Страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите уравнения (1-5):

1. (1)

а) $ \cos x = 1 $;

б) $ \cos \frac{x}{2} = 1 $;

В) $ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 $;

Г) $ \cos \left( \frac{\pi}{4} - 3\pi x \right) = 1 $.

а) Решим уравнение $\cos x = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Следовательно, $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\cos\frac{x}{2} = 1$.

Аналогично предыдущему пункту, аргумент косинуса должен быть равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot 2\pi n = 4\pi n$.

Ответ: $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$2x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \pi n$.

$2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos(\frac{\pi}{4} - 3\pi x) = 1$.

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому $\cos(\frac{\pi}{4} - 3\pi x) = \cos(3\pi x - \frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид: $\cos(3\pi x - \frac{\pi}{4}) = 1$.

Аргумент косинуса должен быть равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3\pi x - \frac{\pi}{4} = 2\pi n$.

Перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$3\pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Разделим обе части уравнения на $3\pi$:

$x = \frac{\frac{\pi}{4}}{3\pi} + \frac{2\pi n}{3\pi}$.

$x = \frac{\pi}{4 \cdot 3\pi} + \frac{2n}{3}$.

$x = \frac{1}{12} + \frac{2n}{3}$.

Ответ: $x = \frac{1}{12} + \frac{2n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2. (1) а) $cos x = -\frac{1}{2}$;
б) $2 \cos(-3x) = 1$;
в) $2 \cos(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}) + 1 = 0$;
г) $\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\frac{1}{2}$.

а)

Дано уравнение: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$ находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $2\cos(-3x) = 1$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2: $\cos(-3x) = \frac{1}{2}$.

Функция косинуса является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде: $\cos(3x) = \frac{1}{2}$.

Применим общую формулу решения для косинуса. Аргумент косинуса $3x$ равен:

$3x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:

$x = \frac{1}{3} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение: $2\cos\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.

Выразим косинус из уравнения. Сначала перенесем 1 в правую часть:

$2\cos\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -1$.

Теперь разделим на 2:

$\cos\left(\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса $\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6}$ должен быть равен:

$\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Мы знаем, что $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

$\frac{\pi x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Выразим $\frac{\pi x}{3}$:

$\frac{\pi x}{3} = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим всё уравнение на $\pi$:

$\frac{x}{3} = -\frac{1}{6} \pm \frac{2}{3} + 2n$.

Умножим на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3 \left( -\frac{1}{6} \pm \frac{2}{3} + 2n \right) = -\frac{1}{2} \pm 2 + 6n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x = -\frac{1}{2} + 2 + 6n = \frac{3}{2} + 6n$.

2) $x = -\frac{1}{2} - 2 + 6n = -\frac{5}{2} + 6n$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} + 6n, x = -\frac{5}{2} + 6n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение: $\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\frac{1}{2}$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$, можем переписать уравнение как $\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, чтобы было удобнее работать с переменной $x$.

Аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{6}$ равен:

$2x - \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$2x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + \pi n = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.

2) $x = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n = -\frac{3\pi}{12} + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. (1)

а) $2\cos x = \sqrt{3};$

б) $2\cos\left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2};$

в) $2\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0;$

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \sqrt{2}.$

а) $2\cos x = \sqrt{3}$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\cos x$:

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это является простейшим тригонометрическим уравнением. Общая формула для решения уравнения вида $\cos x = a$ следующая: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Главное значение арккосинуса для этого числа: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos\left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos\left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса, который мы обозначим как $t = \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}$, должен удовлетворять уравнению $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$ имеет вид:

$t = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Разобьем решение на два случая:

1) Используем знак плюс: $\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Домножим на $\frac{3}{2}$: $x = \frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$.

2) Используем знак минус: $\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi k = -\pi + 2\pi k$.

Домножим на $\frac{3}{2}$: $x = \frac{3}{2} \left(-\pi + 2\pi k\right) = -\frac{3\pi}{2} + 3\pi k$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$; $x = -\frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить косинус. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 2:

$2\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\sqrt{3}$

$\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь применим общую формулу для решения. Аргумент косинуса равен:

$2\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

$2\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Выразим $2\pi x$, прибавив $\frac{\pi}{5}$ к обеим частям:

$2\pi x = \frac{\pi}{5} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все уравнение на $2\pi$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2\pi} \left(\frac{\pi}{5} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) = \frac{1}{10} \pm \frac{5}{12} + k$

Рассмотрим два случая:

1) Со знаком плюс: $x = \frac{1}{10} + \frac{5}{12} + k = \frac{6 \cdot 1 + 5 \cdot 5}{60} + k = \frac{6+25}{60} + k = \frac{31}{60} + k$.

2) Со знаком минус: $x = \frac{1}{10} - \frac{5}{12} + k = \frac{6 \cdot 1 - 5 \cdot 5}{60} + k = \frac{6-25}{60} + k = -\frac{19}{60} + k$.

Ответ: $x = \frac{31}{60} + k$; $x = -\frac{19}{60} + k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Воспользуемся свойством четности функции косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Таким образом, $\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \cos\left(-\left(2x - \frac{\pi}{5}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{5}\right)$.

Уравнение принимает вид:

$\cos\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса равен:

$2x - \frac{\pi}{5} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

$2x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{5} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{10} \pm \frac{\pi}{8} + \pi k$

Рассмотрим два случая:

1) Со знаком плюс: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{8} + \pi k = \frac{4\pi + 5\pi}{40} + \pi k = \frac{9\pi}{40} + \pi k$.

2) Со знаком минус: $x = \frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{8} + \pi k = \frac{4\pi - 5\pi}{40} + \pi k = -\frac{\pi}{40} + \pi k$.

Ответ: $x = \frac{9\pi}{40} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{40} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. (1) a) $3\cos x - 1 = 0$;

6) $-\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{3} - x\right) + 2 = 0$;

B) $10\cos \left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) + 7 = 0$;

Г) $2\cos \left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = 7$.

а) Исходное уравнение: $3\cos x - 1 = 0$.
Для решения данного уравнения сначала выразим $\cos x$. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$3\cos x = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на 3:
$\cos x = \frac{1}{3}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, записывается формулой:$x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).
В нашем случае $a = \frac{1}{3}$, и это значение удовлетворяет условию $|a| \le 1$.
Подставляем значение в формулу:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + 2 = 0$.
Сначала изолируем слагаемое с косинусом. Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = -2$
Теперь разделим обе части уравнения на $-\sqrt{2}$:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{-2}{-\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
Упростим выражение в правой части, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
Уравнение принимает вид:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sqrt{2}$
Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Так как $\sqrt{2} > 1$, то данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

в) Исходное уравнение: $10\cos\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) + 7 = 0$.
Выразим функцию косинуса из данного уравнения. Перенесем 7 в правую часть:
$10\cos\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) = -7$
Разделим обе части на 10:
$\cos\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{7}{10}$
Так как $-1 \le -\frac{7}{10} \le 1$, уравнение имеет решения. Воспользуемся общей формулой для решения уравнения $\cos(t) = a$:
$t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{7}{10}$.
$\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 2\pi k$
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$\frac{2x}{7} = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 2\pi k$
Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$:
$x = \frac{7}{2}\left(-\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 2\pi k\right)$
Раскроем скобки:
$x = -\frac{7\pi}{8} \pm \frac{7}{2}\arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 7\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{7\pi}{8} \pm \frac{7}{2}\arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 7\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $2\cos\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = 7$.
Чтобы решить уравнение, выразим косинус. Разделим обе части уравнения на 2:
$\cos\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{7}{2}$
$\cos\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = 3.5$
Функция косинус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1 включительно. Так как значение $3.5$ больше 1, оно не входит в область значений функции косинус.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.

Помогите Алдаркосе заменить одно из чисел 50, 240 или -666 на такое, чтобы уравнять его шансы в игре против черта. Давайте отвлечемся от фольклорных героев и сформулируем пример 1 в известных математических терминах. Возможный выигрыш Алдаркосе назовем величиной $X$. Ясно, что $X$ является случайной дискретной величиной. Получается примерно такой текст: «В результате некоторого испытания величина $X$ случайным образом с вероятностью $1/2$ принимает значение 50, с вероятностью $1/3$ принимает значение 240 и с вероятностью $1/6$ принимает значение $-666$. Чему равно среднее значение величины $X$ при большом числе испытаний?» Рассматривая пример 2, мы уже ответили на этот вопрос: среднее значение величины $X$ равно числу – 6. Условие только что сформулированной задачи можно компактно и наглядно оформить в виде таблицы:

Такая таблица называется рядом распределения или таблицей распределения случайной величины $X$. Среднее значение величины $X$ при большом числе испытаний называется математическим ожиданием случайной величины $X$. В примере «Aldar-Khose and the Devil» исходам «1», «2» и «3» ставится в соответствие число 50, исходам «4» и «5» ставится в соответствие число 240 и, наконец, исходу «6» ставится в соответствие число -666. Вот еще несколько примеров случайных величин:

• сумма цифр автомобильного номера;
• выигрыш лотерейного билета, выраженный в денежном эквиваленте;
• при подбрасывании монеты 0 ставится в соответствие исходу «орел» и 1 ставится в соответствие исходу «решка»;
• среднее арифметическое оценок каждого из учеников класса, полученных за четверть.

Чтобы уравнять шансы Алдаркосе в игре против черта, необходимо сделать игру «справедливой». В терминах теории вероятностей это означает, что математическое ожидание (среднее значение выигрыша при большом числе испытаний) должно быть равно нулю. Математическое ожидание $E(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$. В нашем случае даны значения $x_1=50$, $x_2=240$, $x_3=-666$ и соответствующие вероятности $p_1=\frac{1}{2}$, $p_2=\frac{1}{3}$, $p_3=\frac{1}{6}$. Рассмотрим три варианта замены.

Замена числа 50
Пусть новое значение вместо 50 будет $y$. Тогда математическое ожидание должно равняться нулю:
$E(X) = y \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 0$
Подставим известные значения:
$y \cdot \frac{1}{2} + 240 \cdot \frac{1}{3} + (-666) \cdot \frac{1}{6} = 0$
$\frac{y}{2} + 80 - 111 = 0$
$\frac{y}{2} - 31 = 0$
$\frac{y}{2} = 31$
$y = 62$
Ответ: число 50 нужно заменить на 62.

Замена числа 240
Пусть новое значение вместо 240 будет $y$. Тогда уравнение для математического ожидания примет вид:
$E(X) = x_1 \cdot p_1 + y \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 0$
Подставим известные значения:
$50 \cdot \frac{1}{2} + y \cdot \frac{1}{3} + (-666) \cdot \frac{1}{6} = 0$
$25 + \frac{y}{3} - 111 = 0$
$\frac{y}{3} - 86 = 0$
$\frac{y}{3} = 86$
$y = 258$
Ответ: число 240 нужно заменить на 258.

Замена числа –666
Пусть новое значение вместо –666 будет $y$. Тогда уравнение для математического ожидания будет следующим:
$E(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + y \cdot p_3 = 0$
Подставим известные значения:
$50 \cdot \frac{1}{2} + 240 \cdot \frac{1}{3} + y \cdot \frac{1}{6} = 0$
$25 + 80 + \frac{y}{6} = 0$
$105 + \frac{y}{6} = 0$
$\frac{y}{6} = -105$
$y = -630$
Ответ: число –666 нужно заменить на –630.