Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

8.

А. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Б. В соревнованиях участвовали 4 команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

А. Эта задача относится к комбинаторике, а именно к перестановкам без повторений. У нас есть 5 различных цифр (1, 2, 3, 4, 5), из которых нужно составить пятизначные числа так, чтобы цифры не повторялись. Это означает, что нам нужно найти количество всех возможных перестановок из 5 элементов.

Количество перестановок из n элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае n = 5, так как у нас 5 цифр.

Вычисляем количество возможных чисел:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, можно составить 120 различных пятизначных чисел.

Ответ: 120.

Б. Эта задача также является задачей на перестановки. Есть 4 команды, и нужно распределить между ними 4 места (1-е, 2-е, 3-е, 4-е). Каждая команда может занять только одно место, и каждое место может быть занято только одной командой. Следовательно, нам нужно найти число всех возможных способов расставить 4 команды по 4 местам.

Это количество перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В данном случае n = 4.

Вычисляем количество вариантов распределения мест:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Следовательно, существует 24 варианта распределения мест между командами.

Ответ: 24.

1. Найдите производную функции:

А. $y=\sin((4x-1)^2)$

Б. $f(x) = \sqrt{\operatorname{ctg}x \cdot \sin\frac{x}{2}}$

А. $y = \sin(4x-1)^2$

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функция представляет собой композицию трех функций: $y=f(g(h(x)))$, где $h(x) = 4x-1$, $g(v) = v^2$, $f(u) = \sin u$.

Производная сложной функции находится по формуле: $y' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Поэтапно найдем производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \sin u$ равна $f'(u) = \cos u$.

2. Производная средней функции $g(v) = v^2$ равна $g'(v) = 2v$.

3. Производная внутренней функции $h(x) = 4x-1$ равна $h'(x) = 4$.

Теперь соберем все вместе, подставляя соответствующие выражения:

$y' = (\sin((4x-1)^2))' = \cos((4x-1)^2) \cdot ((4x-1)^2)'$

Производная $((4x-1)^2)'$ также находится по цепному правилу:

$((4x-1)^2)' = 2(4x-1)^1 \cdot (4x-1)' = 2(4x-1) \cdot 4 = 8(4x-1)$.

Подставляем это выражение в производную исходной функции:

$y' = \cos((4x-1)^2) \cdot 8(4x-1)$.

Запишем в более привычном виде:

$y' = 8(4x-1)\cos((4x-1)^2)$.

Ответ: $y' = 8(4x-1)\cos((4x-1)^2)$.

Б. $f(x) = \sqrt{\ctg x \cdot \sin\frac{x}{2}}$

Для нахождения производной этой функции сначала упростим выражение под корнем, используя тригонометрические тождества. Воспользуемся определением котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и формулой синуса двойного угла $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

$\ctg x \cdot \sin\frac{x}{2} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin\frac{x}{2} = \frac{\cos x}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} \cdot \sin\frac{x}{2} = \frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}$.

Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде:

$f(x) = \sqrt{\frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}}$.

Это сложная функция вида $f(x)=\sqrt{u(x)}$, где $u(x) = \frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}$. Ее производная находится по формуле $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Найдем производную $u'(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{g}{h})' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$:

$u'(x) = \left(\frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}\right)' = \frac{(\cos x)'(2\cos\frac{x}{2}) - (\cos x)(2\cos\frac{x}{2})'}{(2\cos\frac{x}{2})^2}$

$u'(x) = \frac{-\sin x \cdot 2\cos\frac{x}{2} - \cos x \cdot 2(-\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2})}{4\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{-2\sin x \cos\frac{x}{2} + \cos x \sin\frac{x}{2}}{4\cos^2\frac{x}{2}}$.

Преобразуем числитель, используя $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и $2\cos^2\frac{x}{2} = 1 + \cos x$:

$-2(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2})\cos\frac{x}{2} + \cos x \sin\frac{x}{2} = -4\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2} + \cos x \sin\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2}(-4\cos^2\frac{x}{2} + \cos x)$.

$\sin\frac{x}{2}(-2(1+\cos x) + \cos x) = \sin\frac{x}{2}(-2-2\cos x + \cos x) = -\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)$.

Итак, производная подкоренного выражения:

$u'(x) = -\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{4\cos^2\frac{x}{2}}$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{-\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{4\cos^2\frac{x}{2}}}{2\sqrt{\frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}}} = -\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2\cos\frac{x}{2}}{\cos x}}$

$f'(x) = -\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{\cos\frac{x}{2}}}{\sqrt{\cos x}} = -\frac{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^{3/2}\frac{x}{2}\sqrt{\cos x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^{3/2}\frac{x}{2}\sqrt{\cos x}}$.

2. Исследуйте на четность и нечетность функции:

А. $f(x)=\frac{x^4 + x^2 + |x| + 3}{x^2 - 1};$

Б. $g(x)=\sin x \cos 3x \cos 4x.$

А.

Для исследования функции $f(x) = \frac{x^4 + x^2 + |x| + 3}{x^2 - 1}$ на четность и нечетность необходимо проверить выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции).

1. Найдем область определения функции $D(f)$.Функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю:$x^2 - 1 \neq 0$$x^2 \neq 1$$x \neq 1$ и $x \neq -1$Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.Эта область определения является симметричной относительно начала координат, так как для любого $x$ из $D(f)$ соответствующее значение $-x$ также принадлежит $D(f)$.

2. Найдем $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$.Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:$f(-x) = \frac{(-x)^4 + (-x)^2 + |-x| + 3}{(-x)^2 - 1}$Воспользуемся свойствами четности степенных функций и модуля:$(-x)^4 = x^4$$(-x)^2 = x^2$$|-x| = |x|$Подставив эти результаты в выражение для $f(-x)$, получаем:$f(-x) = \frac{x^4 + x^2 + |x| + 3}{x^2 - 1}$

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.Полученное выражение для $f(-x)$ полностью совпадает с исходной функцией $f(x)$.Таким образом, $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.Следовательно, функция $f(x)$ является четной.

Ответ: функция четная.

Б.

Исследуем на четность и нечетность функцию $g(x) = \sin x \cos 3x \cos 4x$.

1. Найдем область определения функции $D(g)$.Тригонометрические функции $\sin x$, $\cos 3x$ и $\cos 4x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их произведения также все действительные числа: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $g(-x)$ и сравним его с $g(x)$.Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:$g(-x) = \sin(-x) \cos(3(-x)) \cos(4(-x))$Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:$\sin(-x) = -\sin x$ (синус - нечетная функция).$\cos(-u) = \cos u$ (косинус - четная функция).Применим эти свойства:$\sin(-x) = -\sin x$$\cos(3(-x)) = \cos(-3x) = \cos(3x)$$\cos(4(-x)) = \cos(-4x) = \cos(4x)$Подставим преобразованные выражения в $g(-x)$:$g(-x) = (-\sin x) \cdot (\cos 3x) \cdot (\cos 4x) = -(\sin x \cos 3x \cos 4x)$

3. Сравним $g(-x)$ с $g(x)$.Мы видим, что $g(-x) = -g(x)$.Так как область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$, то функция $g(x)$ является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

3. Найдите тангенс наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке графика с абсциссой $x_0$:

А. $y=1-\sqrt[3]{x}$, $x_0=1$;

Б. $y=x^2\cos x$, $x_0=1$.

А. Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = \tan{\alpha} = f'(x_0)$.

Дана функция $y = f(x) = 1 - \sqrt[3]{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции. Для удобства представим функцию в виде со степенным показателем: $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$.

Используя правила дифференцирования (производная константы равна нулю, производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$), получаем:
$f'(x) = (1 - x^{\frac{1}{3}})' = (1)' - (x^{\frac{1}{3}})' = 0 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{1}{3} \cdot 1^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, тангенс наклона касательной равен $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

Б. Дана функция $y = f(x) = x^2\cos{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную данной функции. Так как функция представляет собой произведение двух функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \cos{x}$, используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные $u'$ и $v'$:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (\cos{x})' = -\sin{x}$

Подставляем в формулу производной произведения:
$f'(x) = (x^2\cos{x})' = (x^2)'\cos{x} + x^2(\cos{x})' = 2x\cos{x} + x^2(-\sin{x}) = 2x\cos{x} - x^2\sin{x}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 2 \cdot

4. Решите системы:

А. $\begin{cases} \cos x > -\frac{1}{2}; \\ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{cases}$

Б. $\begin{cases} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

А.

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} \cos x > -\frac{1}{2} \\ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения используем единичную тригонометрическую окружность. Нам нужно найти углы $x$, для которых абсцисса (косинус) точки на окружности находится в интервале $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

1. Найдем углы, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$.

2. Найдем углы, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$.

На единичной окружности неравенству $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют две открытые дуги:

Первая дуга находится в первой и второй четвертях. Она соответствует углам, большим чем $\frac{\pi}{4}$ и меньшим чем $\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, получаем первый интервал решений: $\frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3}$.

Вторая дуга находится в третьей и четвертой четвертях. Она соответствует углам, большим чем $\frac{4\pi}{3}$ и меньшим чем $\frac{7\pi}{4}$. Таким образом, получаем второй интервал решений: $\frac{4\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение является объединением этих интервалов с добавлением $2\pi k$ к границам, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

Б.

В условии для первого неравенства системы, скорее всего, опечатка. Наиболее вероятный вариант, соответствующий сложности задания, — это система двух неравенств. Предположим, что первое неравенство — это $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $. Тогда система имеет вид:

$ \begin{cases} \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности, используя единичную тригонометрическую окружность.

1. Решение неравенства $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

На единичной окружности ордината (синус) точки должна быть меньше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Неравенству удовлетворяют углы на дуге, идущей от $ \frac{3\pi}{4} $ через $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi + \frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in \left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решение неравенства $ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.

На единичной окружности абсцисса (косинус) точки должна быть меньше или равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$. Неравенству удовлетворяют углы на дуге, идущей от $ \frac{\pi}{6} $ против часовой стрелки до $ \frac{11\pi}{6} $. Решение: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений.

Найдем пересечение полученных множеств решений на одном обороте (при $k=0$).

Первое множество: $x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi)$.

Второе множество: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

Пересечение этих множеств: $\left([0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi)\right) \cap \left[\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right]$.

Разобьем на два пересечения:

а) $[0, \frac{\pi}{4}] \cap [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}] = [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$

б) $[\frac{3\pi}{4}, 2\pi) \cap [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}] = [\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}]$

Объединяя эти результаты и добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

5.

А. Периметр прямоугольника равен 12 м. Каким должна быть длина сторон, чтобы его площадь была наибольшей?

Б. Из всех прямоугольников площадью 100 $\text{м}^2$ найдите тот, периметр которого наименьший.

А. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметр равен 12 м:$2(a + b) = 12$$a + b = 6$

Выразим одну сторону через другую, например, $b = 6 - a$. Подставим это выражение в формулу площади:$S(a) = a \cdot b = a(6 - a) = 6a - a^2$.

Мы получили функцию площади $S(a) = -a^2 + 6a$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы. Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -1$, $B = 6$. Найдем сторону $a$, при которой площадь будет максимальной:$a = -\frac{6}{2(-1)} = 3$ м.

Теперь найдем вторую сторону $b$:$b = 6 - a = 6 - 3 = 3$ м.

Таким образом, чтобы площадь была наибольшей, прямоугольник должен быть квадратом со стороной 3 м. Его площадь будет равна $S = 3 \cdot 3 = 9$ м².

Ответ: чтобы площадь была наибольшей, длины сторон прямоугольника должны быть равны 3 м и 3 м.

Б. Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$, а периметр $P = 2(a + b)$.

По условию, площадь равна 100 м²:$a \cdot b = 100$.

Выразим одну сторону через другую: $b = \frac{100}{a}$. Подставим это выражение в формулу периметра:$P(a) = 2(a + \frac{100}{a})$.

Чтобы найти наименьшее значение периметра, нужно найти точку минимума функции $P(a)$. Для этого найдем ее производную и приравняем к нулю.$P'(a) = (2a + \frac{200}{a})' = 2 - \frac{200}{a^2}$.

Приравняем производную к нулю:$2 - \frac{200}{a^2} = 0$$2 = \frac{200}{a^2}$$2a^2 = 200$$a^2 = 100$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, получаем $a = 10$ м.

Найдем вторую сторону $b$:$b = \frac{100}{a} = \frac{100}{10} = 10$ м.

Таким образом, из всех прямоугольников с площадью 100 м² наименьший периметр имеет квадрат со стороной 10 м. Его периметр равен $P = 2(10 + 10) = 40$ м.

Ответ: прямоугольник с наименьшим периметром — это квадрат со стороной 10 м.

6. Найдите:

А. $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1}\right)$;

Б. $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{1-2} - \frac{12}{x^3-8}\right).$

А. Требуется найти предел $ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1} \right) $.

При $ x \to \infty $ пределы каждого слагаемого в отдельности дают неопределенность: $ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3}{1+5x^2} = \infty $ и $ \lim_{x \to \infty} \frac{1-3x^2}{3x+1} = -\infty $. В результате мы имеем дело с неопределенностью вида $ \infty - \infty $. Чтобы ее раскрыть, приведем дроби к общему знаменателю.

$ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x^3(3x+1) + (1-3x^2)(1+5x^2)}{(1+5x^2)(3x+1)} \right) $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $ 5x^3(3x+1) + (1-3x^2)(1+5x^2) = (15x^4 + 5x^3) + (1 + 5x^2 - 3x^2 - 15x^4) = 5x^3 + 2x^2 + 1 $.

Знаменатель: $ (1+5x^2)(3x+1) = 3x + 1 + 15x^3 + 5x^2 = 15x^3 + 5x^2 + 3x + 1 $.

Подставим полученные выражения обратно в предел:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2 + 1}{15x^3 + 5x^2 + 3x + 1} $

Теперь мы имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $ x $, то есть на $ x^3 $.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{15x^3}{x^3} + \frac{5x^2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{15 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}} $

Поскольку при $ x \to \infty $ все слагаемые вида $ \frac{c}{x^n} $ (где $ n>0 $) стремятся к нулю, получаем:

$ \frac{5 + 0 + 0}{15 + 0 + 0 + 0} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

Б. Требуется найти предел $ \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{12}{x^3-8} \right) $.

При подстановке $ x=2 $ в каждое слагаемое получаем $ \frac{1}{0} - \frac{12}{0} $, что является неопределенностью вида $ \infty - \infty $. Для раскрытия неопределенности приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби $ x^3-8 $ на множители, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ (x-2)(x^2+2x+4) $:

$ \lim_{x \to 2} \left( \frac{1 \cdot (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{12}{(x-2)(x^2+2x+4)} \right) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x+4-12}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x-8}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

При подстановке $ x=2 $ в новое выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Это означает, что мы можем сократить дробь на множитель $ (x-2) $. Для этого разложим числитель $ x^2+2x-8 $ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $ x^2+2x-8=0 $. По теореме Виета, сумма корней равна $ -2 $, а произведение равно $ -8 $. Корнями являются $ x_1=2 $ и $ x_2=-4 $. Следовательно, $ x^2+2x-8 = (x-2)(x+4) $.

Подставим разложение в предел:

$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

Сократим на $ (x-2) $, так как по определению предела $ x \to 2 $, но $ x \neq 2 $:

$ \lim_{x \to 2} \frac{x+4}{x^2+2x+4} $

Теперь можно подставить $ x=2 $ в полученное непрерывное выражение:

$ \frac{2+4}{2^2+2 \cdot 2+4} = \frac{6}{4+4+4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

7. Найдите наименьший положительный период функции:

А. $y = \sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x$

Б. $y = \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x$

А. Для нахождения наименьшего положительного периода функции $y = \sin4x\cos x - \cos4x\sin x$ воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. В нашем случае $\alpha = 4x$ и $\beta = x$. Таким образом, функцию можно упростить:$y = \sin(4x - x) = \sin(3x)$.Наименьший положительный период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.Для функции $y = \sin(3x)$ коэффициент $k=3$.Следовательно, наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{3}$.Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

Б. Для нахождения наименьшего положительного периода функции $y = \cos5x\cos3x + \sin5x\sin3x$ воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. В данном случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Упростим данную функцию:$y = \cos(5x - 3x) = \cos(2x)$.Наименьший положительный период функции вида $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.Для функции $y = \cos(2x)$ коэффициент $k=2$.Следовательно, наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.Ответ: $\pi$.

8. А.
Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 разных предмета?

Б.
Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

А. Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить 4 разных предмета, выбрав их из 8 доступных. Поскольку порядок предметов в расписании важен (например, "Математика, Физика" — это не то же самое расписание, что и "Физика, Математика"), мы будем использовать формулу для нахождения числа размещений.
Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 8$ (общее количество предметов).
$k = 4$ (количество предметов в расписании на день).
Подставим значения в формулу:
$A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$
Можно рассуждать и по-другому, используя правило умножения:
- На место первого урока можно поставить любой из 8 предметов.
- На место второго урока — любой из оставшихся 7 предметов.
- На место третьего — любой из оставшихся 6 предметов.
- На место четвертого — любой из оставшихся 5 предметов.
Общее число способов будет произведением этих вариантов: $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$.
Ответ: 1680 способами.

Б. Нам нужно составить трехзначные числа из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, при этом цифры в числе не должны повторяться. Всего в наборе 7 цифр.
Трехзначное число имеет три разряда: сотни, десятки и единицы.
1. Выбор первой цифры (разряд сотен): Трехзначное число не может начинаться с 0. Следовательно, для первой цифры у нас есть 6 вариантов выбора (любая цифра из {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
2. Выбор второй цифры (разряд десятков): Для второй цифры мы можем использовать любую из оставшихся цифр, включая 0. Одна цифра уже занята на первом месте. Значит, из 7 исходных цифр осталось $7 - 1 = 6$ вариантов.
3. Выбор третьей цифры (разряд единиц): Две цифры уже использованы (для сотен и десятков). Следовательно, для третьей цифры остается $7 - 2 = 5$ вариантов.
Чтобы найти общее количество возможных трехзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$6 \times 6 \times 5 = 180$
Ответ: можно составить 180 трехзначных чисел.