Номер 1270, страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1270. Найти все значения $a$, при которых уравнение

$4\sin^2x+2(a-3)\cos x+3a-4=0$

имеет корни, и решить это уравнение.

Данное уравнение $4\sin^2x + 2(a-3)\cos x + 3a - 4 = 0$ является тригонометрическим и содержит параметр $a$. Для его решения необходимо привести его к одному тригонометрическому выражению.

1. Нахождение значений параметра a

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\sin^2x = 1 - \cos^2x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:$4(1 - \cos^2x) + 2(a-3)\cos x + 3a - 4 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$4 - 4\cos^2x + 2(a-3)\cos x + 3a - 4 = 0$$-4\cos^2x + 2(a-3)\cos x + 3a = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:$4\cos^2x - 2(a-3)\cos x - 3a = 0$

Теперь сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 - 2(a-3)t - 3a = 0$

Исходное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t_0$, удовлетворяющий условию $-1 \le t_0 \le 1$.Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:$D = (-(2(a-3)))^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3a) = 4(a-3)^2 + 48a$$D = 4(a^2 - 6a + 9) + 48a = 4a^2 - 24a + 36 + 48a = 4a^2 + 24a + 36$$D = 4(a^2 + 6a + 9) = 4(a+3)^2 = (2(a+3))^2$

Поскольку дискриминант является полным квадратом, $D \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, и квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем эти корни:$t = \frac{2(a-3) \pm \sqrt{(2(a+3))^2}}{2 \cdot 4} = \frac{2(a-3) \pm 2(a+3)}{8} = \frac{a-3 \pm (a+3)}{4}$

Получаем два корня для $t$:$t_1 = \frac{a-3 + (a+3)}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$$t_2 = \frac{a-3 - (a+3)}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь проверим условие $-1 \le t \le 1$ для каждого из корней.Для корня $t_2 = -1.5$ условие не выполняется, так как $-1.5 < -1$. Это означает, что уравнение $\cos x = -1.5$ не имеет решений.Следовательно, исходное уравнение будет иметь корни только в том случае, если корень $t_1$ будет принадлежать отрезку $[-1, 1]$.$-1 \le t_1 \le 1$$-1 \le \frac{a}{2} \le 1$

Умножим все части двойного неравенства на 2:$-2 \le a \le 2$

Таким образом, уравнение имеет корни только при $a \in [-2, 2]$.

2. Решение уравнения

Мы выяснили, что при $a \in [-2, 2]$ уравнение имеет решения, и они происходят из равенства $\cos x = t_1$.Итак, нам нужно решить уравнение:$\cos x = \frac{a}{2}$

Поскольку при $a \in [-2, 2]$ значение $\frac{a}{2}$ находится в отрезке $[-1, 1]$, это уравнение всегда имеет решения. Общее решение для $x$ записывается по стандартной формуле:$x = \pm \arccos\left(\frac{a}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [-2, 2]$. При этих значениях $a$ решения уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{a}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.