Страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите уравнение (1-13):

1. $ \sin^4 x - \sin^2 x = 0. $

1. Решим уравнение $sin^4 x - sin^2 x = 0$.

Для начала, вынесем общий множитель $sin^2 x$ за скобки:

$sin^2 x (sin^2 x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $sin^2 x = 0$

2) $sin^2 x - 1 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$sin^2 x = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$sin x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями являются значения x, при которых синус равен нулю.

Общая формула для этих корней:

$x = \pi n$, где $n \in Z$ (Z — множество целых чисел).

Решение второго уравнения:

$sin^2 x - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$sin^2 x = 1$

Извлекая квадратный корень, получаем два случая:

$sin x = 1$ или $sin x = -1$.

Решением уравнения $sin x = 1$ является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Решением уравнения $sin x = -1$ является серия корней:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Две серии корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$ можно объединить в одну общую формулу, так как эти точки на единичной окружности (верхняя и нижняя) повторяются через пол-оборота (π радиан):

$x = \frac{\pi}{2} + \pi l$, где $l \in Z$.

Объединение всех решений:

Мы получили две группы решений для исходного уравнения:

1. $x = \pi n$, где $n \in Z$

2. $x = \frac{\pi}{2} + \pi l$, где $l \in Z$

Первая серия корней ($\pi n$) задает точки на оси Ox единичной окружности (0 и π). Вторая серия ($\frac{\pi}{2} + \pi l$) задает точки на оси Oy ($\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$). Вместе эти четыре точки являются вершинами квадрата, вписанного в окружность, и отстоят друг от друга на $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, все решения можно записать одной более компактной формулой:

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

2. $\sin 2x = 3\cos x$.

Для решения данного тригонометрического уравнения $sin(2x) = 3cos(x)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$2sin(x)cos(x) = 3cos(x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2sin(x)cos(x) - 3cos(x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $cos(x)$ за скобки:

$cos(x)(2sin(x) - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $cos(x) = 0$

2. $2sin(x) - 3 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. Решим уравнение $cos(x) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрических уравнений. Его корни находятся по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

2. Решим уравнение $2sin(x) - 3 = 0$.

$2sin(x) = 3$

$sin(x) = \frac{3}{2}$

$sin(x) = 1.5$

Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $1.5$ не принадлежит этому отрезку ($1.5 > 1$), данное уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

3. $ \cos 2x = \cos x - \sin x $.

3. Для решения уравнения $cos(2x) = cos(x) - sin(x)$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$cos^2(x) - sin^2(x) = cos(x) - sin(x)$

Левую часть уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) = cos(x) - sin(x)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) - (cos(x) - sin(x)) = 0$

Вынесем общий множитель $(cos(x) - sin(x))$ за скобки:

$(cos(x) - sin(x))((cos(x) + sin(x)) - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $cos(x) - sin(x) = 0$

2) $cos(x) + sin(x) - 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) = sin(x)$

Если предположить, что $cos(x) = 0$, то из уравнения следует, что и $sin(x) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Следовательно, $cos(x) \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cos(x)$:

$\frac{sin(x)}{cos(x)} = 1$

$tan(x) = 1$

Отсюда находим первую серию решений:

$x = arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение:

$cos(x) + sin(x) = 1$

Это уравнение вида $a \cdot cos(x) + b \cdot sin(x) = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}sin(x)) = 1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = sin(\frac{\pi}{4})$. Используя формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$, получаем:

$\sqrt{2}(cos(x)cos(\frac{\pi}{4}) + sin(x)sin(\frac{\pi}{4})) = 1$

$\sqrt{2}cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, которое имеет две серии решений:

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим оба случая:

а) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

б) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$

Таким образом, мы получили еще две серии решений.

Объединим все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = 2\pi k$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4. $1+\sin 2x=\cos x+\sin x$

Для решения данного тригонометрического уравнения $1+\sin 2x = \cos x + \sin x$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = \cos x + \sin x$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы, согласно формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Таким образом, левую часть можно свернуть:

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin x + \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы приравнять его к нулю:

$(\sin x + \cos x)^2 - (\sin x + \cos x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:

$(\sin x + \cos x)((\sin x + \cos x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin x + \cos x = 0$

2) $\sin x + \cos x - 1 = 0 \quad \implies \quad \sin x + \cos x = 1$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение уравнения 1: $\sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$.

Разделим обе части на $\cos x$. Это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, и тогда $\sin x$ будет равен $\pm 1$. Уравнение $\pm 1 = 0$ не имеет решений, следовательно $\cos x \neq 0$.

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Корни этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения 2: $\sin x + \cos x = 1$

Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, заменим дроби на тригонометрические функции:

$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x) = 1$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.

5. $tgx - \sqrt{3} + \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$

Дано уравнение: $\tg x - \sqrt{3} + \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для решения сгруппируем слагаемые. Сначала заменим $\tg x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$:
$\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} + \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3}) + (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$
В первой скобке приведем к общему знаменателю:
$\frac{\sin x - \sqrt{3} \cos x}{\cos x} + (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x - \sqrt{3} \cos x)$ за скобки:
$(\sin x - \sqrt{3} \cos x)(\frac{1}{\cos x} + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$
Поскольку по ОДЗ $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0$
$\tg x = \sqrt{3}$
Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

2) $\frac{1}{\cos x} + 1 = 0$
$\frac{1}{\cos x} = -1$
$\cos x = -1$
Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6. $2 \cos x + \cot x = 0$

Исходное уравнение: $2\cos x + \operatorname{ctg} x = 0$.

Для решения этого уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса, $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, не определена, когда ее знаменатель $\sin x$ равен нулю. Условие $\sin x \neq 0$ означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь преобразуем уравнение, заменив $\operatorname{ctg} x$ на отношение $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$2\cos x + \frac{\cos x}{\sin x} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x \left(2 + \frac{1}{\sin x}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ ($x \neq \pi k$). Для значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, синус принимает значения $1$ или $-1$, то есть $\sin x \neq 0$. Следовательно, все корни этой серии являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: $2 + \frac{1}{\sin x} = 0$.

Решим это уравнение относительно $\sin x$:

$\frac{1}{\sin x} = -2$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается как:

$x = (-1)^{m}\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = (-1)^{m}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi m = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\sin x = -\frac{1}{2} \neq 0$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, мы находим все корни исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.