Страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. $ \sqrt{3} \text{tg} x - 4 \sin^2 x = 0. $

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\operatorname{tg}x - 4\sin^2x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\operatorname{tg}x$ определена, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\operatorname{tg}x$ на отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$:$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} - 4\sin^2x = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:$\sin x \left(\frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 4\sin x\right) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

1. $\sin x = 0$.Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ. При $x = \pi k$, $\cos(\pi k) = (-1)^k$, что не равно нулю. Значит, эти решения подходят.

2. $\frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 4\sin x = 0$.Перенесем второе слагаемое в правую часть:$\frac{\sqrt{3}}{\cos x} = 4\sin x$.Учитывая ОДЗ ($\cos x \neq 0$), умножим обе части уравнения на $\cos x$:$\sqrt{3} = 4\sin x \cos x$.Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из нее следует, что $4\sin x \cos x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.Тогда уравнение принимает вид:$2\sin(2x) = \sqrt{3}$.$\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим полученное уравнение относительно $2x$:$2x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.$2x = (-1)^m \frac{\pi}{3} + \pi m$.Теперь найдем $x$, разделив обе части на 2:$x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.Эти корни также входят в ОДЗ, так как если бы для них $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство $\sqrt{3} = 4\sin x \cos x$ привело бы к неверному $\sqrt{3} = 0$.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях.Ответ: $x = \pi k, \quad x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

8.$x^2 \sin x - x^2 \sqrt{3} \cos x - \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Данное уравнение представляет собой уравнение смешанного типа, содержащее как полиномиальную часть от переменной $x$, так и тригонометрические функции. Для его решения применим метод разложения на множители.

Исходное уравнение:$x^2 \sin x - x^2 \sqrt{3} \cos x - \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.$(x^2 \sin x - x^2 \sqrt{3} \cos x) - (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$, а во второй группе вынесем $-1$:$x^2(\sin x - \sqrt{3} \cos x) - 1(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

Теперь видно, что у нас есть общий множитель $(\sin x - \sqrt{3} \cos x)$, который мы также можем вынести за скобки:$(x^2 - 1)(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 1 = 0$

2) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:$x^2 - 1 = 0$$x^2 = 1$Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$.

Решение второго уравнения:$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Перенесем второе слагаемое в правую часть:$\sin x = \sqrt{3} \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Мы можем это сделать, так как $\cos x \neq 0$. Если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$\frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Находим корни этого тригонометрического уравнения:$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения обоих уравнений, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 1$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

9. $cos^3 x + sin^3 x = cos x + sin x$

Дано тригонометрическое уравнение:

$\cos^3 x + \sin^3 x = \cos x + \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\cos^3 x + \sin^3 x - (\cos x + \sin x) = 0$

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к выражению $\cos^3 x + \sin^3 x$:

$(\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) - (\cos x + \sin x) = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим выражение в скобках:

$(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) - (\cos x + \sin x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ за скобки:

$(\cos x + \sin x) \cdot [(1 - \cos x \sin x) - 1] = 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(\cos x + \sin x)(-\cos x \sin x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности трех уравнений:

1) $\cos x + \sin x = 0$

2) $\cos x = 0$

3) $\sin x = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение уравнения $\cos x + \sin x = 0$

Перепишем уравнение как $\sin x = -\cos x$. Разделим обе части на $\cos x$, при условии, что $\cos x \neq 0$. (Если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). Получаем:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Корни этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения $\cos x = 0$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения $\sin x = 0$

Корни этого уравнения: $x = \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все три серии решений, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \pi m$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $m, k, n \in \mathbb{Z}$.

10. $\sin 6x + \sin 3x = 2\cos 3x + 1$.

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Заметим, что $\sin(6x) = \sin(2 \cdot 3x) = 2\sin(3x)\cos(3x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение $\sin(6x) + \sin(3x) = 2\cos(3x) + 1$:

$2\sin(3x)\cos(3x) + \sin(3x) = 2\cos(3x) + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2\sin(3x)\cos(3x) + \sin(3x) - 2\cos(3x) - 1 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(2\sin(3x)\cos(3x) + \sin(3x)) - (2\cos(3x) + 1) = 0$

$\sin(3x)(2\cos(3x) + 1) - 1(2\cos(3x) + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2\cos(3x) + 1)$ за скобки:

$(2\cos(3x) + 1)(\sin(3x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) Решим первое уравнение:

$2\cos(3x) + 1 = 0$

$2\cos(3x) = -1$

$\cos(3x) = -\frac{1}{2}$

Общее решение для данного уравнения:

$3x = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Разделив на 3, получаем первую серию корней:

$x = \pm\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим второе уравнение:

$\sin(3x) - 1 = 0$

$\sin(3x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 3, получаем вторую серию корней:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \pm\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

11. $ \cos^4 \pi x - \sin^4 \pi x = \cos^2 2\pi x . $

Для решения данного уравнения $\cos^4(\pi x) - \sin^4(\pi x) = \cos^2(2\pi x)$ преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = \cos^2(\pi x)$ и $b = \sin^2(\pi x)$.

$\cos^4(\pi x) - \sin^4(\pi x) = (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x))(\cos^2(\pi x) + \sin^2(\pi x))$.

Теперь применим два тригонометрических тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Подставив $\alpha = \pi x$ в эти формулы, мы получим:

$\cos^2(\pi x) + \sin^2(\pi x) = 1$.

$\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x) = \cos(2\pi x)$.

Таким образом, левая часть исходного уравнения упрощается до $\cos(2\pi x) \cdot 1 = \cos(2\pi x)$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\cos(2\pi x) = \cos^2(2\pi x)$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\cos^2(2\pi x) - \cos(2\pi x) = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos(2\pi x)$ за скобки:

$\cos(2\pi x)(\cos(2\pi x) - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

Случай 1: $\cos(2\pi x) = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $2\pi$:

$x = \frac{\pi/2}{2\pi} + \frac{\pi k}{2\pi} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$.

Случай 2: $\cos(2\pi x) - 1 = 0$, что равносильно $\cos(2\pi x) = 1$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $2\pi x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $2\pi$:

$x = n$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем две серии корней для исходного уравнения.

Ответ: $x = n$; $x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

12. $3\text{tg}^3 x - 10\text{tg}^2 x + 3\text{tg}x = 0$

Решим данное тригонометрическое уравнение $3\operatorname{tg}^3 x - 10\operatorname{tg}^2 x + 3\operatorname{tg} x = 0$.

Данное уравнение является кубическим относительно $\operatorname{tg} x$. Чтобы его решить, введем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет следующий вид:

$3t^3 - 10t^2 + 3t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(3t^2 - 10t + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $t = 0$

2) $3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Итак, мы получили три значения для переменной $t$: $0$, $3$ и $\frac{1}{3}$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену $t = \operatorname{tg} x$ для каждого найденного значения $t$ и решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения.

При $t = 0$ имеем $\operatorname{tg} x = 0$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$, что дает $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При $t = 3$ имеем $\operatorname{tg} x = 3$. Решением является $x = \operatorname{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $t = \frac{1}{3}$ имеем $\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$. Решением является $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Все найденные серии корней входят в область допустимых значений функции тангенса ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, l \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\operatorname{arctg}(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

13. $\sin(2x+\text{arctg}\sqrt{3})+\sin\left(x+\arcsin\frac{1}{2}\right)=2\cos\left(x+\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\text{tg}\frac{\pi}{4}$

Для решения данного уравнения сначала упростим его, вычислив значения аркфункций и тангенса:

$arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$

$tg(\frac{\pi}{4}) = 1$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$sin(2x + \frac{\pi}{3}) + sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2cos(x + \frac{\pi}{6}) + 1$

Заметим, что аргумент первой функции $2x + \frac{\pi}{3}$ вдвое больше аргумента $x + \frac{\pi}{6}$ у других функций: $2x + \frac{\pi}{3} = 2(x + \frac{\pi}{6})$. Это позволяет сделать замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $y = x + \frac{\pi}{6}$. Тогда $2y = 2x + \frac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид:

$sin(2y) + sin(y) = 2cos(y) + 1$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Применим формулу синуса двойного угла $sin(2y) = 2sin(y)cos(y)$ и перенесем все члены в левую часть:

$2sin(y)cos(y) + sin(y) - 2cos(y) - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$sin(y)(2cos(y) + 1) - 1(2cos(y) + 1) = 0$

$(sin(y) - 1)(2cos(y) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $sin(y) - 1 = 0 \implies sin(y) = 1$

2) $2cos(y) + 1 = 0 \implies cos(y) = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решаем уравнение $sin(y) = 1$.

Общее решение: $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $y = x + \frac{\pi}{6}$:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решаем уравнение $cos(y) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $y = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Это дает две серии решений. Рассмотрим каждую из них:

а) $y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Выполняем обратную замену:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Выполняем обратную замену:

$x + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{-4\pi - \pi}{6} + 2\pi k$

$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k; x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение (14-26):

14. $

\cos^4 x - \cos^2 x = 0$.

14.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\cos^4 x - \cos^2 x = 0$

Для решения вынесем общий множитель $\cos^2 x$ за скобки:

$\cos^2 x (\cos^2 x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos^2 x = 0$

2) $\cos^2 x - 1 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение первого уравнения:

$\cos^2 x = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\cos x = 0$

Корни этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение второго уравнения:

$\cos^2 x - 1 = 0$

$\cos^2 x = 1$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Решением уравнения $\cos x = 1$ является серия корней $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos x = -1$ является серия корней $x = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений ($x = 2\pi k$ и $x = \pi + 2\pi m$) можно объединить в одну: $x = \pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Объединение всех решений:

Мы получили две серии корней для исходного уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$

Если отметить эти точки на единичной окружности, они будут соответствовать углам $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \ldots$. Это все точки, которые являются целыми кратными $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, все решения можно записать одной общей формулой:

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

15. $\sin 2x = \sin x$

Дано тригонометрическое уравнение:$sin(2x) = sin(x)$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$.Подставим эту формулу в исходное уравнение:$2sin(x)cos(x) = sin(x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:$2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $sin(x)$ за скобки:$sin(x)(2cos(x) - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $sin(x) = 0$

2) $2cos(x) - 1 = 0$

Рассмотрим и решим каждое уравнение отдельно.

Решение первого уравнения: $sin(x) = 0$.Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями являются значения x, при которых синус равен нулю. Это происходит в точках, кратных $\pi$.$x = \pi n$, где $n \in Z$ (n – любое целое число).

Решение второго уравнения: $2cos(x) - 1 = 0$.Сначала выразим $cos(x)$:$2cos(x) = 1$$cos(x) = \frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $cos(x) = a$ имеет вид $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.В данном случае $a = \frac{1}{2}$, а $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.Следовательно, решения для второго уравнения:$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$ (k – любое целое число).

Объединяя решения обоих уравнений, мы получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

16. $\cos 3x = \cos \frac{3x}{2} + \sin \frac{3x}{2}$

Для решения данного тригонометрического уравнения преобразуем его правую часть.

Исходное уравнение:

$\cos(3x) = \cos\frac{3x}{2} + \sin\frac{3x}{2}$

Правую часть уравнения можно преобразовать с помощью формулы введения вспомогательного угла $a \cos\phi + b \sin\phi = R \cos(\phi - \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\alpha = \frac{a}{R}$ и $\sin\alpha = \frac{b}{R}$.

В нашем случае $a = 1$, $b = 1$, $\phi = \frac{3x}{2}$.

Находим $R$: $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Находим вспомогательный угол $\alpha$: $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, правая часть уравнения принимает вид:

$\cos\frac{3x}{2} + \sin\frac{3x}{2} = \sqrt{2} \cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\cos(3x) = \sqrt{2} \cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Применим к левой части уравнения формулу косинуса двойного угла $\cos(2y) = 2\cos^2y - 1$. Полагая $y = \frac{3x}{2}$, получаем $\cos(3x) = 2\cos^2\frac{3x}{2} - 1$.

$2\cos^2\frac{3x}{2} - 1 = \sqrt{2} \cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Для упрощения введем замену. Пусть $t = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$. Отсюда $\frac{3x}{2} = t + \frac{\pi}{4}$.

Подставим $t$ в уравнение:

$2\cos^2(t + \frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2} \cos t$

Выражение в левой части снова является формулой косинуса двойного угла: $2\cos^2(t + \frac{\pi}{4}) - 1 = \cos(2(t + \frac{\pi}{4})) = \cos(2t + \frac{\pi}{2})$.

Используем формулу приведения $\cos(y + \frac{\pi}{2}) = -\sin y$:

$\cos(2t + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2t)$

Уравнение принимает вид:

$-\sin(2t) = \sqrt{2} \cos t$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2t) = 2\sin t \cos t$:

$-2\sin t \cos t = \sqrt{2} \cos t$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\cos t$ за скобки:

$2\sin t \cos t + \sqrt{2} \cos t = 0$

$\cos t (2\sin t + \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $\cos t = 0$

$t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к переменной $x$, используя замену $t = \frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}$:

$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

$\frac{3x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{2}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$

2. $2\sin t + \sqrt{2} = 0$

$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение имеет две серии решений:

а) $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к $x$:

$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{3x}{2} = 2\pi n$

$x = \frac{4\pi n}{3}$

б) $t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к $x$:

$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$

$\frac{3x}{2} = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi m = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$

$x = \frac{2}{3} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \right) = -\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi m}{3}$

Объединяя все полученные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$; $x = \frac{4\pi n}{3}$; $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi m}{3}$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.

17. $1 - \sin 4x = \cos 2x - \sin 2x$.

17.1. Решим тригонометрическое уравнение $1 - \sin(4x) = \cos(2x) - \sin(2x)$.

Для преобразования левой части уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$. Представим аргумент $\alpha$ в виде $2x$.

Заменим $\sin(4x)$ на $2\sin(2x)\cos(2x)$ и $1$ на $\sin^2(2x) + \cos^2(2x)$.

Уравнение примет вид:

$\sin^2(2x) + \cos^2(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = \cos(2x) - \sin(2x)$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \cos(2x)$ и $b = \sin(2x)$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$(\cos(2x) - \sin(2x))^2 = \cos(2x) - \sin(2x)$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$(\cos(2x) - \sin(2x))^2 - (\cos(2x) - \sin(2x)) = 0$.

Вынесем общий множитель $(\cos(2x) - \sin(2x))$ за скобки:

$(\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) - \sin(2x) - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1) $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

$\cos(2x) = \sin(2x)$.

Разделим обе части на $\cos(2x)$. Это возможно, так как если $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(2x) = 0$, что не может быть верным одновременно, так как $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) - \sin(2x) - 1 = 0$

$\cos(2x) - \sin(2x) = 1$.

Для решения этого уравнения применим метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x)) = 1$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos(2x) - \sin(\frac{\pi}{4})\sin(2x)) = 1$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$, получаем:

$\sqrt{2}\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два подслучая:

а) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = 2\pi k$

$x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$; $x = \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

18. $\cot x + 1 + \cos x + \sin x = 0.$

Дано тригонометрическое уравнение: $\text{ctg } x + 1 + \cos x + \sin x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь приступим к решению уравнения. Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$:

$\frac{\cos x}{\sin x} + 1 + \cos x + \sin x = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $\sin x$. Мы можем это сделать, так как, согласно ОДЗ, $\sin x \neq 0$.

$\cos x + \sin x + \cos x \sin x + \sin^2 x = 0$

Сгруппируем слагаемые для дальнейшего разложения на множители:

$(\sin x + \cos x) + (\sin^2 x + \sin x \cos x) = 0$

Из второй группы слагаемых вынесем общий множитель $\sin x$:

$(\sin x + \cos x) + \sin x (\sin x + \cos x) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(\sin x + \cos x)$, который можно вынести за скобки:

$(\sin x + \cos x)(1 + \sin x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это приводит нас к двум независимым уравнениям.

1. Решим первое уравнение: $\sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это действие корректно, так как если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin x = 0$. Однако одновременное равенство синуса и косинуса нулю невозможно в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Получаем: $\frac{\sin x}{\cos x} = -1$, что равносильно $\text{tg } x = -1$.

Решения этого уравнения имеют вид: $x = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ, так как для этих значений $x$ синус равен $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, что не равно нулю.

2. Решим второе уравнение: $1 + \sin x = 0$

Отсюда получаем $\sin x = -1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin x = -1 \neq 0$.

Таким образом, мы нашли две серии корней, которые являются решением исходного уравнения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

19. $tgx+2sinx=0.$

Исходное уравнение:$tg x + 2sin x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in Z$).

Теперь решим уравнение. Заменим $tg x$ на отношение $\frac{sin x}{cos x}$:$\frac{sin x}{cos x} + 2 sin x = 0$.

Вынесем общий множитель $sin x$ за скобки:$sin x \left(\frac{1}{cos x} + 2\right) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

1) $sin x = 0$.Решениями этого простейшего тригонометрического уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in Z$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как если $x = \pi n$, то $cos(\pi n) = (-1)^n$, что никогда не равно нулю.

2) $\frac{1}{cos x} + 2 = 0$.Перенесем 2 в правую часть:$\frac{1}{cos x} = -2$.Отсюда находим $cos x$:$cos x = -\frac{1}{2}$.Решениями этого уравнения являются $x = \pm arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in Z$.Так как $arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем серию корней:$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.Эти значения также удовлетворяют ОДЗ, поскольку $cos x = -\frac{1}{2} \neq 0$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

20. $4\cos^2 x - \sqrt{2}\text{ctg}x = 0$

Решим уравнение $4\cos^2 x - \sqrt{2}\operatorname{ctg} x = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Перепишем уравнение, подставив определение котангенса:

$4\cos^2 x - \sqrt{2}\frac{\cos x}{\sin x} = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x \left(4\cos x - \frac{\sqrt{2}}{\sin x}\right) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим эти корни на соответствие ОДЗ. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то $\sin x$ принимает значения $1$ или $-1$, которые не равны нулю. Следовательно, эта серия корней является решением исходного уравнения.

Случай 2: $4\cos x - \frac{\sqrt{2}}{\sin x} = 0$.

Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $\sin x$:

$4\sin x \cos x - \sqrt{2} = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла, $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. Тогда $4\sin x \cos x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$2\sin(2x) = \sqrt{2}$,

откуда $\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения записывается как $2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, поскольку если бы $\sin x = 0$, то и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 0$, что противоречит равенству $\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

21. $x^3\sqrt{3}\sin x - x^3\cos x - \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$

Данное уравнение $x^3\sqrt{3}\sin x - x^3\cos x - \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$ можно решить методом разложения на множители. Сначала сгруппируем слагаемые: $(x^3\sqrt{3}\sin x - x^3\cos x) - (\sqrt{3}\sin x - \cos x) = 0$. Затем вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(\sqrt{3}\sin x - \cos x) - 1(\sqrt{3}\sin x - \cos x) = 0$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(\sqrt{3}\sin x - \cos x)$, получив уравнение: $(x^3 - 1)(\sqrt{3}\sin x - \cos x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это позволяет нам разбить исходное уравнение на два независимых уравнения:

1) $x^3 - 1 = 0$. Отсюда следует, что $x^3 = 1$. Единственным действительным корнем этого кубического уравнения является $x = 1$.

2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sqrt{3}\sin x = \cos x$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$. Это действие корректно, так как если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin x = 0$, что невозможно, поскольку основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ не выполнялось бы. Разделив на $\cos x$, получаем: $\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} = 1$, что эквивалентно $\sqrt{3}\tan x = 1$, или $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Решениями этого уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$).

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, мы находим все корни исходного уравнения.

Ответ: $x=1$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

22. $cos^3 x - sin^3 x = cosx - sinx$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$(cos^3 x - sin^3 x) - (cosx - sinx) = 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к первому слагаемому:

$(cosx - sinx)(cos^2 x + cosx \cdot sinx + sin^2 x) - (cosx - sinx) = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2 x + sin^2 x = 1$. Выражение в скобках упрощается:

$(cosx - sinx)(1 + cosx \cdot sinx) - (cosx - sinx) = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(cosx - sinx)$ за скобки:

$(cosx - sinx)((1 + cosx \cdot sinx) - 1) = 0$

$(cosx - sinx)(cosx \cdot sinx) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $cosx - sinx = 0$

2) $cosx \cdot sinx = 0$

Решим первое уравнение:

$cosx = sinx$

Разделим обе части на $cosx$ (при условии, что $cosx \neq 0$. Если $cosx=0$, то $sinx = \pm 1$, и равенство не выполняется, следовательно, корни не теряются).

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Решим второе уравнение:

$cosx \cdot sinx = 0$

Это уравнение можно решить, используя формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sinx \cdot cosx$.

$\frac{1}{2} sin(2x) = 0$

$sin(2x) = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in Z$.

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Это решение объединяет случаи, когда $cosx=0$ ($x = \frac{\pi}{2} + \pi m$) и $sinx=0$ ($x = \pi m$).

Объединяя решения обоих уравнений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in Z$; $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

23. $\sin \frac{\pi x}{2} + \cos \frac{\pi x}{2} = \sin \pi x + 1.$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся методом замены переменной и тригонометрическими формулами.

Исходное уравнение:

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = \sin(\pi x) + 1 $$

В правой части уравнения используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Применим её для $\sin(\pi x)$, где $\alpha = \frac{\pi x}{2}$:

$$ \sin(\pi x) = 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} $$

Подставим это в исходное уравнение:

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} + 1 $$

Введем замену: пусть $t = \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2}$.

Чтобы выразить произведение $\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$$ t^2 = \left(\sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2}\right)^2 = \sin^2\frac{\pi x}{2} + \cos^2\frac{\pi x}{2} + 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} $$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$$ t^2 = 1 + 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} $$

Теперь подставим $t$ и $t^2$ в преобразованное уравнение $ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 2\sin\frac{\pi x}{2}\cos\frac{\pi x}{2} + 1 $:

$$ t = (t^2 - 1) + 1 $$

$$ t = t^2 $$

Решим это простое квадратное уравнение относительно $t$:

$$ t^2 - t = 0 $$

$$ t(t - 1) = 0 $$

Уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$ и рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 0$

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 0 $$

$$ \sin\frac{\pi x}{2} = -\cos\frac{\pi x}{2} $$

Разделим обе части на $\cos\frac{\pi x}{2}$ (это допустимо, так как если $\cos\frac{\pi x}{2}=0$, то и $\sin\frac{\pi x}{2}=0$, что невозможно одновременно).

$$ \tan\frac{\pi x}{2} = -1 $$

Решаем это уравнение:

$$ \frac{\pi x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

$$ x = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4} + k\right) $$

$$ x = -\frac{1}{2} + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Случай 2: $t = 1$

$$ \sin\frac{\pi x}{2} + \cos\frac{\pi x}{2} = 1 $$

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{\pi x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{\pi x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos\frac{\pi}{4}$ и $\sin\frac{\pi}{4}$ соответственно:

$$ \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi x}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

По формуле синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ сворачиваем левую часть:

$$ \sin\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Это уравнение имеет два семейства решений:

а) $$ \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi x}{2} = 2\pi n $$

$$ x = 4n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

б) $$ \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{\pi x}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $$

$$ x = 1 + 4n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = -\frac{1}{2} + 2k; \quad x = 4n; \quad x = 1 + 4n, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.

24. $ \cos^4 x - \sin^4 x = \sin 4x $

Дано тригонометрическое уравнение:

$cos^4 x - sin^4 x = sin 4x$

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами. Сначала преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть представляет собой разность квадратов: $cos^4 x - sin^4 x = (cos^2 x)^2 - (sin^2 x)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(cos^2 x)^2 - (sin^2 x)^2 = (cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x)$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x$.

Подставляя эти тождества в преобразованное выражение, получаем:

$(cos^2 x - sin^2 x)(cos^2 x + sin^2 x) = cos(2x) \cdot 1 = cos(2x)$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$cos(2x) = sin(4x)$

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $sin(2a) = 2sin(a)cos(a)$. В нашем случае $a = 2x$, поэтому:

$sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)$

Подставляем это выражение обратно в уравнение:

$cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем общий множитель $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x) - 2sin(2x)cos(2x) = 0$

$cos(2x)(1 - 2sin(2x)) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $cos(2x) = 0$

2) $1 - 2sin(2x) = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$cos(2x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in Z$).

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

Решение второго уравнения:

$1 - 2sin(2x) = 0$

$2sin(2x) = 1$

$sin(2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается как:

$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n$ - любое целое число ($n \in Z$).

Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in Z$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

Общее решение исходного уравнения является объединением решений обоих уравнений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in Z$.

25. $3\text{ctg}^3 x + 4\text{ctg}^2 x + \text{ctg} x = 0$

Данное тригонометрическое уравнение является кубическим относительно функции котангенса. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $y = \operatorname{ctg} x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$3y^3 + 4y^2 + y = 0$

Это кубическое уравнение, которое можно решить методом разложения на множители. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(3y^2 + 4y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $y = 0$

2) $3y^2 + 4y + 1 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=3, b=4, c=1$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, мы получили три возможных значения для $y$: $0, -1, -\frac{1}{3}$.

Теперь выполним обратную замену $y = \operatorname{ctg} x$ и решим три простейших тригонометрических уравнения для каждого из найденных значений.

Случай 1: $\operatorname{ctg} x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\operatorname{ctg} x = -1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 3: $\operatorname{ctg} x = -\frac{1}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \operatorname{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$; $x = \operatorname{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

26. $ \cos^3 \left( \left( \arccos \frac{1}{2} \right) x \right) + \sin^3 \left( \pi + \frac{\pi x}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi x}{3} \right). $

Для начала упростим выражение в уравнении, вычисляя известные значения и используя тригонометрические формулы приведения.

1. Вычислим значение арккосинуса: $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Тогда первый член уравнения примет вид: $cos^3\left(\left(\arccos\frac{1}{2}\right)x\right) = cos^3\left(\frac{\pi x}{3}\right)$.

2. Упростим второй член, используя формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin^3\left(\pi + \frac{\pi x}{3}\right) = \left(-\sin\left(\frac{\pi x}{3}\right)\right)^3 = -\sin^3\left(\frac{\pi x}{3}\right)$.

3. Упростим правую часть уравнения, используя формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha)$.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi x}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi x}{3}\right)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$cos^3\left(\frac{\pi x}{3}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi x}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi x}{3}\right)$.

Далее, преобразуем обе части уравнения. К левой части применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а правую часть представим с помощью формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Левая часть: $\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(\cos^2\frac{\pi x}{3} + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3} + \sin^2\frac{\pi x}{3}\right)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3}\right)$.

Правая часть: $\cos\left(2 \cdot \frac{\pi x}{3}\right) = \cos^2\frac{\pi x}{3} - \sin^2\frac{\pi x}{3}$.
Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(\cos\frac{\pi x}{3} + \sin\frac{\pi x}{3}\right)$.

Теперь уравнение имеет вид:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3}\right) = \left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)\left(\cos\frac{\pi x}{3} + \sin\frac{\pi x}{3}\right)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right)$ за скобки:
$\left(\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3}\right) \left[ \left(1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3}\right) - \left(\cos\frac{\pi x}{3} + \sin\frac{\pi x}{3}\right) \right] = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений.

1) $\cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3} = 0$.
$\cos\frac{\pi x}{3} = \sin\frac{\pi x}{3}$.
Разделив обе части на $\cos\frac{\pi x}{3}$ (который не равен нулю, так как в противном случае и синус был бы равен нулю, что невозможно), получим:
$\tan\frac{\pi x}{3} = 1$.
$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{3}{4} + 3n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \cos\frac{\pi x}{3}\sin\frac{\pi x}{3} - \cos\frac{\pi x}{3} - \sin\frac{\pi x}{3} = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(1 - \sin\frac{\pi x}{3}) - \cos\frac{\pi x}{3}(1 - \sin\frac{\pi x}{3}) = 0$.
$(1 - \sin\frac{\pi x}{3})(1 - \cos\frac{\pi x}{3}) = 0$.
Это уравнение также распадается на два:

а) $1 - \sin\frac{\pi x}{3} = 0 \implies \sin\frac{\pi x}{3} = 1$.
$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{3}{2} + 6k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 - \cos\frac{\pi x}{3} = 0 \implies \cos\frac{\pi x}{3} = 1$.
$\frac{\pi x}{3} = 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$x = 6m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все три полученные серии решений, записываем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{3}{4} + 3n;\; x = \frac{3}{2} + 6k;\; x = 6m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

27. (2) В начале маршрута в автобус сели 23 человека. Водитель очень спешил, поэтому останавливался только тогда, когда выйти хотели не менее четверти пассажиров, находящихся в автобусе. Заходить никто никогда не успевал. Сколько раз автобус мог остановиться?

Для решения задачи определим условия, при которых автобус может совершить остановку. Пусть $N$ — это текущее количество пассажиров в автобусе. Автобус остановится, если число желающих выйти, обозначим его $V$, будет не менее четверти от $N$. Поскольку $V$ должно быть целым числом, математически это условие выглядит так: $V \ge \lceil \frac{N}{4} \rceil$. При этом на каждой остановке могут выйти от $\lceil \frac{N}{4} \rceil$ до всех $N$ пассажиров.

Изначально в автобусе находится 23 человека. Вопрос "Сколько раз автобус мог остановиться?" предполагает нахождение всех возможных вариантов числа остановок.

Сначала найдем максимальное возможное количество остановок. Это произойдет в том случае, если на каждой остановке будет выходить минимально необходимое число пассажиров. Это позволит "растянуть" процесс на максимальное количество шагов.

1. 1-я остановка: в автобусе 23 человека. Минимально выходящих: $V_1 = \lceil \frac{23}{4} \rceil = \lceil 5.75 \rceil = 6$. Остается: $23 - 6 = 17$ пассажиров.

2. 2-я остановка: в автобусе 17 человек. Минимально выходящих: $V_2 = \lceil \frac{17}{4} \rceil = \lceil 4.25 \rceil = 5$. Остается: $17 - 5 = 12$ пассажиров.

3. 3-я остановка: в автобусе 12 человек. Минимально выходящих: $V_3 = \lceil \frac{12}{4} \rceil = 3$. Остается: $12 - 3 = 9$ пассажиров.

4. 4-я остановка: в автобусе 9 человек. Минимально выходящих: $V_4 = \lceil \frac{9}{4} \rceil = \lceil 2.25 \rceil = 3$. Остается: $9 - 3 = 6$ пассажиров.

5. 5-я остановка: в автобусе 6 человек. Минимально выходящих: $V_5 = \lceil \frac{6}{4} \rceil = \lceil 1.5 \rceil = 2$. Остается: $6 - 2 = 4$ пассажира.

6. 6-я остановка: в автобусе 4 человека. Минимально выходящих: $V_6 = \lceil \frac{4}{4} \rceil = 1$. Остается: $4 - 1 = 3$ пассажира.

7. 7-я остановка: в автобусе 3 человека. Минимально выходящих: $V_7 = \lceil \frac{3}{4} \rceil = \lceil 0.75 \rceil = 1$. Остается: $3 - 1 = 2$ пассажира.

8. 8-я остановка: в автобусе 2 человека. Минимально выходящих: $V_8 = \lceil \frac{2}{4} \rceil = \lceil 0.5 \rceil = 1$. Остается: $2 - 1 = 1$ пассажир.

9. 9-я остановка: в автобусе 1 человек. Минимально выходящих: $V_9 = \lceil \frac{1}{4} \rceil = \lceil 0.25 \rceil = 1$. Остается: $1 - 1 = 0$ пассажиров.

Таким образом, максимальное количество остановок, которое мог совершить автобус, равно 9.

Теперь найдем минимальное возможное количество остановок. Это произойдет, если на остановке выйдет максимальное число пассажиров. В нашем случае, на первой же остановке могут выйти все пассажиры.

В автобусе 23 человека. Условие для остановки — не менее $\lceil \frac{23}{4} \rceil = 6$ желающих выйти. Если все 23 пассажира решат выйти, условие $23 \ge 6$ будет выполнено. Автобус остановится, все пассажиры выйдут, и он станет пустым. Это будет единственная остановка.

Таким образом, минимальное количество остановок равно 1.

Поскольку на каждой остановке количество выходящих пассажиров $V$ может быть любым целым числом в диапазоне от $\lceil \frac{N}{4} \rceil$ до $N$, мы можем построить сценарий для любого количества остановок от 1 до 9. Например, чтобы получить 8 остановок, можно первые 7 раз высаживать минимальное число пассажиров (как в расчете максимального числа остановок), а на 8-й остановке высадить всех оставшихся (в тот момент в автобусе будет 2 человека, и условие $2 \ge \lceil \frac{2}{4} \rceil$ выполняется). Аналогично можно получить любое другое число остановок в этом диапазоне.

Ответ: Автобус мог остановиться любое целое число раз от 1 до 9 включительно (то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 раз).

28. (2) Упростите выражение

$\frac{(pq^{-1}+1)^2}{pq^{-1}-p^{-1}} \cdot \frac{p^3q^{-3}-1}{p^2q^{-2}+pq^{-1}+1} : \frac{p^3q^{-3}+1}{pq^{-1}+p^{-1}q-1}$

28. (2) Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Исходное выражение представляет собой произведение и частное дробей:

$ \frac{(pq^{-1}+1)^2}{pq^{-1}-p^{-1}q} \cdot \frac{p^3q^{-3}-1}{p^2q^{-2}+pq^{-1}+1} : \frac{p^3q^{-3}+1}{pq^{-1}+p^{-1}q-1} $

Заменим операцию деления на умножение, перевернув последнюю дробь (делитель):

$ \frac{(pq^{-1}+1)^2}{pq^{-1}-p^{-1}q} \cdot \frac{p^3q^{-3}-1}{p^2q^{-2}+pq^{-1}+1} \cdot \frac{pq^{-1}+p^{-1}q-1}{p^3q^{-3}+1} $

Чтобы упростить работу с выражением, введем замену. Пусть $a = pq^{-1}$. Тогда:

$ p^{-1}q = (p^{-1})^{-1}(q^{-1})^{-1} = (pq^{-1})^{-1} = a^{-1} $

$ p^2q^{-2} = (pq^{-1})^2 = a^2 $

$ p^3q^{-3} = (pq^{-1})^3 = a^3 $

Подставим новую переменную $a$ в наше выражение:

$ \frac{(a+1)^2}{a-a^{-1}} \cdot \frac{a^3-1}{a^2+a+1} \cdot \frac{a+a^{-1}-1}{a^3+1} $

Теперь упростим каждую из трех дробей по отдельности.

1. Упрощение первой дроби:

$ \frac{(a+1)^2}{a-a^{-1}} = \frac{(a+1)^2}{a-\frac{1}{a}} = \frac{(a+1)^2}{\frac{a^2-1}{a}} = \frac{a(a+1)^2}{a^2-1} $

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем:

$ \frac{a(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a(a+1)}{a-1} $

2. Упрощение второй дроби. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{a^3-1}{a^2+a+1} = \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a^2+a+1} = a-1 $

3. Упрощение третьей дроби. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ \frac{a+a^{-1}-1}{a^3+1} = \frac{a+\frac{1}{a}-1}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{\frac{a^2+1-a}{a}}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a^2-a+1}{a(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{1}{a(a+1)} $

Теперь, когда все три дроби упрощены, перемножим их:

$ \frac{a(a+1)}{a-1} \cdot (a-1) \cdot \frac{1}{a(a+1)} $

Запишем все под одной чертой и проведем сокращение:

$ \frac{a(a+1)(a-1)}{(a-1)a(a+1)} = 1 $

Все множители в числителе и знаменателе сокращаются.

Ответ: 1