Номер 2, страница 356 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Решить уравнение:

1) $sin3x \cos x - \sin x \cos3x = 1;$

2) $2\cos^2x + 5\cos x = 3;$

3) $\operatorname{tg} x - 3\operatorname{ctg} x = 0;$

4) $\sin3x - \sin x = 0;$

5) $2\sin x + \sin2x = 0.$

1) $ \sin3x \cos x - \sin x \cos3x = 1 $

Воспользуемся формулой синуса разности углов $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $.

Уравнение принимает вид:

$ \sin(3x - x) = 1 $

$ \sin(2x) = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $ (Z - множество целых чисел).

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $.

2) $ 2\cos^2 x + 5\cos x = 3 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \cos x $:

$ 2\cos^2 x + 5\cos x - 3 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Так как область значений косинуса $ [-1, 1] $, то $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение: $ 2t^2 + 5t - 3 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.

Найдем корни уравнения:

$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $.

$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Вернемся к замене. Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $ \cos x = t_1 = -3 $. Этот корень не подходит, так как $ -3 $ не входит в область значений косинуса $ [-1, 1] $. Уравнение не имеет решений.

Случай 2: $ \cos x = t_2 = \frac{1}{2} $. Решение этого уравнения:

$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in Z $.

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $.

3) $ \text{tg } x - 3\text{ctg } x = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos x \ne 0 $ и $ \sin x \ne 0 $, что эквивалентно $ x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

Используем тождество $ \text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} $. Уравнение примет вид:

$ \text{tg } x - \frac{3}{\text{tg } x} = 0 $

Умножим обе части на $ \text{tg } x $ (при условии $ \text{tg } x \ne 0 $, что выполняется в рамках ОДЗ):

$ \text{tg}^2 x - 3 = 0 $

$ \text{tg}^2 x = 3 $

Отсюда $ \text{tg } x = \sqrt{3} $ или $ \text{tg } x = -\sqrt{3} $.

1. $ \text{tg } x = \sqrt{3} \implies x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.

2. $ \text{tg } x = -\sqrt{3} \implies x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.

Полученные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.

4) $ \sin3x - \sin x = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

Применим ее к нашему уравнению, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 0 $

$ 2\sin x \cos(2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in Z $.

2. $ \cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

Обе серии корней являются решением исходного уравнения.

Ответ: $ x = \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

5) $ 2\sin x + \sin2x = 0 $

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin2x = 2\sin x \cos x $.

$ 2\sin x + 2\sin x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\sin x $ за скобки:

$ 2\sin x (1 + \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in Z $.

2. $ 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in Z $.

Заметим, что вторая серия решений ($ x = \pi + 2\pi n $) является подмножеством первой серии ($ x = \pi k $), так как она получается из первой при нечетных значениях $ k $ (например, $ k = 2n+1 $). Следовательно, достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $ x = \pi k, k \in Z $.