Номер 3, страница 356 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Найти все решения уравнения $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0,5$, удовлетворяющие неравенству $x^2 - 4\pi^2 < 0$.

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо найти все решения тригонометрического уравнения $sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0,5$, а затем из этих решений выбрать те, которые удовлетворяют неравенству $x^2 - 4\pi^2 < 0$.

Найдем общее решение уравнения $sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0,5$.
Общее решение для уравнения вида $sin(t) = a$ записывается как $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.
В данном случае $t = x - \frac{\pi}{3}$ и $a = 0,5 = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем эти значения в формулу:
$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Это общее решение можно представить в виде двух серий, рассмотрев случаи для четных и нечетных значений $n$.
1. Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2k$, где $k \in Z$:
$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
2. Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2k + 1$, где $k \in Z$:
$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \frac{2\pi - \pi}{6} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Теперь решим неравенство $x^2 - 4\pi^2 < 0$.
$x^2 < 4\pi^2$
$|x| < \sqrt{4\pi^2}$
$|x| < 2\pi$
Это неравенство эквивалентно интервалу $-2\pi < x < 2\pi$.

Отберем корни, принадлежащие интервалу $(-2\pi; 2\pi)$, для каждой из двух серий решений.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$:
$-2\pi < \frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2\pi$
Разделим все части на $\pi$: $-2 < \frac{1}{2} + 2k < 2$.
Вычтем $\frac{1}{2}$: $-2,5 < 2k < 1,5$.
Разделим на 2: $-1,25 < k < 0,75$.
В этом диапазоне находятся целые значения $k = -1$ и $k = 0$.
При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1) = -\frac{3\pi}{2}$.
При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(0) = \frac{\pi}{2}$.

Для второй серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$:
$-2\pi < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k < 2\pi$
Разделим все части на $\pi$: $-2 < \frac{7}{6} + 2k < 2$.
Вычтем $\frac{7}{6}$: $-2 - \frac{7}{6} < 2k < 2 - \frac{7}{6}$, что дает $-\frac{19}{6} < 2k < \frac{5}{6}$.
Разделим на 2: $-\frac{19}{12} < k < \frac{5}{12}$.
Приблизительно: $-1,58 < k < 0,42$.
В этом диапазоне находятся целые значения $k = -1$ и $k = 0$.
При $k = -1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{7\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.
При $k = 0$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi(0) = \frac{7\pi}{6}$.

Итак, мы получили четыре решения, удовлетворяющих заданным условиям. Расположим их в порядке возрастания: $-\frac{3\pi}{2}$, $-\frac{5\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}$.