Номер 1276, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1276. Немецкий врач, астролог и математик Т. Финк (1561–1656) решил следующую геодезическую задачу: «Найти углы ($ \alpha $ и $ \beta $) треугольника, если известна их сумма $ \Psi $ и отношение противолежащих этим углам сторон $ K $».

Решить эту задачу, используя теорему тангенсов, сформулированную в главе VIII.

Пусть в треугольнике искомые углы обозначены как $\alpha$ и $\beta$, а стороны, противолежащие им, — $a$ и $b$ соответственно.

Согласно условию задачи, нам известны:

• Сумма углов: $\alpha + \beta = \psi$
• Отношение противолежащих сторон: $\frac{a}{b} = K$

Для решения задачи необходимо использовать теорему тангенсов, которая связывает стороны и углы треугольника. Формулировка теоремы тангенсов для углов $\alpha$, $\beta$ и сторон $a$, $b$ выглядит следующим образом:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tan\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Наша цель — найти $\alpha$ и $\beta$ по отдельности. Для этого сначала найдем их разность $\alpha - \beta$.

1. Преобразуем левую часть уравнения.

Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{a - b}{a + b}$ на $b$ (поскольку $b$ — сторона треугольника, $b \ne 0$). Используем известное отношение $K = \frac{a}{b}$:

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{b}}{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} = \frac{K - 1}{K + 1}$

2. Подставим известные значения в теорему тангенсов.

Мы знаем, что $\alpha + \beta = \psi$, следовательно, $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\psi}{2}$. Подставим это и преобразованную левую часть в исходную формулу:

$\frac{K - 1}{K + 1} = \frac{\tan\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tan\frac{\psi}{2}}$

3. Выразим тангенс полуразности углов.

Из полученного уравнения можно выразить $\tan\frac{\alpha - \beta}{2}$:

$\tan\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}$

4. Найдем полуразность углов.

Применив функцию арктангенса, найдем саму полуразность углов:

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

5. Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\alpha$ и $\beta$:

$\begin{cases} \alpha + \beta = \psi \\ \alpha - \beta = 2 \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right) \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, мы найдем $\alpha$:

$2\alpha = \psi + 2 \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

$\alpha = \frac{\psi}{2} + \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

Вычтя второе уравнение из первого, мы найдем $\beta$:

$2\beta = \psi - 2 \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

$\beta = \frac{\psi}{2} - \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

Таким образом, зная сумму углов $\psi$ и отношение сторон $K$, мы можем однозначно определить каждый из углов $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Искомые углы $\alpha$ и $\beta$ определяются по формулам:

$\alpha = \frac{\psi}{2} + \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$

$\beta = \frac{\psi}{2} - \arctan\left(\frac{K - 1}{K + 1} \tan\frac{\psi}{2}\right)$