Номер 1272, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1272. При каких значениях $a$ уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = a$ имеет корни? Найти эти корни.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение имеет корни, и найти эти корни, мы сначала преобразуем левую часть уравнения $\sin^4 x + \cos^4 x = a$.

Воспользуемся формулой для суммы квадратов $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv$, положив $u = \sin^2 x$ и $v = \cos^2 x$.

$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = (\frac{\sin(2x)}{2})^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4}$, получаем:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2 \cdot \frac{\sin^2(2x)}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = a$.

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции $f(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Найдем это множество значений. Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для квадрата синуса имеем:

$0 \le \sin^2(2x) \le 1$.

Чтобы получить выражение для $f(x)$, умножим все части двойного неравенства на $-\frac{1}{2}$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные):

$0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \ge -\frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$0 \ge -\frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge -\frac{1}{2}$.

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 + 0 \ge 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge 1 - \frac{1}{2}$

$1 \ge 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) \ge \frac{1}{2}$.

Следовательно, множество значений левой части уравнения есть отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$. Это означает, что уравнение имеет корни только при значениях $a$, принадлежащих этому отрезку.

Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Для нахождения корней решим уравнение при условии, что $a \in [\frac{1}{2}, 1]$. Возьмем преобразованную форму уравнения:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = a$.

Выразим $\sin^2(2x)$:

$\frac{1}{2}\sin^2(2x) = 1 - a$

$\sin^2(2x) = 2(1 - a)$.

Чтобы упростить решение, используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Для нашего случая, где $\alpha = 2x$, получаем:

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = 2(1 - a)$.

Теперь выразим $\cos(4x)$:

$1 - \cos(4x) = 4(1 - a)$

$\cos(4x) = 1 - 4(1 - a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение $\cos(4x) = 4a - 3$. Так как $a \in [\frac{1}{2}, 1]$, то $4a-3 \in [-1, 1]$, что является областью значений косинуса, и, следовательно, уравнение имеет решения.

Общее решение для $4x$ имеет вид:

$4x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наконец, разделив обе части на 4, найдем $x$:

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: При $a \in [\frac{1}{2}, 1]$ корни уравнения равны $x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. При других значениях $a$ уравнение корней не имеет.