Номер 2, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Что называется арксинусом числа $a$?

2. Арксинус — это одна из обратных тригонометрических функций. Понятие арксинуса вводится для нахождения угла по известному значению его синуса.

Формальное определение звучит так: арксинусом числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) называется такое число (угол) $\alpha$, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Синус этого угла равен $a$, то есть $\sin \alpha = a$.

2. Этот угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то есть $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, запись $y = \arcsin a$ является сокращенной формой для системы:

$ \begin{cases} \sin y = a \\ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \end{cases} $

Первое условие определяет связь между арксинусом и синусом. Из него также следует, что арксинус определен только для таких чисел $a$, для которых существует угол с таким синусом. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то и арксинус определен только при $|a| \le 1$.

Второе условие необходимо, чтобы сделать выбор угла однозначным, так как уравнение $\sin x = a$ имеет бесконечно много решений (например, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$). Промежуток $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ — это общепринятый диапазон для главного значения арксинуса.

Например, $\arcsin(\frac{1}{2})$ равен $\frac{\pi}{6}$, потому что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ лежит в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. В то же время, угол $\frac{5\pi}{6}$ не является значением арксинуса, так как он не попадает в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Другие примеры: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$; $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$; $\arcsin(0) = 0$.

Ответ: Арксинусом числа $a$, при $|a| \le 1$, называется такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Это значит, что равенство $\alpha = \arcsin a$ выполняется тогда и только тогда, когда одновременно верны два соотношения: $\sin \alpha = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.