Номер 1, страница 356 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти значение выражения:

1) $\arccos 1 + \arcsin 0$;

2) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Для вычисления значения выражения $\arccos1 + \arcsin0$ найдем значение каждого слагаемого по отдельности.

По определению, арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) – это такое число (угол) из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Ищем $\arccos1$. Нам нужно найти угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен 1. Этому условию соответствует угол 0.

Таким образом, $\arccos1 = 0$.

По определению, арксинус числа $a$ ($\arcsin a$) – это такое число (угол) из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Ищем $\arcsin0$. Нам нужно найти угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Этому условию соответствует угол 0.

Таким образом, $\arcsin0 = 0$.

Теперь сложим полученные значения:

$\arccos1 + \arcsin0 = 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

2) Для вычисления значения выражения $\arccos(-\frac{1}{2}) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ найдем значение уменьшаемого и вычитаемого.

Найдем значение $\arccos(-\frac{1}{2})$. Это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, значит $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в формулу:

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь найдем значение $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Осталось выполнить вычитание:

$\arccos(-\frac{1}{2}) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$