Номер 6, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Какие уравнения называют однородными? Привести пример.

Термин "однородное уравнение" применяется в различных областях математики и имеет разное значение в зависимости от контекста. Ниже рассмотрены основные типы однородных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все её свободные члены (числа в правой части уравнений) равны нулю. Общий вид такой системы для $m$ уравнений и $n$ неизвестных:

$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} $

Важной особенностью таких систем является то, что они всегда имеют хотя бы одно решение — тривиальное, в котором все переменные равны нулю ($x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$). Нетривиальные (ненулевые) решения существуют только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы меньше числа переменных.

Пример:

Система из двух линейных уравнений с тремя переменными:

$ \begin{cases} 2x + 3y - z = 0 \\ x - y + 4z = 0 \end{cases} $

Эта система является однородной, так как свободные члены в обоих уравнениях равны нулю. Кроме тривиального решения ($x=0, y=0, z=0$), она имеет и бесконечное множество нетривиальных решений.

Ответ: Однородная система линейных уравнений — это система, в которой все свободные члены равны нулю. Пример: система уравнений $2x + 3y - z = 0$ и $x - y + 4z = 0$.

В теории дифференциальных уравнений выделяют два основных типа уравнений, называемых однородными.

1. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' = f(x, y)$ называется однородным, если функция $f(x, y)$ является однородной функцией нулевого измерения. Это означает, что для любого $t \neq 0$ выполняется равенство $f(tx, ty) = f(x, y)$. Такие уравнения всегда можно привести к виду $y' = g(\frac{y}{x})$. Для их решения используется подстановка $u = \frac{y}{x}$, которая сводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример:

Рассмотрим уравнение $y' = \frac{y^2 + x^2}{xy}$.

Проверим, является ли функция $f(x, y) = \frac{y^2 + x^2}{xy}$ однородной нулевой степени:

$f(tx, ty) = \frac{(ty)^2 + (tx)^2}{(tx)(ty)} = \frac{t^2(y^2 + x^2)}{t^2(xy)} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = f(x, y)$

Поскольку условие выполняется, данное дифференциальное уравнение является однородным.

Ответ: Однородное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида $y' = f(x, y)$, где функция $f$ такова, что $f(tx, ty) = f(x, y)$. Пример: $y' = \frac{y^2 + x^2}{xy}$.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка называется однородным, если функция в правой части, не зависящая от искомой функции $y$ и её производных, тождественно равна нулю. Общий вид такого уравнения:

$a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$

Если правая часть не равна нулю (т.е. имеет вид $g(x)$, где $g(x) \not\equiv 0$), то уравнение называется неоднородным. Важное свойство линейных однородных уравнений заключается в том, что любая линейная комбинация их решений также является решением (принцип суперпозиции).

Пример:

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

$y'' - 3y' + 2y = 0$

Это уравнение является линейным и однородным, так как его правая часть равна нулю.

Ответ: Линейное однородное дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором член, не содержащий искомую функцию или её производные, равен нулю. Пример: $y'' - 3y' + 2y = 0$.

Алгебраическое уравнение вида $P(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ называется однородным, если многочлен (полином) $P$ является однородным. Многочлен называется однородным степени $k$, если сумма степеней переменных в каждом его слагаемом (одночлене) одинакова и равна $k$.

Однородное уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ можно свести к уравнению относительно одной переменной $t = \frac{y}{x}$ (или $t = \frac{x}{y}$), разделив все члены уравнения на $x$ в соответствующей степени (при условии, что $x \neq 0$).

Пример:

Рассмотрим уравнение $2x^3 - 5x^2y + 8xy^2 - y^3 = 0$.

Это однородное уравнение третьей степени, так как каждый его член имеет суммарную степень 3: член $2x^3$ имеет степень 3, член $-5x^2y$ ($x^2y^1$) имеет степень $2+1=3$, член $8xy^2$ ($x^1y^2$) имеет степень $1+2=3$, и член $-y^3$ имеет степень 3.

Ответ: Однородное алгебраическое уравнение — это уравнение вида $P(x, y, \dots) = 0$, где $P$ — однородный многочлен (все его члены имеют одинаковую суммарную степень). Пример: $2x^3 - 5x^2y + 8xy^2 - y^3 = 0$.