Страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите неравенства (5-6):

5. (2) a) $ \sin x $ $ \frac{1}{2} $;

б) $ \sin 4x \ge \frac{1}{2} $;

в) $ \sin 5x < -\frac{1}{2} $;

г) $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) \le \frac{1}{2} $;

д) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{7}\right) \le -\frac{1}{2} $.

а) Так как в условии задачи, вероятно, пропущен знак, решим наиболее простое неравенство $ \sin x > \frac{1}{2} $. Сначала найдем корни уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $. На тригонометрической окружности это углы $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \sin x > \frac{1}{2} $ удовлетворяют значения $x$, для которых соответствующая точка на единичной окружности лежит выше прямой $ y = \frac{1}{2} $. Это соответствует дуге от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{5\pi}{6} $. С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $ \sin 4x \ge \frac{1}{2} $. Сделаем замену переменной $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \sin t \ge \frac{1}{2} $. Решением этого базового неравенства является промежуток $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Теперь выполним обратную замену: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $. Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 4.

Ответ: $ \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $ \sin 5x < -\frac{1}{2} $. Пусть $ t = 5x $, тогда получаем $ \sin t < -\frac{1}{2} $. Корни уравнения $ \sin t = -\frac{1}{2} $ — это $ t = -\frac{\pi}{6} $ и $ t = -\frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \sin t < -\frac{1}{2} $ удовлетворяют углы, находящиеся на дуге единичной окружности ниже прямой $ y = -\frac{1}{2} $. Это интервал $ (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}) $. Общее решение для $t$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Подставляем обратно $5x$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < 5x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Делим все части на 5.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{5} < x < -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $ \sin(2x - \frac{\pi}{5}) \le \frac{1}{2} $. Введем замену $ t = 2x - \frac{\pi}{5} $, что приводит к неравенству $ \sin t \le \frac{1}{2} $. Решения уравнения $ \sin t = \frac{1}{2} $ — это $ t = \frac{\pi}{6} $ и $ t = \frac{5\pi}{6} $. Неравенство $ \sin t \le \frac{1}{2} $ выполняется на большей дуге окружности, которую можно описать как $ -\frac{7\pi}{6} \le t \le \frac{\pi}{6} $ с учетом периодичности. Общее решение для $t$: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Выполним обратную замену: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le 2x - \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Прибавим $ \frac{\pi}{5} $ ко всем частям: $ -\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + 2\pi k $. Упрощаем: $ -\frac{29\pi}{30} + 2\pi k \le 2x \le \frac{11\pi}{30} + 2\pi k $. Делим на 2.

Ответ: $ -\frac{29\pi}{60} + \pi k \le x \le \frac{11\pi}{60} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) Решим неравенство $ \sin(x - \frac{\pi}{7}) \le -\frac{1}{2} $. Пусть $ t = x - \frac{\pi}{7} $, тогда $ \sin t \le -\frac{1}{2} $. Решения уравнения $ \sin t = -\frac{1}{2} $ — это $ t = -\frac{\pi}{6} $ и $ t = -\frac{5\pi}{6} $. Неравенство $ \sin t \le -\frac{1}{2} $ выполняется для углов на дуге между этими значениями. Общее решение для $t$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Подставляем $ x - \frac{\pi}{7} $ вместо $t$: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{7} \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Прибавляем $ \frac{\pi}{7} $ ко всем частям: $ -\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{7} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7} + 2\pi k $. Приводим дроби к общему знаменателю 42 и упрощаем.

Ответ: $ -\frac{29\pi}{42} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{42} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

6. (2) а) $sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $sin \frac{x}{4} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$;

В) $sin \frac{3x}{5} < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Г) $sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Д) $sin \left(\frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}\right) \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) $ \sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Для решения данного тригонометрического неравенства сначала найдем значения $x$, для которых $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это точки с ординатой (y-координатой), равной $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим точкам соответствуют углы $ x = -\frac{\pi}{4} $ и $ x = -\frac{3\pi}{4} $ (или $ x = \frac{5\pi}{4} $).

Нам нужны значения $x$, при которых $ \sin x $ строго больше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге, расположенной выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке, соответствующей углу $ -\frac{\pi}{4} $, и заканчивается в точке, соответствующей углу $ \frac{5\pi}{4} $.

Таким образом, основной интервал решений: $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} $.

Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного интервала, где $k$ — любое целое число.

$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin \frac{x}{4} \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем замену переменной: пусть $ t = \frac{x}{4} $. Неравенство примет вид: $ \sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решим это неравенство для $t$. На единичной окружности находим точки, где $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Нам нужны значения $t$, при которых ордината на окружности не меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это соответствует дуге от $ \frac{\pi}{4} $ до $ \frac{3\pi}{4} $. С учетом периодичности, решение для $t$ имеет вид:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = \frac{x}{4}$:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{x}{4} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $.

Для того чтобы найти $x$, умножим все части двойного неравенства на 4:

$ 4(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) \le x \le 4(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) $.

$ \pi + 8\pi k \le x \le 3\pi + 8\pi k $.

Ответ: $ x \in [\pi + 8\pi k; 3\pi + 8\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin \frac{3x}{5} < -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем замену переменной: $ t = \frac{3x}{5} $. Неравенство примет вид: $ \sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

На единичной окружности находим точки, где $ \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы $ t = -\frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{3\pi}{4} $. Нам нужны значения $t$, при которых ордината точки на окружности меньше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это соответствует дуге между углами $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $. С учетом периода $2\pi$ решение для $t$ будет:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $t = \frac{3x}{5}$:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{3x}{5} < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на $ \frac{5}{3} $:

$ \frac{5}{3}(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) < x < \frac{5}{3}(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) $.

$ -\frac{5\pi}{4} + \frac{10\pi k}{3} < x < -\frac{5\pi}{12} + \frac{10\pi k}{3} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{4} + \frac{10\pi k}{3}; -\frac{5\pi}{12} + \frac{10\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{2}}{2} $

Выполним замену: $ t = x + \frac{\pi}{4} $. Неравенство станет $ \sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

На единичной окружности значениям $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют углы $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = \frac{3\pi}{4} $. Нам нужна дуга, где ордината точек не превышает $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга начинается в точке $ \frac{3\pi}{4} $ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $ 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} $.

Следовательно, решение для $t$ с учетом периодичности:

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Произведем обратную замену $ t = x + \frac{\pi}{4} $:

$ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi k $.

Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей неравенства:

$ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $.

$ \frac{2\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{8\pi}{4} + 2\pi k $.

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le 2\pi + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

д) $ \sin(\frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7}) \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем замену: $ t = \frac{6x}{7} + \frac{6\pi}{7} $. Неравенство примет вид $ \sin t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это неравенство выполняется для тех $t$, ордината которых на единичной окружности не больше $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Граничные точки $ \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют углам $ t = -\frac{3\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $.

Решение для $t$ с учетом периодичности:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Выполним обратную замену $ t = \frac{6}{7}(x+\pi) $:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{6}{7}(x+\pi) \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $.

Умножим все части неравенства на $ \frac{7}{6} $:

$ \frac{7}{6}(-\frac{3\pi}{4}) + \frac{7}{6}(2\pi k) \le x+\pi \le \frac{7}{6}(-\frac{\pi}{4}) + \frac{7}{6}(2\pi k) $.

$ -\frac{7\pi}{8} + \frac{7\pi k}{3} \le x+\pi \le -\frac{7\pi}{24} + \frac{7\pi k}{3} $.

Вычтем $ \pi $ из всех частей неравенства:

$ -\frac{7\pi}{8} - \pi + \frac{7\pi k}{3} \le x \le -\frac{7\pi}{24} - \pi + \frac{7\pi k}{3} $.

$ -\frac{7\pi+8\pi}{8} + \frac{7\pi k}{3} \le x \le -\frac{7\pi+24\pi}{24} + \frac{7\pi k}{3} $.

$ -\frac{15\pi}{8} + \frac{7\pi k}{3} \le x \le -\frac{31\pi}{24} + \frac{7\pi k}{3} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{15\pi}{8} + \frac{7\pi k}{3}; -\frac{31\pi}{24} + \frac{7\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z} $.

7. (2) Решите неравенства:

а) $sin x > 1;$

б) $sin \frac{1}{4x} \ge -1;$

в) $sin \frac{x}{7} < -1;$

г) $sin\left(\sqrt{x + \frac{\pi}{17}}\right) \le 1;$

д) $sin\left(\sqrt{\frac{4\pi}{11} - \frac{4x}{11}}\right) \ge -1.$

а) Рассмотрим неравенство $sin(x) > 1$. Область значений функции $y=sin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $sin(x)$ не может быть больше 1. Следовательно, неравенство $sin(x) > 1$ не имеет решений. Ответ: $x \in \emptyset$.

б) Рассмотрим неравенство $sin\frac{1}{4x} \ge -1$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется неравенство $sin(t) \ge -1$. Данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Выражение $sin\frac{1}{4x}$ определено, если определен его аргумент $\frac{1}{4x}$. Аргумент определен, когда знаменатель не равен нулю. $4x \neq 0$ $x \neq 0$ Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме 0. Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Рассмотрим неравенство $sin\frac{x}{7} < -1$. Область значений функции $y=sin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ значение $sin(t)$ не может быть меньше -1. Следовательно, неравенство $sin\frac{x}{7} < -1$ не имеет решений. Ответ: $x \in \emptyset$.

г) Рассмотрим неравенство $sin(\sqrt{x+\frac{\pi}{17}}) \le 1$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется неравенство $sin(t) \le 1$. Данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Выражение $sin(\sqrt{x+\frac{\pi}{17}})$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно. $x+\frac{\pi}{17} \ge 0$ $x \ge -\frac{\pi}{17}$ Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, больших или равных $-\frac{\pi}{17}$. Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{17}; +\infty)$.

д) Рассмотрим неравенство $sin(\sqrt{\frac{4\pi}{11}-\frac{4x}{11}}) \ge -1$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется неравенство $sin(t) \ge -1$. Данное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Выражение $sin(\sqrt{\frac{4\pi}{11}-\frac{4x}{11}})$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно. $\frac{4\pi}{11}-\frac{4x}{11} \ge 0$ Вынесем общий множитель $\frac{4}{11}$ за скобки: $\frac{4}{11}(\pi - x) \ge 0$ Так как $\frac{4}{11} > 0$, то $\pi - x \ge 0$. $\pi \ge x$, или $x \le \pi$. Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, меньших или равных $\pi$. Ответ: $x \in (-\infty; \pi]$.

8. (3) Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{\sin x+1}$;

б) $y=\frac{5}{\sqrt{2\sin 3x+\sqrt{3}}}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{\sin x + 1}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:
$\sin x + 1 \ge 0$
$\sin x \ge -1$

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $\sin x$ всегда будет больше или равно $-1$. Следовательно, неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{5}{\sqrt{2\sin 3x + \sqrt{3}}}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным (так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не извлекается в области действительных чисел).

Составим и решим неравенство:
$2\sin 3x + \sqrt{3} > 0$
$2\sin 3x > -\sqrt{3}$
$\sin 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 3x$, получив $\sin t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями уравнения $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Используя тригонометрическую окружность, находим, что неравенство $\sin t > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$.

С учетом периодичности общее решение для $t$ имеет вид:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 3:
$-\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

Решите систему $\begin{cases} xy=6 \\ yz=8 \\ zx=12 \end{cases}$.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 6 \\ yz = 8 \\ zx = 12 \end{cases} $
Поскольку правые части уравнений не равны нулю, то переменные $x, y, z$ также не равны нулю. Перемножим все три уравнения системы:
$(xy)(yz)(zx) = 6 \cdot 8 \cdot 12$
$x^2y^2z^2 = 576$
$(xyz)^2 = 576$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая для произведения $xyz$.

Случай 1: $xyz = 24$.
Чтобы найти значение каждой переменной, разделим это уравнение последовательно на каждое из уравнений исходной системы:
$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{24}{6} = 4$.
$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{24}{8} = 3$.
$y = \frac{xyz}{zx} = \frac{24}{12} = 2$.
Таким образом, первое решение системы: $(3; 2; 4)$.

Случай 2: $xyz = -24$.
Аналогично первому случаю:
$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-24}{6} = -4$.
$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-24}{8} = -3$.
$y = \frac{xyz}{zx} = \frac{-24}{12} = -2$.
Второе решение системы: $(-3; -2; -4)$.
Проверка подстановкой подтверждает, что оба найденных набора чисел являются решениями исходной системы.
Ответ: $(3; 2; 4)$ и $(-3; -2; -4)$.