Страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1203–1215).

1203. 1) $ \cos x = \cos 3x; $

2) $ \sin 5x = \sin x; $

3) $ \sin 2x = \cos 3x; $

4) $ \sin x + \cos 3x = 0. $

1) $\cos x = \cos 3x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы использовать формулу разности косинусов:

$\cos 3x - \cos x = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$.

$-2 \sin\frac{3x + x}{2} \sin\frac{3x - x}{2} = 0$

$-2 \sin(2x) \sin(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

а) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия решений ($x = \pi n$) является частным случаем второй серии ($x = \frac{\pi k}{2}$), поскольку решения первой серии получаются из второй при четных значениях $k$ (например, при $k = 2n$). Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 5x = \sin x$

Перенесем $\sin x$ в левую часть уравнения, чтобы использовать формулу разности синусов:

$\sin 5x - \sin x = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = x$.

$2 \sin\frac{5x - x}{2} \cos\frac{5x + x}{2} = 0$

$2 \sin(2x) \cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:

а) $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений являются независимыми и вместе составляют полное решение уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 2x = \cos 3x$

Используем формулу приведения, чтобы привести уравнение к одной функции: $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x)$

Это уравнение вида $\sin \alpha = \sin \beta$, общее решение которого записывается в виде совокупности двух серий:

$\alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

а) $2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$

$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi n$

$2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n$

$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n$. Поскольку $n$ - любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $n$, что не изменит множества решений.

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x + \cos 3x = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$\cos 3x = -\sin x$

Используем формулы приведения, чтобы привести обе части к косинусу. Известно, что $-\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$.

$\cos 3x = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$

Получили уравнение вида $\cos \alpha = \cos \beta$, общее решение которого имеет вид $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

а) $3x = \frac{\pi}{2} + x + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3x = -(\frac{\pi}{2} + x) + 2\pi n$

$3x = -\frac{\pi}{2} - x + 2\pi n$

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k; x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, k, n \in \mathbb{Z}$.