Страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. Найдите производную функции $y = f(x)$.

А. $y = x^2 \operatorname{tg} 2x$.

Б. $f(x)=(x+1)^4(x-2)^3$.

А.

Дана функция $y = x^2 \tg(2x)$.

Для нахождения производной этой функции необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае $u(x) = x^2$ и $v(x) = \tg(2x)$.

Сначала найдем производную $u'(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Далее найдем производную $v'(x)$. Это сложная функция, поэтому применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная тангенса $(\tg(z))' = \frac{1}{\cos^2(z)}$.

Производная внутреннего выражения $(2x)' = 2$.

Следовательно, производная $v(x)$ равна:

$v'(x) = (\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Теперь подставим найденные производные $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \tg(2x) + x^2 \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Запишем итоговый результат:

$y' = 2x \tg(2x) + \frac{2x^2}{\cos^2(2x)}$.

Ответ: $y' = 2x \tg(2x) + \frac{2x^2}{\cos^2(2x)}$.

Б.

Дана функция $f(x) = (x+1)^4 (x-2)^3$.

Эта функция также является произведением двух функций, поэтому снова используем правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = (x+1)^4$ и $v(x) = (x-2)^3$.

Найдем производную $u'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции и цепное правило:

$u'(x) = ((x+1)^4)' = 4(x+1)^{4-1} \cdot (x+1)' = 4(x+1)^3 \cdot 1 = 4(x+1)^3$.

Аналогично найдем производную $v'(x)$:

$v'(x) = ((x-2)^3)' = 3(x-2)^{3-1} \cdot (x-2)' = 3(x-2)^2 \cdot 1 = 3(x-2)^2$.

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 4(x+1)^3 \cdot (x-2)^3 + (x+1)^4 \cdot 3(x-2)^2$.

Для упрощения выражения вынесем за скобки общий множитель $(x+1)^3(x-2)^2$:

$f'(x) = (x+1)^3(x-2)^2 [4(x-2) + 3(x+1)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$4(x-2) + 3(x+1) = 4x - 8 + 3x + 3 = 7x - 5$.

Таким образом, окончательный вид производной:

$f'(x) = (x+1)^3(x-2)^2(7x-5)$.

Ответ: $f'(x) = (x+1)^3(x-2)^2(7x-5)$.

2. С помощью элементарных преобразований постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности.

А. $y=-(x+3)^2+9.$

Б. $y=\|x-2|-1\|.$

А. $y = -(x+3)^2 + 9$

Построение графика функции $y = -(x+3)^2 + 9$ выполняется с помощью последовательности элементарных преобразований базовой функции $y = x^2$ (парабола).

1. Строим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Выполняем сдвиг графика $y = x^2$ на 3 единицы влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = (x+3)^2$. Вершина параболы смещается в точку $(-3, 0)$.

3. Отражаем график функции $y = (x+3)^2$ симметрично относительно оси $Ox$. Получаем график функции $y = -(x+3)^2$. Ветви параболы теперь направлены вниз, вершина остается в точке $(-3, 0)$.

4. Выполняем сдвиг графика $y = -(x+3)^2$ на 9 единиц вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = -(x+3)^2 + 9$. Вершина параболы смещается в точку $(-3, 9)$.

Область определения: функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: так как это парабола с ветвями, направленными вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине. Координата $y$ вершины равна 9.
$E(y) = (-\infty; 9]$.

Промежутки монотонности: функция возрастает до своей вершины (при $x = -3$) и убывает после нее.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$.
Функция убывает на промежутке $[-3; +\infty)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, 9)$ и ветвями, направленными вниз. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 9]$. Промежутки возрастания: $(-\infty; -3]$. Промежутки убывания: $[-3; +\infty)$.

Б. $y = ||x-2|-1|$

Построение графика функции $y = ||x-2|-1|$ выполняется с помощью последовательности элементарных преобразований базовой функции $y = |x|$.

1. Строим график функции $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. Выполняем сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x-2|$. Вершина смещается в точку $(2, 0)$.

3. Выполняем сдвиг графика $y = |x-2|$ на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Получаем график функции $y = |x-2|-1$. Вершина смещается в точку $(2, -1)$. График пересекает ось $Ox$ в точках $x=1$ и $x=3$.

4. Применяем внешнее преобразование модуля: $y = ||x-2|-1|$. Это означает, что часть графика $y = |x-2|-1$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений.
В результате точка $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$, а точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте. Итоговый график имеет W-образную форму.

Область определения: функция определена для всех действительных чисел, так как все операции (вычитание, взятие модуля) определены для любого $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: из-за внешнего модуля значение функции не может быть отрицательным. Минимальное значение равно 0.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: анализируем W-образный график.
Функция убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 3]$.
Функция возрастает на промежутках $[1; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: График функции имеет W-образную форму с точками излома в $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(3, 0)$. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 1] \cup [2; 3]$. Промежутки возрастания: $[1; 2] \cup [3; +\infty)$.

3. Решите уравнения:

А. $\cos \frac{\pi}{3}\sin 5x + \sin \frac{\pi}{3}\cos 5x = -\frac{1}{2}$;

Б. $-\sin 7x \cos x = \sin 6x$.

А.

Исходное уравнение: $cos\frac{\pi}{3}sin(5x)+sin\frac{\pi}{3}cos(5x)=-\frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta$.

В нашем случае $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=5x$. Применим эту формулу:

$sin(\frac{\pi}{3}+5x) = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение можно записать в виде совокупности двух серий корней:

1) $\frac{\pi}{3}+5x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$5x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\frac{\pi}{3}+5x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{\pi}{3}+5x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3}+5x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

$5x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$5x = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$5x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Б.

Исходное уравнение: $-sin(7x)cos(x)=sin(6x)$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$sin(6x) + sin(7x)cos(x) = 0$

Используем формулу преобразования произведения в сумму: $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta))$.

Применим ее ко второму слагаемому, где $\alpha=7x$ и $\beta=x$:

$sin(6x) + \frac{1}{2}(sin(7x+x)+sin(7x-x)) = 0$

$sin(6x) + \frac{1}{2}(sin(8x)+sin(6x)) = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2sin(6x) + sin(8x) + sin(6x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$sin(8x) + 3sin(6x) = 0$

Рассмотрим случай, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Это возможно, если $sin(6x)=0$ и $sin(8x)=0$ одновременно.

$sin(6x)=0 \implies 6x=\pi k \implies x=\frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$

$sin(8x)=0 \implies 8x=\pi m \implies x=\frac{\pi m}{8}, m \in \mathbb{Z}$

Приравняем выражения для $x$, чтобы найти общие корни:

$\frac{\pi k}{6} = \frac{\pi m}{8}$

$8k=6m \implies 4k=3m$

Поскольку 4 и 3 — взаимно простые числа, это равенство выполняется, если $k=3n$ и $m=4n$ для некоторого целого числа $n$.

Подставим $k=3n$ в первую формулу для $x$:

$x = \frac{\pi (3n)}{6} = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Эта серия корней является решением уравнения, так как при подстановке в уравнение $sin(8x) + 3sin(6x) = 0$ оба синуса обращаются в ноль: $sin(8\frac{\pi n}{2}) + 3sin(6\frac{\pi n}{2}) = sin(4\pi n) + 3sin(3\pi n) = 0 + 3 \cdot 0 = 0$.

Другие возможные решения уравнения $sin(8x) + 3sin(6x) = 0$ приводят к более сложным уравнениям, которые выходят за рамки стандартной школьной программы.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \sin x = \cos y = 1, \\ \sin^2 x - \cos^2 x = 1; \end{cases}$

$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6}. \end{cases}$

А.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = \cos y = 1 \\ \sin^2 x - \cos^2 x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения `$\sin x = \cos y = 1$` следует, что `$\sin x = 1$` и `$\cos y = 1$`.

Решим каждое из этих тригонометрических уравнений.

Уравнение `$\sin x = 1$` имеет решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение `$\cos y = 1$` имеет решение $y = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы: `$\sin^2 x - \cos^2 x = 1$`.

Для найденных значений $x$ мы знаем, что `$\sin x = 1$`. Используя основное тригонометрическое тождество `$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$`, найдем `$\cos^2 x$`:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 1^2 = 0$.

Подставим значения `$\sin^2 x = 1$` и `$\cos^2 x = 0$` во второе уравнение системы:

$1 - 0 = 1$

$1 = 1$

Равенство является верным, следовательно, найденные серии решений для $x$ и $y$ являются решением исходной системы.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y = 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Б.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{4} \\ \tg x \cdot \tg y = \frac{1}{6} \end{cases} $

Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \cdot \tg y}$.

Из первого уравнения системы $x+y=\frac{\pi

5. Решите уравнения:

А. $cos(\arccos(x + 2)) = x^2$;

Б. $sin(\arcsin(4x - 1)) = 8x^2$.

А. Решение уравнения $ \cos(\arccos(x + 2)) = x^2 $.

Данное уравнение имеет смысл только при условии, что выражение под знаком арккосинуса принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: $ -1 \le x + 2 \le 1 $.

Решим это двойное неравенство, вычтя 2 из всех его частей:

$ -1 - 2 \le x \le 1 - 2 $

$ -3 \le x \le -1 $

Таким образом, ОДЗ для $x$ есть промежуток $ [-3; -1] $.

На этой области справедливо тождество $ \cos(\arccos(a)) = a $. Применим его к левой части уравнения:

$ x + 2 = x^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $ [-3; -1] $.

Корень $ x_1 = 2 $ не принадлежит ОДЗ, так как $ 2 > -1 $. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = -1 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -3 \le -1 \le -1 $. Следовательно, это является решением уравнения.

Ответ: $ -1 $

Б. Решение уравнения $ \sin(\arcsin(4x - 1)) = 3x^2 $.

Данное уравнение имеет смысл при условии, что выражение под знаком арксинуса принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Найдем Область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: $ -1 \le 4x - 1 \le 1 $.

Решим это двойное неравенство, прибавив 1 ко всем его частям:

$ -1 + 1 \le 4x \le 1 + 1 $

$ 0 \le 4x \le 2 $

Разделим все части на 4:

$ 0 \le x \le \frac{2}{4} $

$ 0 \le x \le \frac{1}{2} $

Таким образом, ОДЗ для $x$ есть промежуток $ [0; \frac{1}{2}] $.

На этой области справедливо тождество $ \sin(\arcsin(a)) = a $. Применив его, получаем:

$ 4x - 1 = 3x^2 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$ 3x^2 - 4x + 1 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $ [0; \frac{1}{2}] $.

Корень $ x_1 = 1 $ не принадлежит ОДЗ, так как $ 1 > \frac{1}{2} $. Это посторонний корень.

Корень $ x_2 = \frac{1}{3} $ принадлежит ОДЗ, так как $ 0 \le \frac{1}{3} \le \frac{1}{2} $. Этот корень является решением.

Ответ: $ \frac{1}{3} $

6. А. Найдите уравнения касательных к графику функции $y = f(x)$ в точках пересечения этого графика с осью абсцисс: $y = 6x^2 - 5x + 1$.

Б. Найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точках пересечения этого графика с осью ординат: $y = 3x^3 + 2x + 5$.

А.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем точки пересечения графика функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ с осью абсцисс. В этих точках ордината $y=0$. Для этого решим квадратное уравнение:

$6x^2 - 5x + 1 = 0$

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Находим корни уравнения, которые являются абсциссами точек касания:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Таким образом, у нас есть две точки касания: $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = 6x^2 - 5x + 1$:

$f'(x) = (6x^2 - 5x + 1)' = 12x - 5$.

3. Составим уравнение касательной для каждой точки.

Для первой точки $(\frac{1}{3}, 0)$:

$x_0 = \frac{1}{3}$, $f(x_0) = 0$.

Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в этой точке):

$k_1 = f'(\frac{1}{3}) = 12 \cdot \frac{1}{3} - 5 = 4 - 5 = -1$.

Подставим значения в уравнение касательной:

$y = 0 + (-1)(x - \frac{1}{3})$

$y = -x + \frac{1}{3}$

Для второй точки $(\frac{1}{2}, 0)$:

$x_0 = \frac{1}{2}$, $f(x_0) = 0$.

Найдем угловой коэффициент касательной:

$k_2 = f'(\frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} - 5 = 6 - 5 = 1$.

Подставим значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 1(x - \frac{1}{2})$

$y = x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{1}{3}$ и $y = x - \frac{1}{2}$.

Б.

1. Найдем точку пересечения графика функции $y = 3x^3 + 2x + 5$ с осью ординат. В этой точке абсцисса $x=0$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(0) = 3(0)^3 + 2(0) + 5 = 5$.

Точка касания имеет координаты $(0, 5)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = 3x^3 + 2x + 5$:

$f'(x) = (3x^3 + 2x + 5)' = 9x^2 + 2$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной, подставив $x_0=0$ в производную:

$k = f'(0) = 9(0)^2 + 2 = 2$.

4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ и найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = 5$, $f'(x_0) = 2$:

$y = 5 + 2(x - 0)$

$y = 2x + 5$

Ответ: $y = 2x + 5$.