Страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 5

Изобразите тригонометрическую окружность и ось тангенсов.

а) Найдите хотя бы один угол, тангенс которого равен 1.

б) Отталкиваясь от найденного угла, проследите за движением точки $M_x$ по окружности. Фиксируйте те положения точки $M_x$, для которых $tgx=1$, и записывайте соответствующие углы в строчку.

в) Как записать все такие углы в виде одной формулы?

Изобразим тригонометрическую окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Ось тангенсов — это вертикальная прямая с уравнением $x=1$, которая касается окружности в точке $(1, 0)$. Значение тангенса угла $x$ равно ординате (координате $y$) точки пересечения луча, проведенного из начала координат под углом $x$ к положительному направлению оси абсцисс, с осью тангенсов.

а) Чтобы найти угол, тангенс которого равен 1, нужно на оси тангенсов (прямой $x=1$) найти точку с ординатой, равной 1. Это точка с координатами $(1, 1)$. Затем проведем прямую через начало координат $(0,0)$ и эту точку $(1,1)$. Эта прямая пересечет тригонометрическую окружность в точке $M_x$, которая соответствует искомому углу. Угол, который эта прямая образует с положительным направлением оси $Ox$, равен $45°$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан.
Ответ: Один из таких углов — это $x = \frac{\pi}{4}$.

б) Отталкиваясь от найденного угла $x = \frac{\pi}{4}$, мысленно проследим за движением точки $M_x$ по окружности. Прямая, проходящая через начало координат и точку $M_x$, снова даст значение тангенса равное 1, когда пройдет через точку на окружности, диаметрально противоположную исходной. Это случится, когда мы добавим к углу половину полного оборота, то есть $\pi$ радиан (или $180°$). Таким образом, следующий угол будет $\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Каждый следующий раз, когда тангенс будет равен 1, точка будет оказываться в одном из этих двух положений, что соответствует прибавлению или вычитанию целого числа полуоборотов ($\pi$).
Ответ: Последовательность углов, для которых $\text{tg}\,x=1$: ..., $-\frac{7\pi}{4}$, $-\frac{3\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{9\pi}{4}$, ...

в) Все углы, у которых тангенс равен 1, повторяются с периодичностью в $\pi$ радиан. Чтобы записать все эти углы в виде одной формулы, можно взять одно из решений (например, $\frac{\pi}{4}$) и прибавить к нему $\pi$, умноженное на любое целое число $k$. Целое число $k$ ($k \in \mathbb{Z}$) показывает, сколько полуоборотов по окружности мы совершили от начальной точки.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упражнение 6

Изобразите тригонометрическую окружность и ось котангенсов.

a) Найдите хотя бы один угол, котангенс которого равен 0.

б) Отталкиваясь от найденного угла, проследите за движением точки $M_x$ по окружности. Фиксируйте те положения точки $M_x$, для которых $\ctg x = 0$, и записывайте соответствующие углы в строчку.

в) Как записать все такие углы в виде одной формулы?

Тригонометрическая окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Ось котангенсов — это прямая, которая касается окружности в точке $(0, 1)$ и параллельна оси абсцисс (оси Ox). Котангенс угла $x$ — это абсцисса (координата x) точки пересечения продолжения радиус-вектора, образующего угол $x$, с осью котангенсов.

а) Котангенс угла $x$ определяется по формуле $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Чтобы значение котангенса было равно нулю, необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю, а знаменатель — не был.
$\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$
$\sin x \neq 0$ для этих же углов.
Возьмем простейший случай, когда $x = \frac{\pi}{2}$.
$ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: Один из таких углов — $\frac{\pi}{2}$.

б) Условию $ctg x = 0$ на тригонометрической окружности соответствуют точки, у которых абсцисса равна нулю. Это точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
Начиная с угла $\frac{\pi}{2}$ (точка $(0, 1)$) и двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы будем попадать в точки, где котангенс равен нулю, через каждый полоборот (то есть через $\pi$ радиан).
Первая точка — $\frac{\pi}{2}$.
Вторая точка (пройдя $\pi$ радиан) — $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Третья точка (пройдя еще $\pi$ радиан) — $\frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2}$.
Если двигаться по часовой стрелке (отрицательное направление), то получим: $\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$, затем $-\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{2}$ и так далее.
Строчка соответствующих углов:
$..., -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$
Ответ: ..., $-\frac{3\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, ...

в) Все углы, найденные в пункте б), образуют арифметическую прогрессию с первым членом $\frac{\pi}{2}$ и разностью $\pi$. Чтобы записать все эти углы в виде одной формулы, нужно к начальному углу $\frac{\pi}{2}$ прибавить целое число ($n$) периодов, равных $\pi$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).