Номер 4, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Записать формулы для нахождения корней уравнений $ \sin x = a $, $ \cos x = a $, $ \operatorname{tg} x = a $.

sin x = a

Данное тригонометрическое уравнение имеет решения только в том случае, если $|a| \le 1$, то есть $-1 \le a \le 1$. Это связано с тем, что область значений функции $y = \sin x$ — отрезок $[-1; 1]$. Если $|a| > 1$, уравнение не имеет действительных корней.

Для нахождения корней вводится понятие арксинуса. Арксинус числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

На тригонометрической окружности ординате $y=a$ соответствуют две серии углов. Учитывая периодичность синуса (период равен $2\pi$), все решения можно описать двумя сериями: $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу, которая является стандартной формой записи решения.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

cos x = a

Данное уравнение имеет решения только при условии $|a| \le 1$, то есть $-1 \le a \le 1$, так как область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Если $|a| > 1$, уравнение не имеет действительных корней.

Для решения используется понятие арккосинуса. Арккосинус числа $a$ (обозначается как $\arccos a$) — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

На тригонометрической окружности абсциссе $x=a$ соответствуют две серии углов. Благодаря четности функции косинус ($\cos(-x) = \cos(x)$), эти углы равны $\arccos a$ и $-\arccos a$. Учитывая периодичность функции с периодом $2\pi$, все решения описываются одной общей формулой.

Ответ: $x = \pm \arccos a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

tg x = a

Данное уравнение имеет решения для любого действительного числа $a$, так как область значений функции $y = \tg x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Для нахождения корней используется понятие арктангенса. Арктангенс числа $a$ (обозначается как $\arctan a$) — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Функция тангенса является периодической, ее наименьший положительный период равен $\pi$. Поэтому, найдя одно решение $x_0 = \arctan a$, все остальные решения можно получить, прибавляя целое число периодов $\pi$.

Ответ: $x = \arctan a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.