Страница 351 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (1221–1228).

1221. 1) $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; 2) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$; 4) $\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) Решим неравенство $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$.
Неравенству $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (косинус) которых больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной правее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, решением неравенства на промежутке $[-\pi, \pi]$ является интервал $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$.
Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде серии интервалов.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$.
Неравенству $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной левее прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{\pi}{6}$ и заканчивается в точке $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, решением неравенства на промежутке $[0, 2\pi]$ является интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства записывается в виде серии интервалов.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$.
Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, то $x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Эта дуга заключена между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства записывается в виде серии интервалов.
Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$.
Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, то $x = \pm (\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$).
Неравенству $cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше или равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной левее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, включая концы дуги.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивается в точке $\frac{5\pi}{4}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства записывается в виде серии отрезков.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1222. 1) $\cos x \le \sqrt{3}$;

2) $\cos x < -2$;

3) $\cos x \ge 1$;

4) $\cos x \le -1$.

1) $\cos x \le \sqrt{3}$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

Оценим правую часть исходного неравенства. Так как $1 < 3$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3}$, следовательно $1 < \sqrt{3}$.

Поскольку максимальное значение $\cos x$ равно 1, а $1 < \sqrt{3}$, то неравенство $\cos x \le \sqrt{3}$ будет верным для любого значения $x$.

Ответ: $x \in R$ (любое действительное число).

2) $\cos x < -2$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Минимальное значение, которое может принимать $\cos x$, равно -1.

Неравенство требует, чтобы значение $\cos x$ было меньше -2, что невозможно, так как $\cos x \ge -1$ для любого $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

3) $\cos x \ge 1$

Известно, что область значений функции косинус — $[-1; 1]$. Это значит, что $\cos x$ не может быть больше 1.

Следовательно, неравенство $\cos x \ge 1$ выполняется только в том случае, когда $\cos x = 1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями уравнения $\cos x = 1$ являются значения $x$, которые соответствуют точкам на единичной окружности с абсциссой 1.

Это происходит при углах $0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \ldots$ Общая формула для решений имеет вид:

$x = 2\pi n$, где $n \in Z$ (n — любое целое число).

Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$.

4) $\cos x \le -1$

Область значений функции косинус — $[-1; 1]$. Это значит, что $\cos x$ не может быть меньше -1.

Следовательно, неравенство $\cos x \le -1$ выполняется только в том случае, когда $\cos x = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями уравнения $\cos x = -1$ являются значения $x$, которые соответствуют точкам на единичной окружности с абсциссой -1.

Это происходит при углах $\pi, 3\pi, -\pi, 5\pi, \ldots$ Общая формула для решений имеет вид:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$ (n — любое целое число).

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

1223. 1) $\sin x > \frac{1}{2}$;

2) $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1)

Для решения неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$ сначала рассмотрим соответствующее уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Корни этого уравнения на единичной окружности соответствуют точкам с ординатой $\frac{1}{2}$. Такими углами являются $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Неравенству $\sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяют все точки единичной окружности, лежащие выше прямой $y = \frac{1}{2}$. Это дуга, заключенная между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ при движении против часовой стрелки. Таким образом, на одном периоде решение представляет собой интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, общее решение неравенства записывается как $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это точки с ординатой $\frac{\sqrt{2}}{2}$, что соответствует углам $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Неравенству $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, лежащие на прямой $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ниже нее. Это большая дуга окружности. Чтобы записать решение в виде одного промежутка, удобно выбрать в качестве начальной точки угол $-\frac{5\pi}{4}$ (он соответствует той же точке, что и $\frac{3\pi}{4}$, так как $-\frac{5\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} - 2\pi$) и конечной точки угол $\frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение на одном промежутке — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$. С учетом периодичности функции синус, общее решение: $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3)

Решим неравенство $\sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это точки с ординатой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим точкам соответствуют углы $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -\pi - (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4}$. Неравенству $\sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, лежащие на прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ниже нее. Эта дуга окружности заключена между точками $-\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$ при движении против часовой стрелки. Решение на одном промежутке — это отрезок $[-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}]$. Общее решение, учитывая период $2\pi$, имеет вид: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4)

Решим неравенство $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это точки с ординатой $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует углам $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\pi - (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$. Неравенству $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, лежащие выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это большая дуга окружности. При движении против часовой стрелки она начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{3}$, и заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{4\pi}{3}$ (который равен $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi$). Таким образом, решение на одном промежутке — это интервал $(-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$. Общее решение с учетом периодичности: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

1224. 1) $ \sin x \ge -\sqrt{2} $;

2) $ \sin x > 1 $;

3) $ \sin x \le -1 $;

4) $ \sin x \ge 1 $.

1) Решим неравенство $sin(x) \ge -\sqrt{2}$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le sin(x) \le 1$ для любого действительного значения $x$.Сравним значение $-\sqrt{2}$ с $-1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\sqrt{2} \approx -1.414$, что меньше $-1$.Поскольку наименьшее значение $sin(x)$ равно $-1$, то для любого $x$ будет выполняться $sin(x) \ge -1 > -\sqrt{2}$.Следовательно, неравенство $sin(x) \ge -\sqrt{2}$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

2) Решим неравенство $sin(x) > 1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Максимальное значение, которое может принимать $sin(x)$, равно 1.Неравенство $sin(x) > 1$ требует, чтобы значение функции было строго больше 1, что невозможно ни при каком значении $x$.Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Решим неравенство $sin(x) \le -1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что $sin(x)$ не может быть строго меньше $-1$.Таким образом, неравенство $sin(x) \le -1$ может выполняться только в том случае, когда $sin(x) = -1$.Решим это уравнение. Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство достигается в точках, соответствующих нижней точке единичной окружности.Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2}$ и повторяется с периодом $2\pi$.Общее решение имеет вид: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $sin(x) \ge 1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что $sin(x)$ не может быть строго больше $1$.Таким образом, неравенство $sin(x) \ge 1$ может выполняться только в том случае, когда $sin(x) = 1$.Решим это уравнение. Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство достигается в точках, соответствующих верхней точке единичной окружности.Это происходит при $x = \frac{\pi}{2}$ и повторяется с периодом $2\pi$.Общее решение имеет вид: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.