Страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. Определите количество корней уравнения $2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=1$, принадлежащих промежутку $[\pi;4\pi]$.

Для решения задачи сначала найдем общее решение уравнения, а затем отберем корни, принадлежащие заданному промежутку.

Исходное уравнение:

$2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) = 1$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:

$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Аргумент косинуса $3x-\frac{\pi}{6}$ должен быть равен углам, косинус которых равен $\frac{1}{2}$. Общее решение для такого типа уравнений записывается в виде:

$3x - \frac{\pi}{6} = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$3x - \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Разобьем это уравнение на две серии решений.

Первая серия решений (со знаком "+"):

$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Разделим на 3, чтобы найти $x$:

$x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$

Вторая серия решений (со знаком "-"):

$3x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$3x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим на 3, чтобы найти $x$:

$x_2 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$

Теперь необходимо найти, сколько корней из каждой серии попадает в промежуток $[\pi; 4\pi]$.

Отбор корней для первой серии $x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$:

Составим двойное неравенство:

$\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le 4\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 \le \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} \le 4$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$1 - \frac{1}{6} \le \frac{2k}{3} \le 4 - \frac{1}{6}$

$\frac{5}{6} \le \frac{2k}{3} \le \frac{23}{6}$

Умножим все части на $\frac{3}{2}$, чтобы найти $k$:

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{23}{6} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{5}{4} \le k \le \frac{23}{4}$

$1.25 \le k \le 5.75$

Так как $k$ - целое число, то подходящие значения $k$ это $2, 3, 4, 5$. Таким образом, из первой серии в данный промежуток попадают 4 корня.

Отбор корней для второй серии $x_2 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$:

Составим двойное неравенство:

$\pi \le -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \le 4\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$1 \le -\frac{1}{18} + \frac{2k}{3} \le 4$

Прибавим $\frac{1}{18}$ ко всем частям:

$1 + \frac{1}{18} \le \frac{2k}{3} \le 4 + \frac{1}{18}$

$\frac{19}{18} \le \frac{2k}{3} \le \frac{73}{18}$

Умножим все части на $\frac{3}{2}$:

$\frac{19}{18} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{73}{18} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{19}{12} \le k \le \frac{73}{12}$

$1.583... \le k \le 6.083...$

Так как $k$ - целое число, то подходящие значения $k$ это $2, 3, 4, 5, 6$. Таким образом, из второй серии в данный промежуток попадают 5 корней.

Общее количество корней уравнения, принадлежащих промежутку $[\pi; 4\pi]$, равно сумме корней из обеих серий: $4 + 5 = 9$.

Ответ: 9.

8. (3) Определите сумму корней уравнения $2\sin\left(2\pi x-\frac{\pi}{5}\right)+\sqrt{8}=0$, принадлежащих интервалу $(-1; 1)$.

8. (3)

Для решения задачи сначала преобразуем данное тригонометрическое уравнение:
$2\sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0$
Изолируем синус:
$2\sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\sqrt{3}$
$\sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ записывается в виде $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В нашем случае $y = 2\pi x - \frac{\pi}{5}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Для удобства разделим решение на две серии, соответствующие четным и нечетным значениям $k$.

1. Первая серия решений (для четных $k$, т.е. $k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = (-1)^{2n} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n$
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2\pi x = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 5\pi}{15} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{15} + 2\pi n$
Разделив на $2\pi$, получим $x$:
$x = -\frac{1}{15} + n$

2. Вторая серия решений (для нечетных $k$, т.е. $k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$):
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = (-1)^{2n+1} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi(2n+1)$
$2\pi x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n + \pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$
$2\pi x = \frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi + 20\pi}{15} + 2\pi n = \frac{23\pi}{15} + 2\pi n$
Разделив на $2\pi$, получим $x$:
$x = \frac{23}{30} + n$

Теперь необходимо найти все корни, которые лежат в интервале $(-1; 1)$.
Для первой серии $x = -\frac{1}{15} + n$:
$-1 < -\frac{1}{15} + n < 1 \implies -1 + \frac{1}{15} < n < 1 + \frac{1}{15} \implies -\frac{14}{15} < n < \frac{16}{15}$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.
При $n=0 \implies x_1 = -\frac{1}{15}$.
При $n=1 \implies x_2 = -\frac{1}{15} + 1 = \frac{14}{15}$.

Для второй серии $x = \frac{23}{30} + n$:
$-1 < \frac{23}{30} + n < 1 \implies -1 - \frac{23}{30} < n < 1 - \frac{23}{30} \implies -\frac{53}{30} < n < \frac{7}{30}$
$-1.76... < n < 0.23...$
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=-1$ и $n=0$.
При $n=-1 \implies x_3 = \frac{23}{30} - 1 = -\frac{7}{30}$.
При $n=0 \implies x_4 = \frac{23}{30}$.

Мы нашли четыре корня, принадлежащие заданному интервалу: $-\frac{1}{15}, \frac{14}{15}, -\frac{7}{30}, \frac{23}{30}$.
Определим их сумму:
Сумма $= x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \left(-\frac{1}{15}\right) + \frac{14}{15} + \left(-\frac{7}{30}\right) + \frac{23}{30}$
Сумма $= \frac{13}{15} + \frac{16}{30}$
Приведем к общему знаменателю 30:
Сумма $= \frac{26}{30} + \frac{16}{30} = \frac{42}{30}$
Сократим полученную дробь:
Сумма $= \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{7}{5}$

Ответ: $\frac{7}{5}$

9. Решите уравнение:

а) $ \text{tg} \pi x = 0 $;

б) $ \text{tg} x = -1 $;

в) $ \text{tg} x - \sqrt{3} = 0 $;

г) $ \text{tg} 3x = 9 $;

д) $ 3\text{tg}\frac{x}{3} + \sqrt{3} = 0 $.

а) Дано уравнение $tg(\pi x) = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения, решение которого соответствует точкам, где синус равен нулю, а косинус не равен нулю. Общее решение для уравнения $tg(u) = 0$ имеет вид $u = \pi n$, где $n \in Z$ (Z — множество целых чисел). В нашем случае $u = \pi x$.
Следовательно, $\pi x = \pi n$.
Разделив обе части уравнения на $\pi$, находим $x$.
$x = n$.
Ответ: $x = n, n \in Z$.

б) Дано уравнение $tg(x) = -1$. Общее решение для уравнения вида $tg(x) = a$ записывается как $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.
В данном случае $a = -1$. Арктангенс от -1 равен $-\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

в) Дано уравнение $tg(x) - \sqrt{3} = 0$. Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $tg(x)$.
$tg(x) = \sqrt{3}$.
Используем общую формулу решения $x = arctg(a) + \pi n$, где $a = \sqrt{3}$.
Арктангенс от $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$.
$x = arctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

г) Дано уравнение $tg(3x) = 9$. Это уравнение вида $tg(u) = a$, где $u = 3x$ и $a=9$.
Общее решение: $u = arctg(a) + \pi n$.
Подставляем наши значения: $3x = arctg(9) + \pi n$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3.
$x = \frac{arctg(9)}{3} + \frac{\pi n}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}arctg(9) + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

д) Дано уравнение $3tg\frac{x}{3} + \sqrt{3} = 0$. Преобразуем его, чтобы выразить тангенс.
$3tg\frac{x}{3} = -\sqrt{3}$.
$tg\frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Это уравнение вида $tg(u) = a$, где $u = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Применяем общую формулу решения: $u = arctg(a) + \pi n$.
Арктангенс от $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ равен $-\frac{\pi}{6}$.
$\frac{x}{3} = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3.
$x = 3 \cdot (-\frac{\pi}{6} + \pi n) = -\frac{3\pi}{6} + 3\pi n = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in Z$.

10. Решите уравнение:

a) $ctg\frac{\pi x}{3}=0$;

б) $ctg\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$;

в) $ctg\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\sqrt{3}$;

г) $ctg\frac{x}{3}=\pi$;

д) $ctg4x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $ctg \frac{\pi x}{3} = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения.
Аргумент котангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{x}{3} = \frac{1}{2} + n$
Умножим обе части на 3:
$x = \frac{3}{2} + 3n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = 1.5 + 3n, n \in Z$.

б) $ctg(4x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$ctg(4x + \frac{\pi}{3}) = 1$
По общей формуле решения уравнений с котангенсом $ctg(t)=a \implies t = arcctg(a) + \pi n$.
$4x + \frac{\pi}{3} = arcctg(1) + \pi n$, где $n \in Z$.
Так как $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$4x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $4x$:
$4x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$4x = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n$
$4x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = -\frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.

в) $ctg(\frac{\pi}{3} - 2x) = \sqrt{3}$
Применяем общую формулу решения:
$\frac{\pi}{3} - 2x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Значение $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$
Выразим $-2x$:
$-2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$-2x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$
$-2x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части на -2:
$x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

г) $ctg \frac{x}{3} = \pi$
Применяем общую формулу решения:
$\frac{x}{3} = arcctg(\pi) + \pi n$, где $n \in Z$.
Число $\pi$ не является табличным значением для арккотангенса, поэтому выражение $arcctg(\pi)$ оставляем в таком виде.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $x$:
$x = 3 \cdot arcctg(\pi) + 3\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = 3 \cdot arcctg(\pi) + 3\pi n, n \in Z$.

д) $ctg(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Применяем общую формулу решения:
$4x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Используем свойство арккотангенса: $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим значение в уравнение:
$4x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{2\pi}{3 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}$
$x = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.

11. Решите уравнение:

а) $\text{ctg} \left(2\pi x - \frac{\pi}{4}\right) = 1;$

б) $\text{ctg} \left(2\pi x - \frac{\pi}{4}\right) = -1;$

в) $3\text{tg} \left(\frac{\pi}{3} - \pi x\right) - \sqrt{3} = 0;$

г) $\text{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 50.$

а)Дано уравнение $ctg(2\pi x - \frac{\pi}{4}) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ctg(y) = a$. Его общее решение записывается формулой $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).
В нашем случае аргумент котангенса $y = 2\pi x - \frac{\pi}{4}$, а значение $a=1$.
Известно, что $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставим эти значения в общую формулу решения:
$2\pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$2\pi x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \frac{2\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi} + \frac{\pi n}{2\pi}$
$x = \frac{\pi}{2 \cdot 2\pi} + \frac{n}{2}$
$x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)Дано уравнение $ctg(2\pi x - \frac{\pi}{4}) = -1$.
Это уравнение также имеет вид $ctg(y) = a$, где $y = 2\pi x - \frac{\pi}{4}$ и $a = -1$.
Общее решение: $y = arcctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Значение арккотангенса от -1 равно $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем в формулу:
$2\pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
Решаем относительно $x$:
$2\pi x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \frac{4\pi}{4} + \pi n$
$2\pi x = \pi + \pi n$
Разделим обе части на $2\pi$:
$x = \frac{\pi}{2\pi} + \frac{\pi n}{2\pi}$
$x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2} + \frac{n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в)Дано уравнение $3tg(\frac{\pi}{3} - \pi x) - \sqrt{3} = 0$.
Сначала преобразуем уравнение к виду $tg(y)=a$. Для этого выразим тангенс:
$3tg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = \sqrt{3}$
$tg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Общее решение для уравнения $tg(y) = a$ имеет вид $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - \pi x$ и $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значение арктангенса $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$\frac{\pi}{3} - \pi x = \frac{\pi}{6} + \pi n$
Теперь выразим $x$. Сначала найдем $-\pi x$:
$-\pi x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-\pi x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n$
$-\pi x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части на $-\pi$:
$x = \frac{-\frac{\pi}{6}}{-\pi} + \frac{\pi n}{-\pi}$
$x = \frac{1}{6} - n$
Поскольку $n$ — любое целое число, то и $-n$ пробегает все целые числа. Поэтому ответ можно записать и как $x = \frac{1}{6} + k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{6} - n, n \in \mathbb{Z}$.

г)Дано уравнение $ctg(\frac{\pi}{2} - x) = 50$.
Для решения этого уравнения применим формулу приведения: $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.
Используя эту формулу, мы можем упростить левую часть уравнения:
$tg(x) = 50$
Получили простейшее тригонометрическое уравнение вида $tg(x) = a$, где $a=50$.
Его общее решение записывается как $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляем наше значение $a=50$:
$x = arctg(50) + \pi n$
Так как 50 не является стандартным значением тангенса для известных углов, ответ остается в этой форме.
Ответ: $x = arctg(50) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

12. Решите уравнение:

а) $(ctg x+\sqrt{3})(sin x-1)=0;$

б) $(2 cos x-\sqrt{2})(tg x-\sqrt{3})=0.$

а) $(\text{ctg } x + \sqrt{3})(\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом определены (имеют смысл).
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$, следовательно, должно выполняться условие $\sin x \neq 0$. Это значит, что $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\text{ctg } x + \sqrt{3} = 0$

$\text{ctg } x = -\sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\sin x = \sin(\frac{5\pi}{6} + \pi n) = \pm\sin(\frac{5\pi}{6}) = \pm\frac{1}{2}$. Так как $\sin x \neq 0$, эти корни являются решениями исходного уравнения.

2) $\sin x - 1 = 0$

$\sin x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\sin x = 1 \neq 0$. Значит, условие ОДЗ выполняется. Также при этих значениях $x$ множитель $(\text{ctg } x + \sqrt{3})$ определен, так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Следовательно, эти корни также являются решениями исходного уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) $(2\cos x - \sqrt{2})(\text{tg } x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом определены.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$, следовательно, должно выполняться условие $\cos x \neq 0$. Это значит, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $2\cos x - \sqrt{2} = 0$

$2\cos x = \sqrt{2}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$. Условие ОДЗ выполняется. При этих значениях $x$ множитель $(\text{tg } x - \sqrt{3})$ определен, так как $\text{tg}(\pm\frac{\pi}{4}) = \pm1$. Следовательно, эти корни являются решениями исходного уравнения.

2) $\text{tg } x - \sqrt{3} = 0$

$\text{tg } x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ. Для этих значений $x$, $\cos x = \cos(\frac{\pi}{3} + \pi m) = \pm\cos(\frac{\pi}{3}) = \pm\frac{1}{2}$. Так как $\cos x \neq 0$, эти корни являются решениями исходного уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

13. (2) Среди решений уравнения $ctg^2 2x = 1$ укажите те, которые принадлежат промежутку $[-\pi;\pi]$.

Сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $ctg(2x) = 1$.
Аргумент котангенса равен:
$2x = arcctg(1) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \Z$).
Мы знаем, что значение $arcctg(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в уравнение:
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \Z$.
Теперь выразим $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \Z$.
Это общее решение данного уравнения.

Далее необходимо выбрать из этих решений те, которые принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \le \pi$
Чтобы упростить неравенство, разделим все его части на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-1 \le \frac{1}{8} + \frac{n}{2} \le 1$
Теперь вычтем $\frac{1}{8}$ из всех частей неравенства:
$-1 - \frac{1}{8} \le \frac{n}{2} \le 1 - \frac{1}{8}$
$-\frac{9}{8} \le \frac{n}{2} \le \frac{7}{8}$
Умножим все части на 2, чтобы найти диапазон для $n$:
$-\frac{9}{4} \le n \le \frac{7}{4}$
Представим границы в виде десятичных дробей:
$-2.25 \le n \le 1.75$
Поскольку $n$ — целое число, то подходящие значения для $n$ это $-2, -1, 0, 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих $n$:
1. При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(-2)}{2} = \frac{\pi}{8} - \pi = \frac{\pi - 8\pi}{8} = -\frac{7\pi}{8}$
2. При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}$
3. При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(0)}{2} = \frac{\pi}{8}$
4. При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(1)}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$

Таким образом, решения уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; \pi]$, это $-\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$.

14. (2) Решите уравнение $\text{tg}\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$ и найдите его корни, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2}

Решите уравнение tg(2x + π/4) = -1

Исходное уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $tg(A) = b$.

$tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$

Общее решение для такого уравнения имеет вид $A = \text{arctg}(b) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $A = 2x + \frac{\pi}{4}$ и $b = -1$.

$2x + \frac{\pi}{4} = \text{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Поскольку значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$, подставляем его в уравнение:

$2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

Выразим переменную $x$. Для этого перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$

$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Найдите его корни, удовлетворяющие условию -π/2 < x < 3π/2

Для отбора корней, принадлежащих интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, решим двойное неравенство, подставив в него найденное общее решение:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Чтобы найти подходящие целые значения $k$, решим это неравенство. Разделим все его части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} < -\frac{1}{4} + \frac{k}{2} < \frac{3}{2}$

Прибавим $\frac{1}{4}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} < \frac{k}{2} < \frac{3}{2} + \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{4} < \frac{k}{2} < \frac{7}{4}$

Умножим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} < k < \frac{7}{2}$

В десятичном виде: $-0.5 < k < 3.5$.

Так как $k$ – целое число, оно может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Теперь вычислим соответствующие значения $x$ для каждого целого $k$:

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=3$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 3}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Все найденные значения являются корнями уравнения и принадлежат заданному интервалу.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

15. (3) Определите количество корней уравнения $2\sin\left(\frac{2\pi x}{7}+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2},$ принадлежащих промежутку $[1;4]$.

Для решения задачи сначала упростим данное уравнение:

$2\sin(\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения для аргумента $(\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4})$ можно представить в виде двух серий, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

1) $\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

2) $\frac{2\pi x}{7} + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь выразим $x$ для каждой серии решений.

Для первой серии:

$\frac{2\pi x}{7} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Разделим обе части на $2\pi$:

$\frac{x}{7} = -\frac{1}{4} + k$

$x = 7(-\frac{1}{4} + k) = -\frac{7}{4} + 7k$

Для второй серии:

$\frac{2\pi x}{7} = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{2\pi x}{7} = \pi + 2\pi k$

Разделим обе части на $2\pi$:

$\frac{x}{7} = \frac{1}{2} + k$

$x = 7(\frac{1}{2} + k) = \frac{7}{2} + 7k$

Теперь необходимо найти количество корней, принадлежащих промежутку $[1; 4]$. Для этого решим двойные неравенства для каждой серии корней, находя целые значения $k$.

Анализ первой серии: $x = -\frac{7}{4} + 7k$

$1 \le -\frac{7}{4} + 7k \le 4$

$1 \le -1.75 + 7k \le 4$

$1 + 1.75 \le 7k \le 4 + 1.75$

$2.75 \le 7k \le 5.75$

$\frac{2.75}{7} \le k \le \frac{5.75}{7}$

Приблизительно $0.39 \le k \le 0.82$. В этом диапазоне нет целых значений $k$. Следовательно, из этой серии нет корней на заданном промежутке.

Анализ второй серии: $x = \frac{7}{2} + 7k$

$1 \le \frac{7}{2} + 7k \le 4$

$1 \le 3.5 + 7k \le 4$

$1 - 3.5 \le 7k \le 4 - 3.5$

$-2.5 \le 7k \le 0.5$

$\frac{-2.5}{7} \le k \le \frac{0.5}{7}$

Приблизительно $-0.35 \le k \le 0.07$. Единственное целое значение $k$ в этом диапазоне — это $k=0$.

Найдем корень, соответствующий $k=0$:

$x = \frac{7}{2} + 7 \cdot 0 = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверим, принадлежит ли этот корень промежутку $[1; 4]$: $1 \le 3.5 \le 4$. Неравенство верное.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1

6. (5) В коробке 6 белых и 4 черных шаров. Из нее извлекается шар 5 раз подряд, причем каждый раз вынутый шар возвращается в коробку и шары перемешиваются. Приняв за случайную величину $X$ число извлеченных белых шаров, составьте закон распределения для величины $X$, определите ее математическое ожидание и дисперсию.

В данной задаче мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний, так как каждый извлеченный шар возвращается в коробку. Это классический случай схемы Бернулли. Случайная величина $X$ — число извлеченных белых шаров — подчиняется биномиальному закону распределения.

Определим параметры биномиального распределения:

Общее число шаров в коробке: $6$ белых + $4$ черных = $10$ шаров.

Вероятность извлечь белый шар (событие "успех") в одном испытании: $p = \frac{6}{10} = 0.6$.

Вероятность извлечь черный шар (событие "неудача") в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Число испытаний (извлечений шара): $n=5$.

Составьте закон распределения для величины X

Случайная величина $X$ может принимать значения $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Подставим наши значения $n=5$, $p=0.6$, $q=0.4$ и рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$:
При $k=0$: $P(X=0) = C_5^0 \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.01024 = 0.01024$
При $k=1$: $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^4 = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.0256 = 0.0768$
При $k=2$: $P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3 = 10 \cdot 0.36 \cdot 0.064 = 0.2304$
При $k=3$: $P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456$
При $k=4$: $P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^1 = 5 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = 0.2592$
При $k=5$: $P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.07776 \cdot 1 = 0.07776$

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$0.01024 + 0.0768 + 0.2304 + 0.3456 + 0.2592 + 0.07776 = 1.0$

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ (числа извлеченных белых шаров) представлен в виде ряда распределения:
$k$ (число белых шаров) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
$P(X=k)$ | 0.01024 | 0.0768 | 0.2304 | 0.3456 | 0.2592 | 0.07776

Определите ее математическое ожидание и дисперсию

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, математическое ожидание (среднее ожидаемое число успехов) вычисляется по формуле:
$M(X) = n \cdot p$
Подставляя наши значения, получаем:
$M(X) = 5 \cdot 0.6 = 3$

Дисперсия (мера разброса значений случайной величины) для биномиального распределения вычисляется по формуле:
$D(X) = n \cdot p \cdot q$
Подставляя наши значения, получаем:
$D(X) = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 3 \cdot 0.4 = 1.2$

Ответ: Математическое ожидание $M(X) = 3$, дисперсия $D(X) = 1.2$.

7. (2) Вычислите $M(X)$ для случайной величины $X$ - чистого выигрыша.

Значения $x_i$: -7, 193, 243, 4993

Значения $p_i$: 0,990, 0,005, 0,004, 0,001

Для вычисления математического ожидания $M(X)$ дискретной случайной величины $X$ необходимо найти сумму произведений каждого возможного значения случайной величины на его вероятность. Формула имеет вид:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ – это возможные значения случайной величины, а $p_i$ – соответствующие им вероятности.

В данном случае нам дан закон распределения случайной величины $X$, представляющей чистый выигрыш, в виде таблицы:

$x_1 = -7$ с вероятностью $p_1 = 0,990$
$x_2 = 193$ с вероятностью $p_2 = 0,005$
$x_3 = 243$ с вероятностью $p_3 = 0,004$
$x_4 = 4993$ с вероятностью $p_4 = 0,001$

Подставим эти значения в формулу для вычисления математического ожидания:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4$

$M(X) = (-7) \cdot 0,990 + 193 \cdot 0,005 + 243 \cdot 0,004 + 4993 \cdot 0,001$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$(-7) \cdot 0,990 = -6,93$

$193 \cdot 0,005 = 0,965$

$243 \cdot 0,004 = 0,972$

$4993 \cdot 0,001 = 4,993$

Теперь сложим полученные значения:

$M(X) = -6,93 + 0,965 + 0,972 + 4,993$

Сумма положительных слагаемых равна: $0,965 + 0,972 + 4,993 = 6,93$.

Тогда математическое ожидание равно:

$M(X) = -6,93 + 6,93 = 0$

Ответ: $0$

8. (2) Первый член геометрической прогрессии равен 8, знаменатель равен 0,5. Подбрасывается игральный кубик. Случайная величина $Z$ принимает значение, равное члену геометрической прогрессии, номер которого совпадает с выпавшим количеством очков на кубике. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины $Z$

По условию задачи, мы имеем дело с геометрической прогрессией ($b_n$), где первый член $b_1 = 8$, а знаменатель $q = 0.5$. Случайная величина $Z$ принимает значение члена прогрессии $b_k$, где $k$ — это количество очков, выпавшее на игральном кубике. Поскольку кубик стандартный, возможно 6 исходов (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6), и вероятность каждого исхода $P(k)$ равна $\frac{1}{6}$.

Найдем возможные значения случайной величины $Z$ по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

При $k=1$: $Z = b_1 = 8 \cdot (0.5)^{1-1} = 8 \cdot 1 = 8$
При $k=2$: $Z = b_2 = 8 \cdot (0.5)^{2-1} = 8 \cdot 0.5 = 4$
При $k=3$: $Z = b_3 = 8 \cdot (0.5)^{3-1} = 8 \cdot 0.25 = 2$
При $k=4$: $Z = b_4 = 8 \cdot (0.5)^{4-1} = 8 \cdot 0.125 = 1$
При $k=5$: $Z = b_5 = 8 \cdot (0.5)^{5-1} = 8 \cdot 0.0625 = 0.5$
При $k=6$: $Z = b_6 = 8 \cdot (0.5)^{6-1} = 8 \cdot 0.03125 = 0.25$

Таким образом, закон распределения случайной величины $Z$ выглядит так:

$Z$: 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25
$P(Z)$: $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$

Математическое ожидание
Математическое ожидание $E(Z)$ вычисляется по формуле $E(Z) = \sum z_i \cdot p_i$.
$E(Z) = 8 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{6} + 0.5 \cdot \frac{1}{6} + 0.25 \cdot \frac{1}{6}$
$E(Z) = \frac{1}{6} \cdot (8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25) = \frac{1}{6} \cdot 15.75$
Представим $15.75$ в виде дроби: $15.75 = 15 \frac{3}{4} = \frac{63}{4}$.
$E(Z) = \frac{1}{6} \cdot \frac{63}{4} = \frac{63}{24} = \frac{21}{8} = 2.625$
Ответ: $E(Z) = \frac{21}{8} = 2.625$

Дисперсия
Дисперсия $D(Z)$ вычисляется по формуле $D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2$.
Сначала найдем $E(Z^2)$:
$E(Z^2) = \sum z_i^2 \cdot p_i = \frac{1}{6} \cdot (8^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 + 0.5^2 + 0.25^2)$
$E(Z^2) = \frac{1}{6} \cdot (64 + 16 + 4 + 1 + 0.25 + 0.0625) = \frac{1}{6} \cdot 85.3125$
Представим $85.3125$ в виде дроби: $85.3125 = 85 \frac{5}{16} = \frac{1365}{16}$.
$E(Z^2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1365}{16} = \frac{1365}{96}$. Сократим на 3: $E(Z^2) = \frac{455}{32}$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = \frac{455}{32} - (\frac{21}{8})^2 = \frac{455}{32} - \frac{441}{64}$
$D(Z) = \frac{455 \cdot 2}{32 \cdot 2} - \frac{441}{64} = \frac{910}{64} - \frac{441}{64} = \frac{910 - 441}{64} = \frac{469}{64}$
В десятичном виде: $D(Z) = 7.328125$.
Ответ: $D(Z) = \frac{469}{64}$

Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение $\sigma(Z)$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(Z) = \sqrt{D(Z)}$.
$\sigma(Z) = \sqrt{\frac{469}{64}} = \frac{\sqrt{469}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{469}}{8}$
Приближенное значение: $\sigma(Z) \approx \frac{21.656}{8} \approx 2.707$.
Ответ: $\sigma(Z) = \frac{\sqrt{469}}{8}$

9. (2) Случайная величина $X$ характеризуется рядом распределения:

$x_i$: 0, 1, 2, 3, 4
$p_i$: 0,2, 0,4, 0,3, 0,08, 0,02

Определите математическое ожидание.

Математическое ожидание, или среднее значение, дискретной случайной величины $X$ обозначается как $M(X)$ и вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений $x_i$ на соответствующие им вероятности $p_i$.

Формула для вычисления математического ожидания:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

В соответствии с данным в задаче рядом распределения, имеем следующие значения и вероятности:

$x_1 = 0$ с вероятностью $p_1 = 0,2$

$x_2 = 1$ с вероятностью $p_2 = 0,4$

$x_3 = 2$ с вероятностью $p_3 = 0,3$

$x_4 = 3$ с вероятностью $p_4 = 0,08$

$x_5 = 4$ с вероятностью $p_5 = 0,02$

Для начала убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1, что является необходимым условием для ряда распределения:

$\sum p_i = 0,2 + 0,4 + 0,3 + 0,08 + 0,02 = 1,0$.

Условие выполняется. Теперь подставим значения в формулу для расчета математического ожидания:

$M(X) = (0 \cdot 0,2) + (1 \cdot 0,4) + (2 \cdot 0,3) + (3 \cdot 0,08) + (4 \cdot 0,02)$

Выполним вычисления:

$M(X) = 0 + 0,4 + 0,6 + 0,24 + 0,08$

Сложим полученные значения:

$M(X) = 1,32$

Ответ: 1,32

10. (2) В предыдущей задаче вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку условие задачи ссылается на "предыдущую задачу", текст которой не предоставлен, для решения будет сделано стандартное предположение о ее содержании. Допустим, в предыдущей задаче рассматривалась случайная величина $X$ — число попаданий в мишень при 3-х независимых выстрелах, где вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна $p = 0.8$. Это является классическим примером схемы испытаний Бернулли, а случайная величина $X$ подчиняется биномиальному закону распределения.

Для вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения нам понадобится математическое ожидание $M(X)$. Для биномиального распределения оно вычисляется по формуле $M(X) = np$.

$M(X) = 3 \cdot 0.8 = 2.4$.

Дисперсия

Дисперсия, обозначаемая $D(X)$ или $Var(X)$, является мерой разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, дисперсия вычисляется по формуле:

$D(X) = npq$

где $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q = 1-p$ — вероятность неудачи.

В нашем гипотетическом примере:

$n=3$

$p=0.8$

$q = 1 - 0.8 = 0.2$

Подставляем эти значения в формулу:

$D(X) = 3 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 2.4 \cdot 0.2 = 0.48$.

Также дисперсию можно вычислить по общей формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Для этого сначала нужно найти математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$, построив закон распределения $X$. Вероятности $P(X=k) = C_3^k (0.8)^k (0.2)^{3-k}$ равны: $p_0=0.008, p_1=0.096, p_2=0.384, p_3=0.512$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0.008 + 1^2 \cdot 0.096 + 2^2 \cdot 0.384 + 3^2 \cdot 0.512 = 0 + 0.096 + 1.536 + 4.608 = 6.24$.

Тогда $D(X) = 6.24 - (2.4)^2 = 6.24 - 5.76 = 0.48$. Результаты совпадают.

Ответ: Дисперсия равна $0.48$.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое $\sigma(X)$ или $SD(X)$, — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, и интуитивно показывает, насколько в среднем значения отклоняются от математического ожидания.

Формула для вычисления: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

Используя найденное ранее значение дисперсии $D(X) = 0.48$, получаем:

$\sigma(X) = \sqrt{0.48}$.

Вычислим приближенное значение:

$\sigma(X) \approx 0.6928$.

Округлим результат до тысячных:

$\sigma(X) \approx 0.693$.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение равно $\sqrt{0.48} \approx 0.693$.

11. (3) Точка наугад бросается на интервал $(a;b)$. Какова вероятность попадания точки в множество $(c;d)$, где:

а) $a \le c \le d \le b$;

б) $c \le a \le d \le b$;

в) $c \le a \le b \le d$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события A (попадание точки в некоторое множество) в данном случае определяется как отношение меры (длины) этого множества к мере (длине) всего пространства, на которое бросается точка.

Пространством всех элементарных исходов является интервал $(a,b)$. Его длина, или мера, равна $L = b - a$.

Событие, вероятность которого мы ищем, — это попадание точки в множество $(c,d)$. Благоприятным исходом будет попадание точки в пересечение множеств $(a,b)$ и $(c,d)$, то есть в $(a,b) \cap (c,d)$. Длина этого пересечения будет мерой благоприятных исходов, обозначим ее как $l$.

Вероятность $P$ вычисляется по формуле: $P = \frac{l}{L} = \frac{\text{длина}((a,b) \cap (c,d))}{b-a}$.

а) $a \le c \le d \le b$

В этом случае интервал $(c,d)$ полностью содержится в интервале $(a,b)$. Их пересечение — это сам интервал $(c,d)$.

Длина области благоприятных исходов $l$ равна длине интервала $(c,d)$, то есть $l = d-c$.

Вероятность попадания точки в множество $(c,d)$ равна:

$P = \frac{l}{L} = \frac{d-c}{b-a}$

Ответ: $P = \frac{d-c}{b-a}$

б) $c \le a \le d \le b$

В этом случае интервалы $(a,b)$ и $(c,d)$ пересекаются. Пересечением множеств $(a,b)$ и $(c,d)$ является интервал $(a,d)$.

Длина области благоприятных исходов $l$ равна длине интервала $(a,d)$, то есть $l = d-a$.

Вероятность попадания точки в множество $(c,d)$ равна:

$P = \frac{l}{L} = \frac{d-a}{b-a}$

Ответ: $P = \frac{d-a}{b-a}$

в) $c \le a \le b \le d$

В этом случае интервал $(a,b)$ полностью содержится в интервале $(c,d)$. Их пересечение — это сам интервал $(a,b)$.

Длина области благоприятных исходов $l$ равна длине интервала $(a,b)$, то есть $l = b-a$.

Вероятность попадания точки в множество $(c,d)$ равна:

$P = \frac{l}{L} = \frac{b-a}{b-a} = 1$

Это означает, что событие является достоверным. Если точка гарантированно попадает в интервал $(a,b)$, а интервал $(a,b)$ является частью интервала $(c,d)$, то точка гарантированно попадает и в интервал $(c,d)$.

Ответ: $P = 1$

12. (4)

Испытание состоит в трехкратном подбрасывании монеты. Случайная величина $Z$ принимает при этом значение, равное количеству выпавших «орлов». Составьте ряд распределения величины $Z$, найдите ее математическое ожидание и дисперсию.

Испытание состоит в трехкратном подбрасывании монеты. Случайная величина $Z$ — это количество выпавших «орлов». Вероятность выпадения «орла» (О) при одном броске равна $p = 1/2$, а «решки» (Р) — $q = 1/2$.

Всего возможных исходов при трех бросках $2^3 = 8$. Перечислим их все:

РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО.

Каждый из этих исходов равновероятен, и его вероятность равна $(1/2)^3 = 1/8$.

Ряд распределения величины Z

Случайная величина $Z$ (количество орлов) может принимать значения 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности для каждого значения:

1. $Z=0$ (нет орлов). Этому соответствует один исход: РРР.
Вероятность: $P(Z=0) = 1/8$.

2. $Z=1$ (один орел). Этому соответствуют три исхода: РРО, РОР, ОРР.
Вероятность: $P(Z=1) = 3/8$.

3. $Z=2$ (два орла). Этому соответствуют три исхода: РОО, ОРО, ООР.
Вероятность: $P(Z=2) = 3/8$.

4. $Z=3$ (три орла). Этому соответствует один исход: ООО.
Вероятность: $P(Z=3) = 1/8$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1$.

Ряд распределения величины $Z$ можно представить в виде таблицы:

$z_i$: 0, 1, 2, 3
$p_i$: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8

Ответ: Ряд распределения имеет вид: $P(Z=0)=1/8$, $P(Z=1)=3/8$, $P(Z=2)=3/8$, $P(Z=3)=1/8$.

Математическое ожидание M(Z)

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(Z) = \sum z_i p_i$

Подставим наши значения:

$M(Z) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $M(Z) = 1.5$.

Дисперсия D(Z)

Дисперсию можно вычислить по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(Z^2)$:

$M(Z^2) = \sum z_i^2 p_i$

$M(Z^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{8} + 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8} = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 4 \cdot \frac{3}{8} + 9 \cdot \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$

Ответ: $D(Z) = 0.75$.

13. Решите уравнение: $\cos x - \cos 3x = \cos 2x - \cos 4x$.

Исходное уравнение: $cos(x) - cos(3x) = cos(2x) - cos(4x)$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$cos(x) - cos(3x) = -2sin(\frac{x+3x}{2})sin(\frac{x-3x}{2}) = -2sin(2x)sin(-x)$.

Так как $sin(-x) = -sin(x)$, получаем:

$-2sin(2x)(-sin(x)) = 2sin(2x)sin(x)$.

Теперь применим ту же формулу к правой части уравнения:

$cos(2x) - cos(4x) = -2sin(\frac{2x+4x}{2})sin(\frac{2x-4x}{2}) = -2sin(3x)sin(-x)$.

Аналогично, $sin(-x) = -sin(x)$, поэтому:

$-2sin(3x)(-sin(x)) = 2sin(3x)sin(x)$.

Приравняем преобразованные части уравнения:

$2sin(2x)sin(x) = 2sin(3x)sin(x)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобку:

$2sin(2x)sin(x) - 2sin(3x)sin(x) = 0$

$2sin(x)(sin(2x) - sin(3x)) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $sin(x) = 0$

2. $sin(2x) - sin(3x) = 0$

Решим каждое уравнение.

1. Из уравнения $sin(x) = 0$ находим первую серию решений:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решим второе уравнение $sin(2x) - sin(3x) = 0$, или $sin(2x) = sin(3x)$.

Равенство $sin(\alpha) = sin(\beta)$ выполняется, если $\alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим оба случая:

а) $3x = 2x + 2\pi k$

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эта серия решений является подмножеством первой серии $x = \pi n$ (при четных $n=2k$).

б) $3x = \pi - 2x + 2\pi k$

$5x = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные серии решений, получаем окончательный результат.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

14. Если некоторое двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же к сумме квадратов цифр данного числа прибавить произведение его цифр, то получится искомое число. Найдите это число.

$10a + b = 3ab + 9$

$a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Так как число двузначное, $a$ является натуральным числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

Из первого условия задачи следует, что при делении числа $10a+b$ на произведение его цифр $ab$ получается частное 3 и остаток 9. Это можно записать в виде уравнения с остатком:

$10a + b = 3 \cdot (ab) + 9$

Важным следствием этого условия является то, что остаток от деления (9) всегда должен быть меньше делителя ($ab$). Таким образом, мы получаем неравенство:

$ab > 9$

Второе условие гласит, что если к сумме квадратов цифр ($a^2 + b^2$) прибавить их произведение ($ab$), то получится искомое число ($10a+b$):

$a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $10a + b = 3ab + 9$

2) $a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Поскольку левая часть второго уравнения и правая часть первого уравнения равны одному и тому же выражению $10a+b$, мы можем их приравнять:

$a^2 + b^2 + ab = 3ab + 9$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$a^2 + b^2 + ab - 3ab - 9 = 0$

$a^2 - 2ab + b^2 - 9 = 0$

Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.

$(a-b)^2 - 9 = 0$

$(a-b)^2 = 9$

Из этого уравнения следует два возможных варианта:

1. $a - b = 3$

2. $a - b = -3$

Рассмотрим первый случай: $a - b = 3$, откуда $a = b + 3$.

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение нашей системы ($10a + b = 3ab + 9$):

$10(b + 3) + b = 3(b + 3)b + 9$

$10b + 30 + b = 3b^2 + 9b + 9$

$11b + 30 = 3b^2 + 9b + 9$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$:

$3b^2 - 2b - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256$

Корни уравнения $b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$b_1 = \frac{2 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$b_2 = \frac{2 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Поскольку $b$ — это цифра, она должна быть целым неотрицательным числом. Следовательно, нам подходит только $b = 3$.

Тогда $a = b + 3 = 3 + 3 = 6$.

Получили цифры $a=6$ и $b=3$. Искомое число — 63. Проверим выполнение условия $ab > 9$: $6 \cdot 3 = 18 > 9$. Условие выполнено.

Рассмотрим второй случай: $a - b = -3$, откуда $b = a + 3$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$10a + (a + 3) = 3a(a + 3) + 9$

$11a + 3 = 3a^2 + 9a + 9$

Приведем к стандартному виду:

$3a^2 - 2a + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 4 - 72 = -68$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней, а значит, не имеет и целочисленных решений для $a$.

Таким образом, единственным решением является число 63. Проведем финальную проверку.

1. Делим 63 на произведение его цифр ($6 \cdot 3 = 18$): $63 \div 18 = 3$ (остаток $63 - 3 \cdot 18 = 9$). Условие выполняется.

2. Сумма квадратов цифр плюс их произведение: $6^2 + 3^2 + 6 \cdot 3 = 36 + 9 + 18 = 63$. Условие выполняется.

Ответ: 63.