Номер 7, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Привести пример уравнения, при решении которого можно использовать метод вспомогательного угла.

Метод вспомогательного угла используется для решения тригонометрических уравнений вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a$, $b$, $c$ — это числовые коэффициенты, причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Суть метода заключается в преобразовании левой части уравнения $a \sin x + b \cos x$ в выражение вида $R \sin(x+\varphi)$ или $R \cos(x-\varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, а $\varphi$ — так называемый вспомогательный угол.

В качестве примера уравнения, которое можно решить этим методом, рассмотрим следующее: $$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 1 $$

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=\sqrt{3}$, $c=1$.

Решение данного уравнения методом вспомогательного угла:

1. Сначала найдем значение $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. $$ R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $$

2. Разделим обе части исходного уравнения на $R=2$: $$ \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} $$

3. Теперь нужно ввести вспомогательный угол $\varphi$. Для этого заметим, что полученные коэффициенты $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$. То есть, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Перепишем уравнение, подставив эти значения: $$ \sin x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$

4. Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$. Применим ее: $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$

5. Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение, которое теперь легко решить относительно $x$: $$ x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

6. Осталось выразить $x$: $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Таким образом, мы привели пример уравнения и продемонстрировали, как его можно решить с помощью метода вспомогательного угла.

Ответ: Примером уравнения, при решении которого можно использовать метод вспомогательного угла, является $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$.