}, 1]$.

4. Поиск и закрашивание дуги на окружности

Теперь найдем на окружности все точки, ордината (координата Y) которых попадает в закрашенный нами интервал $(\frac{1}{2}, 1]$. Это будут все точки на дуге окружности, которая лежит выше горизонтальной прямой $y = \frac{1}{2}$. Крайними точками этой дуги являются точки пересечения прямой $y = \frac{1}{2}$ с окружностью. Эти точки соответствуют углам, синус которых равен $\frac{1}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что это углы $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$. Закрасим дугу окружности, расположенную между этими двумя точками и над прямой $y=\frac{1}{2}$.

Ответ: На окружности закрашена дуга, заключенная между точками, соответствующими углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$, и расположенная выше прямой $y = \frac{1}{2}$.

5. Объяснение связи с решением неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$

Поздравляем, мы действительно решили неравенство! Вот почему проделанные шаги приводят к решению неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$:

По определению, синус угла $x$ на тригонометрической окружности — это ордината (координата $y$) точки, соответствующей этому углу. Таким образом, неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$ равносильно поиску всех точек на окружности, у которых координата $y$ строго больше $\frac{1}{2}$.

Выполненные нами графические построения как раз и были направлены на поиск этих точек. Закрашенная нами на последнем шаге дуга — это и есть множество всех точек на окружности, удовлетворяющих этому условию. Углы, которые соответствуют точкам на этой дуге, и являются решениями неравенства.

Закрашенная дуга соответствует углам $x$, находящимся в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$. Таким образом, одно из решений — это $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, то к концам найденного интервала нужно добавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), чтобы учесть все возможные решения.

Ответ: Выполненные графические построения являются наглядным методом решения тригонометрического неравенства. Решением неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$ является объединение всех интервалов вида $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.