Номер 1, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IX. Глава IX. Тригонометрические уравнения - номер 1, страница 355.

1. Что называется арккосинусом числа a?

1. Арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называется такое число (угол) $\alpha$, для которого одновременно выполняются два условия:

1. Косинус этого угла равен $a$, то есть $\cos \alpha = a$.
2. Этот угол принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Таким образом, запись $\alpha = \arccos a$ является краткой формой для системы условий:

$$\alpha = \arccos a \iff \begin{cases} \cos \alpha = a \\ 0 \le \alpha \le \pi \end{cases}$$

Арккосинус существует только для чисел $a$, находящихся в диапазоне от $-1$ до $1$ включительно, так как это область значений функции косинуса. Иначе говоря, должно выполняться условие $|a| \le 1$.

Примеры вычисления:

• $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и значение $\frac{\pi}{3}$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.
• $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и значение $\frac{\pi}{2}$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.
• $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение $\frac{3\pi}{4}$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.
• $\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и значение $\pi$ лежит в отрезке $[0; \pi]$.

Геометрически, $\arccos a$ можно представить как длину дуги единичной окружности (или соответствующий ей центральный угол в радианах), начинающейся в точке $(1, 0)$ и заканчивающейся в точке верхней полуплоскости, абсцисса которой равна $a$.

Ответ: Арккосинусом числа $a$ при $|a| \le 1$ называется такое число $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos \alpha = a$.