Страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1269. Найти все решения неравенства $ \sin x \sin 2x < \sin 3x \sin 4x $ на интервале $ (0; \frac{\pi}{2}) $.

Дано неравенство $\sin x \sin 2x < \sin 3x \sin 4x$ на интервале $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к обеим частям неравенства.

Левая часть: $\sin x \sin 2x = \frac{1}{2}(\cos(2x - x) - \cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x)$.

Правая часть: $\sin 3x \sin 4x = \frac{1}{2}(\cos(4x - 3x) - \cos(4x + 3x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 7x)$.

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное неравенство: $\frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) < \frac{1}{2}(\cos x - \cos 7x)$.

Умножим обе части на

1270. Найти все значения $a$, при которых уравнение

$4\sin^2x+2(a-3)\cos x+3a-4=0$

имеет корни, и решить это уравнение.

Данное уравнение $4\sin^2x + 2(a-3)\cos x + 3a - 4 = 0$ является тригонометрическим и содержит параметр $a$. Для его решения необходимо привести его к одному тригонометрическому выражению.

1. Нахождение значений параметра a

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\sin^2x = 1 - \cos^2x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:$4(1 - \cos^2x) + 2(a-3)\cos x + 3a - 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$4 - 4\cos^2x + 2(a-3)\cos x + 3a - 4 = 0$$-4\cos^2x + 2(a-3)\cos x + 3a = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:$4\cos^2x - 2(a-3)\cos x - 3a = 0$

Теперь сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 - 2(a-3)t - 3a = 0$

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t_0$, удовлетворяющий условию $-1 \le t_0 \le 1$.Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:$D = (-(2(a-3)))^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3a) = 4(a-3)^2 + 48a$$D = 4(a^2 - 6a + 9) + 48a = 4a^2 - 24a + 36 + 48a = 4a^2 + 24a + 36$$D = 4(a^2 + 6a + 9) = 4(a+3)^2 = (2(a+3))^2$

Поскольку дискриминант является полным квадратом, $D \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, и квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем эти корни:$t = \frac{2(a-3) \pm \sqrt{(2(a+3))^2}}{2 \cdot 4} = \frac{2(a-3) \pm 2(a+3)}{8} = \frac{a-3 \pm (a+3)}{4}$

Получаем два корня для $t$:$t_1 = \frac{a-3 + (a+3)}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$$t_2 = \frac{a-3 - (a+3)}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь проверим условие $-1 \le t \le 1$ для каждого из корней.Для корня $t_2 = -1.5$ условие не выполняется, так как $-1.5 < -1$. Это означает, что уравнение $\cos x = -1.5$ не имеет решений.Следовательно, исходное уравнение будет иметь корни только в том случае, если корень $t_1$ будет принадлежать отрезку $[-1, 1]$.$-1 \le t_1 \le 1$$-1 \le \frac{a}{2} \le 1$

Умножим все части двойного неравенства на 2:$-2 \le a \le 2$

Таким образом, уравнение имеет корни только при $a \in [-2, 2]$.

2. Решение уравнения

Мы выяснили, что при $a \in [-2, 2]$ уравнение имеет решения, и они происходят из равенства $\cos x = t_1$.Итак, нам нужно решить уравнение:$\cos x = \frac{a}{2}$

Поскольку при $a \in [-2, 2]$ значение $\frac{a}{2}$ находится в отрезке $[-1, 1]$, это уравнение всегда имеет решения. Общее решение для $x$ записывается по стандартной формуле:$x = \pm \arccos\left(\frac{a}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [-2, 2]$. При этих значениях $a$ решения уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{a}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1271. Найти все значения a, при которых уравнение

$ \sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = a $

не имеет корней.

Для того чтобы найти все значения $a$, при которых данное уравнение не имеет корней, необходимо найти область значений функции, стоящей в левой части уравнения. Обозначим эту функцию как $f(x)$. Уравнение $f(x)=a$ не будет иметь корней, если значение $a$ не входит в область значений функции $f(x)$.

Исходное уравнение:

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = a$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы понижения степени и двойного угла:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$

Подставим эти выражения в левую часть уравнения:

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{\sin(2x)}{2} - 2\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)$

Упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю:

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x) - \sin(2x) - 2(1 + \cos(2x))}{2}$

$f(x) = \frac{1 - \cos(2x) - \sin(2x) - 2 - 2\cos(2x)}{2}$

$f(x) = \frac{-1 - \sin(2x) - 3\cos(2x)}{2}$

$f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\sin(2x) + 3\cos(2x))$

Теперь найдем область значений выражения $g(x) = \sin(2x) + 3\cos(2x)$. Для этого воспользуемся методом введения вспомогательного угла (R-формула). Выражение вида $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha + \varphi)$, где $R = \sqrt{A^2 + B^2}$.

В нашем случае $A=1$, $B=3$.

$R = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

Таким образом, $\sin(2x) + 3\cos(2x) = \sqrt{10}\sin(2x + \varphi)$ для некоторого угла $\varphi$.

Область значений функции синус, $\sin(2x + \varphi)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $\sqrt{10}\sin(2x + \varphi)$ есть отрезок $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

Теперь мы можем найти область значений исходной функции $f(x)$:

$f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} g(x)$, где $-\sqrt{10} \le g(x) \le \sqrt{10}$.

Найдем минимальное и максимальное значения $f(x)$:

Минимальное значение $f_{min}$ достигается, когда выражение $g(x) = \sin(2x) + 3\cos(2x)$ максимально, то есть равно $\sqrt{10}$:

$f_{min} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(\sqrt{10}) = \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$

Максимальное значение $f_{max}$ достигается, когда выражение $g(x)$ минимально, то есть равно $-\sqrt{10}$:

$f_{max} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-\sqrt{10}) = \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}$

Таким образом, область значений левой части уравнения, $E(f)$, есть отрезок $\left[\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}\right]$.

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда параметр $a$ принадлежит этой области значений. Соответственно, уравнение не имеет корней, если $a$ находится вне этого отрезка.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a < \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$ или $a > \frac{-1 + \sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $a \in \left(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{2}; +\infty\right)$.

1272. При каких значениях $a$ уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет корни? Найти эти корни.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни, и найти эти корни, мы сначала преобразуем левую часть уравнения $\sin^4 x + \cos^4 x = a$.

Воспользуемся формулой для суммы квадратов $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv$, положив $u = \sin^2 x$ и $v = \cos^2 x$.

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = (\frac{\sin(2x)}{2})^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4}$, получаем:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2 \cdot \frac{\sin^2(2x)}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = a$.

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции $f(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Найдем это множество значений. Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для квадрата синуса имеем:

$0 \le \sin^2(2x) \le 1$.

Чтобы получить выражение для $f(x)$, умножим все части двойного неравенства на $-\frac{1}{2}$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные):

$0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \ge -\frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$0 \ge -\frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge -\frac{1}{2}$.

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 + 0 \ge 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge 1 - \frac{1}{2}$

$1 \ge 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge \frac{1}{2}$.

Следовательно, множество значений левой части уравнения есть отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$. Это означает, что уравнение имеет корни только при значениях $a$, принадлежащих этому отрезку.

Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Для нахождения корней решим уравнение при условии, что $a \in [\frac{1}{2}, 1]$. Возьмем преобразованную форму уравнения:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = a$.

Выразим $\sin^2(2x)$:

$\frac{1}{2}\sin^2(2x) = 1 - a$

$\sin^2(2x) = 2(1 - a)$.

Чтобы упростить решение, используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Для нашего случая, где $\alpha = 2x$, получаем:

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = 2(1 - a)$.

Теперь выразим $\cos(4x)$:

$1 - \cos(4x) = 4(1 - a)$

$\cos(4x) = 1 - 4(1 - a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение $\cos(4x) = 4a - 3$. Так как $a \in [\frac{1}{2}, 1]$, то $4a-3 \in [-1, 1]$, что является областью значений косинуса, и, следовательно, уравнение имеет решения.

Общее решение для $4x$ имеет вид:

$4x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наконец, разделив обе части на 4, найдем $x$:

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: При $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ корни уравнения равны $x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. При других значениях $a$ уравнение корней не имеет.

1273. Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin^{10} x + \cos^{10} x = a$ имеет корни.

Для того чтобы уравнение $\sin^{10}x + \cos^{10}x = a$ имело корни, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{10}x$. Таким образом, задача сводится к нахождению области значений этой функции.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2x$. Поскольку $\sin^2x + \cos^2x = 1$, то $\cos^2x = 1 - t$. Так как $0 \le \sin^2x \le 1$, то переменная $t$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.

Выразим нашу функцию через новую переменную $t$:

$f(x) = \sin^{10}x + \cos^{10}x = (\sin^2x)^5 + (\cos^2x)^5 = t^5 + (1-t)^5$.

Теперь нам нужно найти множество значений функции $g(t) = t^5 + (1-t)^5$ на отрезке $t \in [0, 1]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$, найдем ее производную $g'(t)$ и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.

$g'(t) = (t^5 + (1-t)^5)' = 5t^4 + 5(1-t)^4 \cdot (-1) = 5(t^4 - (1-t)^4)$.

Приравняем производную к нулю:

$5(t^4 - (1-t)^4) = 0$

$t^4 = (1-t)^4$

Поскольку $t \in [0, 1]$, то $t \ge 0$ и $1-t \ge 0$. Следовательно, мы можем извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$t = 1-t$

$2t = 1$

$t = \frac{1}{2}$

Критическая точка $t = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0, 1]$.

Теперь вычислим значения функции $g(t)$ на концах отрезка $[0, 1]$ и в критической точке $t = \frac{1}{2}$.

При $t=0$:

$g(0) = 0^5 + (1-0)^5 = 1$.

При $t=1$:

$g(1) = 1^5 + (1-1)^5 = 1$.

При $t=\frac{1}{2}$:

$g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^5 + (1-\frac{1}{2})^5 = (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^5 = 2 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 2 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$ равно 1, а наименьшее равно $\frac{1}{16}$.

Таким образом, множество значений функции $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{10}x$ есть отрезок $[\frac{1}{16}, 1]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{16}, 1]$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{16}, 1]$.

1274. Найти все значения $a$, при которых уравнение

$\sin 2x - 2a\sqrt{2}(\sin x + \cos x) + 1 - 6a^2 = 0$

имеет корни, и решить это уравнение.

Данное уравнение: $sin(2x) - 2a\sqrt{2}(sin(x) + cos(x)) + 1 - 6a^2 = 0$.

Это тригонометрическое уравнение с параметром. Для его решения удобно использовать замену переменной.

Пусть $t = sin(x) + cos(x)$.

Возведем это выражение в квадрат, чтобы выразить $sin(2x)$ через $t$:

$t^2 = (sin(x) + cos(x))^2 = sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, получаем:

$t^2 = 1 + sin(2x)$, откуда $sin(2x) = t^2 - 1$.

Теперь найдем область допустимых значений для $t$. Преобразуем выражение для $t$ с помощью введения вспомогательного угла:

$t = sin(x) + cos(x) = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}cos(x)) = \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})sin(x) + sin(\frac{\pi}{4})cos(x))$.

По формуле синуса суммы, $t = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Поскольку область значений функции синус – отрезок $[-1, 1]$, то для $t$ получаем:

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Подставим выражения через $t$ в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) - 2a\sqrt{2}t + 1 - 6a^2 = 0$

$t^2 - 2\sqrt{2}at - 6a^2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения.

Дискриминант $D = (-2\sqrt{2}a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6a^2) = 8a^2 + 24a^2 = 32a^2$.

Корни для $t$:

$t = \frac{2\sqrt{2}a \pm \sqrt{32a^2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}a \pm 4\sqrt{2}|a|}{2} = \sqrt{2}a \pm 2\sqrt{2}|a|$.

Раскроем модуль:

• Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и корни: $t_1 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и корни: $t_1 = \sqrt{2}a - 2\sqrt{2}a = -\sqrt{2}a$ и $t_2 = \sqrt{2}a + 2\sqrt{2}a = 3\sqrt{2}a$.

В обоих случаях мы получаем два корня: $t_1 = 3\sqrt{2}a$ и $t_2 = -\sqrt{2}a$.

Нахождение всех значений a, при которых уравнение имеет корни

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда хотя бы один из найденных корней $t_1$ или $t_2$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

1. Для корня $t_1 = 3\sqrt{2}a$ должно выполняться условие:

$-\sqrt{2} \le 3\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$

Разделив все части неравенства на $3\sqrt{2}$, получаем:

$-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$.

2. Для корня $t_2 = -\sqrt{2}a$ должно выполняться условие:

$-\sqrt{2} \le -\sqrt{2}a \le \sqrt{2}$

Разделив все части на $-\sqrt{2}$ (при этом знаки неравенства меняются на противоположные):

$1 \ge a \ge -1$, или $-1 \le a \le 1$.

Уравнение будет иметь решения, если значение $a$ удовлетворяет хотя бы одному из этих условий. Следовательно, нам нужно найти объединение полученных отрезков:

$[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cup [-1, 1] = [-1, 1]$.

Таким образом, исходное уравнение имеет корни при $a \in [-1, 1]$.

Решение уравнения

Теперь найдем решения $x$ для всех $a \in [-1, 1]$. Для этого вернемся к замене $sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{t}{\sqrt{2}}$.

1. Для корня $t_1 = 3\sqrt{2}a$ (который существует при $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$):

$sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = 3a$.

Так как при $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ значение $3a \in [-1, 1]$, уравнение имеет решение:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(3a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \arcsin(3a) - \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Для корня $t_2 = -\sqrt{2}a$ (который существует при $a \in [-1, 1]$):

$sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = -a$.

Так как при $a \in [-1, 1]$ значение $-a \in [-1, 1]$, уравнение имеет решение:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используя нечетность арксинуса, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = -(-1)^k \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

Уравнение имеет корни при $a \in [-1, 1]$.

Решения уравнения в зависимости от параметра $a$:

• При $a \in [-1, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1]$ решение однородно:
  $x = -(-1)^k \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• При $a \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ решением является совокупность двух серий корней:
  $x = (-1)^n \arcsin(3a) - \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
  и
  $x = -(-1)^k \arcsin(a) - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1275. Величины углов на местности часто находят с помощью так называемых линейных промеров: на сторонах искомого угла A откладывают отрезки $AB = AC = 10 \text{ м}$ и измеряют отрезок $BC$. Какова величина угла A, если $BC = a \text{ м}$?

Согласно условию задачи, для измерения угла $A$ на местности используется метод, при котором на сторонах угла откладываются отрезки $AB = 10$ м и $AC = 10$ м, а затем измеряется расстояние между их концами $BC = a$ м. В результате этих действий образуется треугольник $ABC$.

Поскольку стороны $AB$ и $AC$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Нам известны длины всех трех его сторон: $AB=10$, $AC=10$ и $BC=a$. Для нахождения угла $A$, который лежит между двумя известными равными сторонами, удобно применить теорему косинусов.

Теорема косинусов для угла $A$ в треугольнике $ABC$ имеет вид: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos(A)$

Подставим в это уравнение известные значения длин сторон: $a^2 = 10^2 + 10^2 - 2(10)(10)\cos(A)$

Упростим полученное выражение: $a^2 = 100 + 100 - 200\cos(A)$ $a^2 = 200 - 200\cos(A)$

Теперь выразим $\cos(A)$ из этого уравнения: $200\cos(A) = 200 - a^2$ $\cos(A) = \frac{200 - a^2}{200}$ $\cos(A) = 1 - \frac{a^2}{200}$

Чтобы найти величину самого угла $A$, необходимо вычислить арккосинус от полученного выражения. Таким образом, искомая величина угла $A$ определяется формулой: $A = \arccos\left(1 - \frac{a^2}{200}\right)$

Задачу можно решить и другим способом. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $BH = \frac{a}{2}$, а $\angle BAH = \frac{A}{2}$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ синус угла $\angle BAH$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к гипотенузе $AB$: $\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{BH}{AB} = \frac{a/2}{10} = \frac{a}{20}$ Отсюда $\frac{A}{2} = \arcsin\left(\frac{a}{20}\right)$, и итоговая формула для угла $A$: $A = 2 \arcsin\left(\frac{a}{20}\right)$ Эта формула полностью эквивалентна предыдущей.

Ответ: Величина угла $A$ определяется по формуле $A = \arccos\left(1 - \frac{a^2}{200}\right)$, или по эквивалентной формуле $A = 2 \arcsin\left(\frac{a}{20}\right)$.

1276. Немецкий врач, астролог и математик Т. Финк (1561–1656) решил следующую геодезическую задачу: «Найти углы ($ \alpha $ и $ \beta $) треугольника, если известна их сумма $ \Psi $ и отношение противолежащих этим углам сторон $ K $».

Решить эту задачу, используя теорему тангенсов, сформулированную в главе VIII.

Пусть в треугольнике искомые углы обозначены как $\alpha$ и $\beta$, а стороны, противолежащие им, — $a$ и $b$ соответственно.

Согласно условию задачи, нам известны:

• Сумма углов: $\alpha + \beta = \psi$
• Отношение противолежащих сторон: $\frac{a}{b} = K$

Для решения задачи необходимо использовать теорему тангенсов, которая связывает стороны и углы треугольника. Формулировка теоремы тангенсов для углов $\alpha$, $\beta$ и сторон $a$, $b$ выглядит следующим образом:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tan\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Наша цель — найти $\alpha$ и $\beta$ по отдельности. Для этого сначала найдем их разность $\alpha - \beta$.

1. Преобразуем левую часть уравнения.

Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{a - b}{a + b}$ на $b$ (поскольку $b$ — сторона треугольника, $b \ne 0$). Используем известное отношение $K = \frac{a}{b}$:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{b}}{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} = \frac{K - 1}{K + 1}$

2. Подставим известные значения в теорему тангенсов.

Мы знаем, что $\alpha + \beta = \psi$, следовательно, $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\psi}{2}$. Подставим это и преобразованную левую часть в исходную формулу:

$\frac{K - 1}{K + 1} = \frac{\tan\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tan\frac{\psi}{2}}$

3. Выразим тангенс полуразности углов.

Из полученного уравнения можно выразить $\tan\frac{\alpha - \beta}{2}$:

$\tan\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}$

4. Найдем полуразность углов.

Применив функцию арктангенса, найдем саму полуразность углов:

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

5. Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\alpha$ и $\beta$:

$\begin{cases} \alpha + \beta = \psi \\ \alpha - \beta = 2 \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right) \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, мы найдем $\alpha$:

$2\alpha = \psi + 2 \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

$\alpha = \frac{\psi}{2} + \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

Вычтя второе уравнение из первого, мы найдем $\beta$:

$2\beta = \psi - 2 \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

$\beta = \frac{\psi}{2} - \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

Таким образом, зная сумму углов $\psi$ и отношение сторон $K$, мы можем однозначно определить каждый из углов $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Искомые углы $\alpha$ и $\beta$ определяются по формулам:

$\alpha = \frac{\psi}{2} + \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

$\beta = \frac{\psi}{2} - \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

1. Что называется арккосинусом числа a?

1. Арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называется такое число (угол) $\alpha$, для которого одновременно выполняются два условия:

1. Косинус этого угла равен $a$, то есть $\cos \alpha = a$.
2. Этот угол принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Таким образом, запись $\alpha = \arccos a$ является краткой формой для системы условий:

$$ \alpha = \arccos a \iff \begin{cases} \cos \alpha = a \\ 0 \le \alpha \le \pi \end{cases} $$

Арккосинус существует только для чисел $a$, находящихся в диапазоне от $-1$ до $1$ включительно, так как это область значений функции косинуса. Иначе говоря, должно выполняться условие $|a| \le 1$.

Примеры вычисления:

• $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и значение $\frac{\pi}{3}$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.
• $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и значение $\frac{\pi}{2}$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.
• $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение $\frac{3\pi}{4}$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.
• $\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и значение $\pi$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.

Геометрически, $\arccos a$ можно представить как длину дуги единичной окружности (или соответствующий ей центральный угол в радианах), начинающейся в точке $(1, 0)$ и заканчивающейся в точке верхней полуплоскости, абсцисса которой равна $a$.

Ответ: Арккосинусом числа $a$ при $|a| \le 1$ называется такое число $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos \alpha = a$.

2. Что называется арксинусом числа $a$?

2. Арксинус — это одна из обратных тригонометрических функций. Понятие арксинуса вводится для нахождения угла по известному значению его синуса.

Формальное определение звучит так: арксинусом числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) называется такое число (угол) $\alpha$, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Синус этого угла равен $a$, то есть $\sin \alpha = a$.

2. Этот угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то есть $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, запись $y = \arcsin a$ является сокращенной формой для системы:

$ \begin{cases} \sin y = a \\ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \end{cases} $

Первое условие определяет связь между арксинусом и синусом. Из него также следует, что арксинус определен только для таких чисел $a$, для которых существует угол с таким синусом. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то и арксинус определен только при $|a| \le 1$.

Второе условие необходимо, чтобы сделать выбор угла однозначным, так как уравнение $\sin x = a$ имеет бесконечно много решений (например, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$). Промежуток $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ — это общепринятый диапазон для главного значения арксинуса.

Например, $\arcsin(\frac{1}{2})$ равен $\frac{\pi}{6}$, потому что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ лежит в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. В то же время, угол $\frac{5\pi}{6}$ не является значением арксинуса, так как он не попадает в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Другие примеры: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$; $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$; $\arcsin(0) = 0$.

Ответ: Арксинусом числа $a$, при $|a| \le 1$, называется такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Это значит, что равенство $\alpha = \arcsin a$ выполняется тогда и только тогда, когда одновременно верны два соотношения: $\sin \alpha = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

3. Что называется арктангенсом числа $a$?

Арктангенсом числа $a$ (обозначается как $\arctan a$ или $\operatorname{arctg} a$) называется такое число $\alpha$, которое одновременно удовлетворяет двум строгим условиям:

1. Тангенс этого числа $\alpha$ равен $a$. Математически это записывается как: $\tan \alpha = a$.
2. Это число $\alpha$ (представляющее собой угол в радианах) принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Математически: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, запись $y = \arctan a$ является краткой и эквивалентна системе из двух условий:

$ \begin{cases} \tan y = a \\ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \end{cases} $

Пояснение:

Функция тангенса ($y = \tan x$) является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что для одного и того же значения $a$ существует бесконечное множество углов $x$, тангенс которых равен $a$ (например, $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ и $\tan(\frac{5\pi}{4})=1$).

Чтобы сделать обратную функцию (арктангенс) однозначной, то есть чтобы каждому числу $a$ соответствовало только одно значение арктангенса, область значений арктангенса ограничивают так называемым главным значением. Для арктангенса это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция тангенса монотонно возрастает и принимает все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Проще говоря, арктангенс числа $a$ – это угол из интервала от $-90^\circ$ до $+90^\circ$ (не включая $-90^\circ$ и $+90^\circ$), тангенс которого равен $a$.

Основные свойства функции $y = \arctan a$:

• Область определения: Арктангенс определён для любого действительного числа $a$, то есть $a \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Значения арктангенса лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Нечетность: Функция является нечетной, то есть $\arctan(-a) = -\arctan(a)$ для любого действительного $a$.

Ответ: Арктангенсом числа $a$ называется такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

4. Записать формулы для нахождения корней уравнений $ \sin x = a $, $ \cos x = a $, $ \operatorname{tg} x = a $.

sin x = a

Данное тригонометрическое уравнение имеет решения только в том случае, если $|a| \le 1$, то есть $-1 \le a \le 1$. Это связано с тем, что область значений функции $y = \sin x$ — отрезок $[-1; 1]$. Если $|a| > 1$, уравнение не имеет действительных корней.

Для нахождения корней вводится понятие арксинуса. Арксинус числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

На тригонометрической окружности ординате $y=a$ соответствуют две серии углов. Учитывая периодичность синуса (период равен $2\pi$), все решения можно описать двумя сериями: $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу, которая является стандартной формой записи решения.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

cos x = a

Данное уравнение имеет решения только при условии $|a| \le 1$, то есть $-1 \le a \le 1$, так как область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Если $|a| > 1$, уравнение не имеет действительных корней.

Для решения используется понятие арккосинуса. Арккосинус числа $a$ (обозначается как $\arccos a$) — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

На тригонометрической окружности абсциссе $x=a$ соответствуют две серии углов. Благодаря четности функции косинус ($\cos(-x) = \cos(x)$), эти углы равны $\arccos a$ и $-\arccos a$. Учитывая периодичность функции с периодом $2\pi$, все решения описываются одной общей формулой.

Ответ: $x = \pm \arccos a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

tg x = a

Данное уравнение имеет решения для любого действительного числа $a$, так как область значений функции $y = \tg x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Для нахождения корней используется понятие арктангенса. Арктангенс числа $a$ (обозначается как $\arctan a$) — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Функция тангенса является периодической, ее наименьший положительный период равен $\pi$. Поэтому, найдя одно решение $x_0 = \arctan a$, все остальные решения можно получить, прибавляя целое число периодов $\pi$.

Ответ: $x = \arctan a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5. Записать равенства для вычисления $\arcsin(-a)$, $\arccos(-a)$, $\operatorname{arctg}(-a)$.

arcsin(–a)

Функция арксинус, $y = \arcsin(x)$, является нечетной. Это означает, что для любого $a$ из области определения функции, $a \in [-1, 1]$, выполняется следующее равенство:

$\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$

Это свойство основано на нечетности функции синус ($\sin(-x) = -\sin(x)$) и симметричности области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ относительно начала координат.

Ответ: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$ для $a \in [-1, 1]$.

arccos(–a)

Функция арккосинус, $y = \arccos(x)$, не является ни четной, ни нечетной. Для вычисления ее значения от отрицательного аргумента используется следующее тождество:

$\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$

Данное равенство справедливо для любого $a$ из области определения арккосинуса, то есть для $a \in [-1, 1]$. Оно следует из свойства функции косинус $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$ и ее области значений $[0, \pi]$.

Ответ: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$ для $a \in [-1, 1]$.

arctg(–a)

Функция арктангенс, $y = \operatorname{arctg}(x)$, также является нечетной функцией. Следовательно, для любого действительного числа $a$ (область определения арктангенса — все действительные числа, $a \in \mathbb{R}$) справедливо равенство:

$\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$

Это свойство вытекает из нечетности функции тангенс ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$) и симметричности области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ относительно начала координат.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$ для $a \in (-\infty, +\infty)$.

6. Какие уравнения называют однородными? Привести пример.

Термин "однородное уравнение" применяется в различных областях математики и имеет разное значение в зависимости от контекста. Ниже рассмотрены основные типы однородных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все её свободные члены (числа в правой части уравнений) равны нулю. Общий вид такой системы для $m$ уравнений и $n$ неизвестных:

$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} $

Важной особенностью таких систем является то, что они всегда имеют хотя бы одно решение — тривиальное, в котором все переменные равны нулю ($x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$). Нетривиальные (ненулевые) решения существуют только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы меньше числа переменных.

Пример:

Система из двух линейных уравнений с тремя переменными:

$ \begin{cases} 2x + 3y - z = 0 \\ x - y + 4z = 0 \end{cases} $

Эта система является однородной, так как свободные члены в обоих уравнениях равны нулю. Кроме тривиального решения ($x=0, y=0, z=0$), она имеет и бесконечное множество нетривиальных решений.

Ответ: Однородная система линейных уравнений — это система, в которой все свободные члены равны нулю. Пример: система уравнений $2x + 3y - z = 0$ и $x - y + 4z = 0$.

В теории дифференциальных уравнений выделяют два основных типа уравнений, называемых однородными.

1. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' = f(x, y)$ называется однородным, если функция $f(x, y)$ является однородной функцией нулевого измерения. Это означает, что для любого $t \neq 0$ выполняется равенство $f(tx, ty) = f(x, y)$. Такие уравнения всегда можно привести к виду $y' = g(\frac{y}{x})$. Для их решения используется подстановка $u = \frac{y}{x}$, которая сводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример:

Рассмотрим уравнение $y' = \frac{y^2 + x^2}{xy}$.

Проверим, является ли функция $f(x, y) = \frac{y^2 + x^2}{xy}$ однородной нулевой степени:

$f(tx, ty) = \frac{(ty)^2 + (tx)^2}{(tx)(ty)} = \frac{t^2(y^2 + x^2)}{t^2(xy)} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = f(x, y)$

Поскольку условие выполняется, данное дифференциальное уравнение является однородным.

Ответ: Однородное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида $y' = f(x, y)$, где функция $f$ такова, что $f(tx, ty) = f(x, y)$. Пример: $y' = \frac{y^2 + x^2}{xy}$.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка называется однородным, если функция в правой части, не зависящая от искомой функции $y$ и её производных, тождественно равна нулю. Общий вид такого уравнения:

$a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$

Если правая часть не равна нулю (т.е. имеет вид $g(x)$, где $g(x) \not\equiv 0$), то уравнение называется неоднородным. Важное свойство линейных однородных уравнений заключается в том, что любая линейная комбинация их решений также является решением (принцип суперпозиции).

Пример:

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

$y'' - 3y' + 2y = 0$

Это уравнение является линейным и однородным, так как его правая часть равна нулю.

Ответ: Линейное однородное дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором член, не содержащий искомую функцию или её производные, равен нулю. Пример: $y'' - 3y' + 2y = 0$.

Алгебраическое уравнение вида $P(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ называется однородным, если многочлен (полином) $P$ является однородным. Многочлен называется однородным степени $k$, если сумма степеней переменных в каждом его слагаемом (одночлене) одинакова и равна $k$.

Однородное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ можно свести к уравнению относительно одной переменной $t = \frac{y}{x}$ (или $t = \frac{x}{y}$), разделив все члены уравнения на $x$ в соответствующей степени (при условии, что $x \neq 0$).

Пример:

Рассмотрим уравнение $2x^3 - 5x^2y + 8xy^2 - y^3 = 0$.

Это однородное уравнение третьей степени, так как каждый его член имеет суммарную степень 3: член $2x^3$ имеет степень 3, член $-5x^2y$ ($x^2y^1$) имеет степень $2+1=3$, член $8xy^2$ ($x^1y^2$) имеет степень $1+2=3$, и член $-y^3$ имеет степень 3.

Ответ: Однородное алгебраическое уравнение — это уравнение вида $P(x, y, \dots) = 0$, где $P$ — однородный многочлен (все его члены имеют одинаковую суммарную степень). Пример: $2x^3 - 5x^2y + 8xy^2 - y^3 = 0$.

7. Привести пример уравнения, при решении которого можно использовать метод вспомогательного угла.

Метод вспомогательного угла используется для решения тригонометрических уравнений вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a$, $b$, $c$ — это числовые коэффициенты, причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Суть метода заключается в преобразовании левой части уравнения $a \sin x + b \cos x$ в выражение вида $R \sin(x+\varphi)$ или $R \cos(x-\varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, а $\varphi$ — так называемый вспомогательный угол.

В качестве примера уравнения, которое можно решить этим методом, рассмотрим следующее: $$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 1 $$

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=\sqrt{3}$, $c=1$.

Решение данного уравнения методом вспомогательного угла:

1. Сначала найдем значение $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. $$ R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $$

2. Разделим обе части исходного уравнения на $R=2$: $$ \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} $$

3. Теперь нужно ввести вспомогательный угол $\varphi$. Для этого заметим, что полученные коэффициенты $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$. То есть, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Перепишем уравнение, подставив эти значения: $$ \sin x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$

4. Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Применим ее: $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$

5. Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение, которое теперь легко решить относительно $x$: $$ x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

6. Осталось выразить $x$: $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Таким образом, мы привели пример уравнения и продемонстрировали, как его можно решить с помощью метода вспомогательного угла.

Ответ: Примером уравнения, при решении которого можно использовать метод вспомогательного угла, является $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$.

8. Привести пример уравнения, при решении которого можно использовать формулы замены синуса и косинуса тангенсом половинного аргумента.

Формулы замены синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента, также известные как универсальная тригонометрическая подстановка, являются эффективным методом решения определённого класса тригонометрических уравнений. Суть метода заключается в выражении $\sin(x)$ и $\cos(x)$ через тангенс угла $x/2$:

$\sin(x) = \frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$

$\cos(x) = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$

После введения замены $t = \tan(x/2)$ тригонометрическое уравнение сводится к рациональному алгебраическому уравнению относительно переменной $t$.

Рассмотрим в качестве примера уравнение вида $a\sin(x) + b\cos(x) = c$. Решим с помощью этого метода следующее уравнение:

$2\sin(x) - \cos(x) = 1$

Шаг 1: Проверка возможных потерянных корней.

Универсальная подстановка $t = \tan(x/2)$ не определена, если знаменатель $\cos(x/2)$ равен нулю. Это происходит при $x/2 = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поэтому необходимо вручную проверить, являются ли эти значения корнями исходного уравнения. Подставим $x = \pi$ в уравнение:

$2\sin(\pi) - \cos(\pi) = 2 \cdot 0 - (-1) = 1$

Получилось верное равенство $1 = 1$. Следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ является одной из серий решений, которую мы должны будем включить в окончательный ответ.

Шаг 2: Применение подстановки.

Теперь для всех остальных $x$ выполним замену $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, где $t = \tan(x/2)$.

$2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 1$

Шаг 3: Решение алгебраического уравнения.

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):

$2(2t) - (1-t^2) = 1(1+t^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4t - 1 + t^2 = 1 + t^2$

$4t = 2$

$t = \frac{1}{2}$

Шаг 4: Обратная замена.

Мы нашли значение для $t$, теперь вернемся к переменной $x$:

$\tan(x/2) = \frac{1}{2}$

Отсюда находим вторую серию решений:

$x/2 = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Шаг 5: Объединение результатов.

Общее решение уравнения включает в себя обе найденные серии корней.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$; $x = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.