Номер 1275, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1275. Величины углов на местности часто находят с помощью так называемых линейных промеров: на сторонах искомого угла A откладывают отрезки $AB = AC = 10 \text{ м}$ и измеряют отрезок $BC$. Какова величина угла A, если $BC = a \text{ м}$?

Согласно условию задачи, для измерения угла $A$ на местности используется метод, при котором на сторонах угла откладываются отрезки $AB = 10$ м и $AC = 10$ м, а затем измеряется расстояние между их концами $BC = a$ м. В результате этих действий образуется треугольник $ABC$.

Поскольку стороны $AB$ и $AC$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Нам известны длины всех трех его сторон: $AB=10$, $AC=10$ и $BC=a$. Для нахождения угла $A$, который лежит между двумя известными равными сторонами, удобно применить теорему косинусов.

Теорема косинусов для угла $A$ в треугольнике $ABC$ имеет вид: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos(A)$

Подставим в это уравнение известные значения длин сторон: $a^2 = 10^2 + 10^2 - 2(10)(10)\cos(A)$

Упростим полученное выражение: $a^2 = 100 + 100 - 200\cos(A)$ $a^2 = 200 - 200\cos(A)$

Теперь выразим $\cos(A)$ из этого уравнения: $200\cos(A) = 200 - a^2$ $\cos(A) = \frac{200 - a^2}{200}$ $\cos(A) = 1 - \frac{a^2}{200}$

Чтобы найти величину самого угла $A$, необходимо вычислить арккосинус от полученного выражения. Таким образом, искомая величина угла $A$ определяется формулой: $A = \arccos\left(1 - \frac{a^2}{200}\right)$

Задачу можно решить и другим способом. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $BH = \frac{a}{2}$, а $\angle BAH = \frac{A}{2}$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ синус угла $\angle BAH$ равен отношению противолежащего катета $BH$ к гипотенузе $AB$: $\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{BH}{AB} = \frac{a/2}{10} = \frac{a}{20}$ Отсюда $\frac{A}{2} = \arcsin\left(\frac{a}{20}\right)$, и итоговая формула для угла $A$: $A = 2 \arcsin\left(\frac{a}{20}\right)$ Эта формула полностью эквивалентна предыдущей.

Ответ: Величина угла $A$ определяется по формуле $A = \arccos\left(1 - \frac{a^2}{200}\right)$, или по эквивалентной формуле $A = 2 \arcsin\left(\frac{a}{20}\right)$.