Номер 8, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Привести пример уравнения, при решении которого можно использовать формулы замены синуса и косинуса тангенсом половинного аргумента.

Формулы замены синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента, также известные как универсальная тригонометрическая подстановка, являются эффективным методом решения определённого класса тригонометрических уравнений. Суть метода заключается в выражении $\sin(x)$ и $\cos(x)$ через тангенс угла $x/2$:

$\sin(x) = \frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$

$\cos(x) = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$

После введения замены $t = \tan(x/2)$ тригонометрическое уравнение сводится к рациональному алгебраическому уравнению относительно переменной $t$.

Рассмотрим в качестве примера уравнение вида $a\sin(x) + b\cos(x) = c$. Решим с помощью этого метода следующее уравнение:

$2\sin(x) - \cos(x) = 1$

Шаг 1: Проверка возможных потерянных корней.

Универсальная подстановка $t = \tan(x/2)$ не определена, если знаменатель $\cos(x/2)$ равен нулю. Это происходит при $x/2 = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поэтому необходимо вручную проверить, являются ли эти значения корнями исходного уравнения. Подставим $x = \pi$ в уравнение:

$2\sin(\pi) - \cos(\pi) = 2 \cdot 0 - (-1) = 1$

Получилось верное равенство $1 = 1$. Следовательно, $x = \pi + 2\pi k$ является одной из серий решений, которую мы должны будем включить в окончательный ответ.

Шаг 2: Применение подстановки.

Теперь для всех остальных $x$ выполним замену $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, где $t = \tan(x/2)$.

$2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) - \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 1$

Шаг 3: Решение алгебраического уравнения.

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):

$2(2t) - (1-t^2) = 1(1+t^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4t - 1 + t^2 = 1 + t^2$

$4t = 2$

$t = \frac{1}{2}$

Шаг 4: Обратная замена.

Мы нашли значение для $t$, теперь вернемся к переменной $x$:

$\tan(x/2) = \frac{1}{2}$

Отсюда находим вторую серию решений:

$x/2 = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Шаг 5: Объединение результатов.

Общее решение уравнения включает в себя обе найденные серии корней.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$; $x = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.