Страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

21. (3)

$3\cos^2 x - 3\cos x + \sin^2 x = 0$. Найдите сумму минимального и максимального корней на отрезке $[4\pi;6\pi]$.

Решение уравнения

Исходное уравнение: $3\cos^2 x - 3\cos x + \sin^2 x = 0$. Для его решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим это выражение в уравнение:

$3\cos^2 x - 3\cos x + (1 - \cos^2 x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3\cos^2 x - \cos^2 x) - 3\cos x + 1 = 0$

$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Произведем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как значение косинуса находится в пределах от -1 до 1, то и для $t$ справедливо ограничение $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня, $t_1 = 1/2$ и $t_2 = 1$, удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к переменной $x$.

1. $\cos x = 1$. Общее решение этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = 1/2$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нахождение корней на отрезке $[4\pi; 6\pi]$

Теперь необходимо отобрать те корни, которые принадлежат заданному отрезку $[4\pi; 6\pi]$.

Для первой серии корней $x = 2\pi k$:

$4\pi \le 2\pi k \le 6\pi$

Разделим неравенство на $2\pi$:

$2 \le k \le 3$

Поскольку $k$ — целое число, нам подходят значения $k=2$ и $k=3$.

При $k=2$ получаем корень $x_1 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

При $k=3$ получаем корень $x_2 = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Для второй серии корней $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

а) Рассмотрим подсерию $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

$4\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 6\pi$

$4 \le \frac{1}{3} + 2n \le 6 \implies 4 - \frac{1}{3} \le 2n \le 6 - \frac{1}{3} \implies \frac{11}{3} \le 2n \le \frac{17}{3} \implies \frac{11}{6} \le n \le \frac{17}{6}$

Это неравенство можно записать как $1\frac{5}{6} \le n \le 2\frac{5}{6}$. Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=2$.

При $n=2$ получаем корень $x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$.

б) Рассмотрим подсерию $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

$4\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 6\pi$

$4 \le -\frac{1}{3} + 2n \le 6 \implies 4 + \frac{1}{3} \le 2n \le 6 + \frac{1}{3} \implies \frac{13}{3} \le 2n \le \frac{19}{3} \implies \frac{13}{6} \le n \le \frac{19}{6}$

Это неравенство можно записать как $2\frac{1}{6} \le n \le 3\frac{1}{6}$. Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=3$.

При $n=3$ получаем корень $x_4 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 3 = -\frac{\pi}{3} + 6\pi = \frac{17\pi}{3}$.

Нахождение суммы минимального и максимального корней

Мы нашли все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi; 6\pi]$: $4\pi, 6\pi, \frac{13\pi}{3}, \frac{17\pi}{3}$. Для определения минимального и максимального корней сравним их. Приведем все корни к общему знаменателю 3: $4\pi = \frac{12\pi}{3}$ и $6\pi = \frac{18\pi}{3}$. Расположим корни в порядке возрастания: $\frac{12\pi}{3} < \frac{13\pi}{3} < \frac{17\pi}{3} < \frac{18\pi}{3}$.

Следовательно, минимальный корень на отрезке $x_{min} = 4\pi$.

Максимальный корень на отрезке $x_{max} = 6\pi$.

Сумма минимального и максимального корней равна:

$x_{min} + x_{max} = 4\pi + 6\pi = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.

22. (3) $0.5\sin 2\pi x = \cos\pi x - \sin^2 \pi x + 1.$

22. (3) Дано тригонометрическое уравнение: $0,5 \sin(2\pi x) = \cos(\pi x) - \sin^2(\pi x) + 1$.

Для решения этого уравнения преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Во-первых, применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $ для левой части, где $ \alpha = \pi x $. Во-вторых, используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ 0,5 \cdot (2\sin(\pi x)\cos(\pi x)) = \cos(\pi x) + (1 - \sin^2(\pi x)) $

Упростив, получаем:

$ \sin(\pi x)\cos(\pi x) = \cos(\pi x) + \cos^2(\pi x) $

Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$ \cos^2(\pi x) + \cos(\pi x) - \sin(\pi x)\cos(\pi x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(\pi x) $ за скобки:

$ \cos(\pi x) \cdot (\cos(\pi x) + 1 - \sin(\pi x)) = 0 $

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая.

Случай 1: $ \cos(\pi x) = 0 $

Общее решение этого уравнения имеет вид $ \pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Разделив на $ \pi $, находим первую серию корней:

$ x = \frac{1}{2} + k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \cos(\pi x) + 1 - \sin(\pi x) = 0 $

Перепишем уравнение в виде $ \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 1 $. Это линейное тригонометрическое уравнение, которое удобно решать методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\pi x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\pi x) \right) = 1 $

Поскольку $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, и мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, мы можем применить формулу синуса разности $ \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) $:

$ \sin(\pi x)\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\pi x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

$ \sin(\pi x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение имеет два семейства решений:

а) $ \pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{1}{2} + 2n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эта серия решений является подмножеством первой серии $ x = \frac{1}{2} + k $ (когда $k$ — четное число).

б) $ \pi x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \pi x = \pi + 2\pi n $

$ x = 1 + 2n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эта серия решений представляет собой все нечетные целые числа, которые можно также записать как $ x = 2n + 1 $.

Объединяя все найденные решения, получаем две независимые серии корней.

Ответ: $ x = \frac{1}{2} + k, \quad x = 2n + 1, \quad \text{где } k, n \in \mathbb{Z} $.

Найдите минимальный корень уравнения $2\operatorname{tg}x-1=\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}$ на отрезке $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Исходное уравнение: $2\tg x - 1 = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $ \tg x $ определена, если $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Также знаменатель дроби в правой части уравнения не должен быть равен нулю: $ 1 + \cos 2x \ne 0 $, что равносильно $ \cos 2x \ne -1 $. Решением этого условия является $ 2x \ne \pi + 2\pi k $, или $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Упростим правую часть уравнения, используя формулы понижения степени (или формулы двойного угла для косинуса):
$ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $
$ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $

Подставим эти выражения в правую часть исходного уравнения:
$ \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \tg^2 x $.

Теперь уравнение принимает вид:
$ 2\tg x - 1 = \tg^2 x $.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \tg x $:
$ \tg^2 x - 2\tg x + 1 = 0 $.

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности:
$ (\tg x - 1)^2 = 0 $.

Отсюда следует, что $ \tg x - 1 = 0 $, то есть $ \tg x = 1 $.

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид:
$ x = \arctan(1) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо найти корни, принадлежащие заданному отрезку $ [\pi; \frac{3\pi}{2}] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ n $:
$ \pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{3\pi}{2} $.

Разделим все части неравенства на $ \pi $:
$ 1 \le \frac{1}{4} + n \le \frac{3}{2} $.

Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей неравенства:
$ 1 - \frac{1}{4} \le n \le \frac{3}{2} - \frac{1}{4} $
$ \frac{3}{4} \le n \le \frac{6}{4} - \frac{1}{4} $
$ \frac{3}{4} \le n \le \frac{5}{4} $.

Поскольку $ n $ — целое число, единственное возможное значение $ n $ в этом интервале — это $ n = 1 $.

Подставим $ n=1 $ в формулу для корней:
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4} $.

Проверим, что найденный корень $ x = \frac{5\pi}{4} $ принадлежит отрезку $ [\pi; \frac{3\pi}{2}] $.
$ \pi = \frac{4\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4} $. Неравенство $ \frac{4\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{6\pi}{4} $ является верным.
Найденный корень $ x = \frac{5\pi}{4} $ не совпадает с точками вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, поэтому он удовлетворяет ОДЗ.

Так как на заданном отрезке мы нашли только один корень, он и является минимальным (а также и единственным).

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} $

24. (3)

$3 \frac{(\sin^4 x + \cos^4 x)}{\cos^4 x} = 10 \frac{(1-\cos 2x)}{(1+\cos 2x)}.$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели в уравнении не должны равняться нулю:

1. Из знаменателя левой части: $\cos^4 x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Из знаменателя правой части: $1 + \cos 2x \neq 0$, что означает $\cos 2x \neq -1$. Решая это, получаем $2x \neq \pi + 2\pi k$, откуда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба условия идентичны, поэтому ОДЗ уравнения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим обе части уравнения.

Преобразуем левую часть. Так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$, мы можем почленно разделить числитель на знаменатель:$3 \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\cos^4 x} = 3 \left(\frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} + \frac{\cos^4 x}{\cos^4 x}\right) = 3(\tan^4 x + 1)$.

Преобразуем правую часть, используя формулы двойного угла для косинуса: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ и $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$:$10 \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} = 10 \frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = 10 \tan^2 x$.

После преобразований исходное уравнение принимает вид:$3(\tan^4 x + 1) = 10 \tan^2 x$.

Это биквадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \tan^2 x$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то $y \ge 0$.Подставляем $y$ в уравнение:$3(y^2 + 1) = 10y$$3y^2 + 3 = 10y$$3y^2 - 10y + 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.Корни уравнения:$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$y_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Оба корня ($y_1 = 1/3$ и $y_2 = 3$) положительны, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $\tan^2 x = y_1 = \frac{1}{3}$.

Из этого следует, что $\tan x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.Это дает две серии решений:$x = \arctan\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, что можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\tan^2 x = y_2 = 3$.

Из этого следует, что $\tan x = \pm \sqrt{3}$.Это дает еще две серии решений:$x = \arctan(\pm\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, что можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Все найденные решения принадлежат области допустимых значений.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z};~x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

25. (3) Пятачок съедает горшок меда за 10 минут, миску малины за 13 минут и выпивает банку сгущенки за 14 минут. Винни-Пух съедает горшок меда за 6 минут, миску малины тоже за 6 минут и выпивает банку сгущенного молока за 7 минут. За сколько Винни-Пух и Пятачок съедают все вместе?

Для решения этой задачи нужно последовательно рассчитать время, которое Винни-Пух и Пятачок потратят на поедание каждого блюда вместе, а затем сложить полученные значения времени. Этот тип задач решается через нахождение общей производительности (скорости поедания).

1. Горшок меда

Сначала определим скорость поедания меда для каждого персонажа. Скорость — это объем работы (1 горшок) деленный на время.Скорость Пятачка: $V_П = \frac{1}{10}$ горшка в минуту.Скорость Винни-Пуха: $V_В = \frac{1}{6}$ горшка в минуту.Чтобы найти их общую скорость при совместной работе, нужно сложить их индивидуальные скорости:$V_{общ} = V_П + V_В = \frac{1}{10} + \frac{1}{6}$Приведем дроби к общему знаменателю 30:$V_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{5}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ горшка в минуту.Теперь найдем время $T_м$, за которое они съедят один горшок меда вместе. Время — это объем работы (1), деленный на общую скорость:$T_м = \frac{1}{V_{общ}} = \frac{1}{\frac{4}{15}} = \frac{15}{4}$ минуты.

2. Миска малины

Аналогично рассчитаем время для миски малины.Скорость Пятачка: $V_П = \frac{1}{13}$ миски в минуту.Скорость Винни-Пуха: $V_В = \frac{1}{6}$ миски в минуту.Общая скорость:$V_{общ} = \frac{1}{13} + \frac{1}{6}$Приведем дроби к общему знаменателю 78:$V_{общ} = \frac{6}{78} + \frac{13}{78} = \frac{19}{78}$ миски в минуту.Время $T_{мал}$ на съедение миски малины вместе:$T_{мал} = \frac{1}{\frac{19}{78}} = \frac{78}{19}$ минуты.

3. Банка сгущенки

И, наконец, рассчитаем время для банки сгущенного молока.Скорость Пятачка: $V_П = \frac{1}{14}$ банки в минуту.Скорость Винни-Пуха: $V_В = \frac{1}{7}$ банки в минуту.Общая скорость:$V_{общ} = \frac{1}{14} + \frac{1}{7}$Приведем дроби к общему знаменателю 14:$V_{общ} = \frac{1}{14} + \frac{2}{14} = \frac{3}{14}$ банки в минуту.Время $T_с$ на выпивание банки сгущенки вместе:$T_с = \frac{1}{\frac{3}{14}} = \frac{14}{3}$ минуты.

4. Общее время

Чтобы найти общее время, за которое Винни-Пух и Пятачок съедят всё вместе, нужно сложить время, затраченное на каждый продукт:$T_{итого} = T_м + T_{мал} + T_с = \frac{15}{4} + \frac{78}{19} + \frac{14}{3}$Для сложения этих дробей найдем их наименьший общий знаменатель. $НОК(4, 19, 3) = 4 \cdot 19 \cdot 3 = 228$.Приведем каждую дробь к знаменателю 228:$T_{итого} = \frac{15 \cdot 57}{228} + \frac{78 \cdot 12}{228} + \frac{14 \cdot 76}{228} = \frac{855}{228} + \frac{936}{228} + \frac{1064}{228}$Сложим числители:$T_{итого} = \frac{855 + 936 + 1064}{228} = \frac{2855}{228}$ минуты.Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:$2855 \div 228 = 12$ и остаток $131$.Таким образом, $T_{итого} = 12 \frac{131}{228}$ минуты.

Ответ: Винни-Пух и Пятачок съедят все вместе за $12 \frac{131}{228}$ минуты.

26. (3) Вычислите:

a)

$\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{-3} \cdot (3,875)^{-1}}{(2,25)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}}$

б)

$\frac{(0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-1}}{(0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-2})^2}$

a)

Для решения данного примера преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные и приведем все степени к одному основанию.
Сначала преобразуем десятичные дроби:
$3,375 = 3 \frac{375}{1000} = 3 \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$
$2,25 = 2 \frac{25}{100} = 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Теперь заметим, что все числа в выражении можно представить как степень дроби $\frac{3}{2}$:
$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$
$\frac{9}{4} = \frac{3^2}{2^2} = (\frac{3}{2})^2$
$\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(\frac{3}{2})^{-3} \cdot ((\frac{3}{2})^3)^{-1}}{((\frac{3}{2})^2)^{-2} \cdot ((\frac{3}{2})^{-1})^{-1}}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:
$\frac{(\frac{3}{2})^{-3} \cdot (\frac{3}{2})^{-3}}{(\frac{3}{2})^{-4} \cdot (\frac{3}{2})^{1}}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в числителе и знаменателе:
$\frac{(\frac{3}{2})^{-3-3}}{(\frac{3}{2})^{-4+1}} = \frac{(\frac{3}{2})^{-6}}{(\frac{3}{2})^{-3}}$
Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, вычтем показатели:
$(\frac{3}{2})^{-6 - (-3)} = (\frac{3}{2})^{-6+3} = (\frac{3}{2})^{-3}$
Вычислим окончательное значение, используя свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:
$(\frac{3}{2})^{-3} = (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
Ответ: $\frac{8}{27}$

б)

Аналогично первому примеру, преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные и найдем общее основание для степеней.
Преобразуем дроби:
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$
Заметим, что $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$. Приведем все степени к основанию $\frac{2}{5}$.
Исходное выражение: $\frac{(0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-4}}{(0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-2})^2}$
Подставим преобразованные дроби и приведем к общему основанию:
Числитель: $(0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-4} = (\frac{2}{5})^{-2} \cdot (\frac{5}{2})^{-4} = (\frac{2}{5})^{-2} \cdot ((\frac{2}{5})^{-1})^{-4} = (\frac{2}{5})^{-2} \cdot (\frac{2}{5})^4 = (\frac{2}{5})^{-2+4} = (\frac{2}{5})^2$.
Знаменатель: $(0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-2})^2 = ((\frac{2}{5})^2)^{-5} \cdot (((\frac{5}{2})^2)^{-2})^2 = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot ((\frac{5}{2})^{-4})^2 = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot (\frac{5}{2})^{-8} = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot ((\frac{2}{5})^{-1})^{-8} = (\frac{2}{5})^{-10} \cdot (\frac{2}{5})^8 = (\frac{2}{5})^{-10+8} = (\frac{2}{5})^{-2}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{(\frac{2}{5})^2}{(\frac{2}{5})^{-2}} = (\frac{2}{5})^{2 - (-2)} = (\frac{2}{5})^{2+2} = (\frac{2}{5})^4$
Вычислим результат:
$(\frac{2}{5})^4 = \frac{2^4}{5^4} = \frac{16}{625}$
Ответ: $\frac{16}{625}$

27. (2) Решите систему уравнений

$\begin{cases} (x+y)^2+(x-3y)^2=8, \\ x-3y+2=(x+y)^2. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^2 + (x-3y)^2 = 8 \\ x-3y + 2 = (x+y)^2 \end{cases} $

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $a = x+y$ и $b = x-3y$.

Тогда система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 8 \\ b + 2 = a^2 \end{cases} $

Мы можем подставить выражение для $a^2$ из второго уравнения в первое.

Из второго уравнения: $a^2 = b + 2$.

Подставляем в первое уравнение:

$(b+2) + b^2 = 8$

$b^2 + b + 2 - 8 = 0$

$b^2 + b - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$b_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$b_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Теперь для каждого найденного значения $b$ найдем соответствующее значение $a$ из уравнения $a^2 = b+2$.

1. Если $b = -3$:

$a^2 = -3 + 2 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

2. Если $b = 2$:

$a^2 = 2 + 2 = 4$.

Отсюда $a = \sqrt{4}$, что дает два значения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.

Таким образом, мы имеем две пары решений для $(a, b)$: $(2, 2)$ и $(-2, 2)$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$ для каждой пары.

Случай 1: $a = 2$ и $b = 2$.

Система для $x$ и $y$ выглядит так:

$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x-3y = 2 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x+y) - (x-3y) = 2 - 2$

$4y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение: $x + 0 = 2 \implies x = 2$.

Получаем первое решение: $(2, 0)$.

Случай 2: $a = -2$ и $b = 2$.

Система для $x$ и $y$ выглядит так:

$ \begin{cases} x+y = -2 \\ x-3y = 2 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x+y) - (x-3y) = -2 - 2$

$4y = -4 \implies y = -1$.

Подставим $y=-1$ в первое уравнение: $x + (-1) = -2 \implies x = -1$.

Получаем второе решение: $(-1, -1)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(-1, -1)$.

28. (2) Алдаркосе и Шигайбай разделили между собой выручку от продажи ковра-самолета. Алдаркосе подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Шигайбая уменьшилась бы на 60%. Как изменилась бы доля Шигайбая, если бы Алдаркосе взял себе денег на 50% больше?

Пусть $A$ — первоначальная доля Алдаркосе, а $S$ — первоначальная доля Шигайбая. Общая выручка от продажи ковра-самолета является постоянной величиной, которую мы можем обозначить как $V$, где $V = A + S$.

Из первого условия задачи следует: если бы Алдаркосе взял денег на 40% больше, то есть дополнительно взял бы сумму $0.4A$, то эта сумма была бы вычтена из доли Шигайбая. По условию, доля Шигайбая при этом уменьшилась бы на 60%, то есть на величину $0.6S$. Таким образом, дополнительная сумма, которую мог бы взять Алдаркосе, равна сумме, на которую уменьшилась бы доля Шигайбая. Это можно выразить уравнением:$0.4A = 0.6S$

Из этого уравнения мы можем найти соотношение между долями $A$ и $S$:$A = \frac{0.6}{0.4}S$$A = 1.5S$Это означает, что первоначальная доля Алдаркосе была в полтора раза больше доли Шигайбая.

Теперь перейдем к вопросу задачи: как изменилась бы доля Шигайбая, если бы Алдаркосе взял денег на 50% больше?Увеличение доли Алдаркосе на 50% составляет $0.5A$. Эта сумма, как и в первом случае, вычитается из доли Шигайбая. Таким образом, абсолютное уменьшение доли Шигайбая составит $\Delta S = 0.5A$.

Чтобы найти относительное изменение доли Шигайбая в процентах, нужно разделить величину уменьшения на его первоначальную долю $S$ и умножить на 100%:Процентное уменьшение = $\frac{\Delta S}{S} \times 100\% = \frac{0.5A}{S} \times 100\%$

Теперь мы можем подставить в эту формулу найденное ранее соотношение $A = 1.5S$:Процентное уменьшение = $\frac{0.5 \times (1.5S)}{S} \times 100\% = \frac{0.75S}{S} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$

Таким образом, если бы Алдаркосе взял денег на 50% больше, доля Шигайбая уменьшилась бы на 75%.
Ответ: доля Шигайбая уменьшилась бы на 75%.