Номер 1263, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1263. 1) $ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 4\sin x - 2\sin y = 3, \\ 2\cos x - \cos y = 0. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Для упрощения введем новые переменные. Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 1 \\ a^2 + b^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 1 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (1 - a)^2 = \frac{1}{2}$

$a^2 + 1 - 2a + a^2 = \frac{1}{2}$

$2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} = 0$

$2a^2 - 2a + \frac{1}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4a^2 - 4a + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(2a - 1)^2 = 0$

Отсюда находим $a$:

$2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $b$:

$b = 1 - a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Вернемся к исходным переменным, выполнив обратную замену:

$\sin x = a = \frac{1}{2}$

$\cos y = b = \frac{1}{2}$

Решим каждое из этих простейших тригонометрических уравнений.

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ получаем серию решений для $x$:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos y = \frac{1}{2}$ получаем серию решений для $y$:

$y = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4\sin x - 2\sin y = 3 \\ 2\cos x - \cos y = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $\cos y$ через $\cos x$:

$\cos y = 2\cos x$

Из первого уравнения выразим $\sin y$ через $\sin x$:

$2\sin y = 4\sin x - 3 \implies \sin y = \frac{4\sin x - 3}{2}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и подставим в него полученные выражения для $\sin y$ и $\cos y$:

$\left(\frac{4\sin x - 3}{2}\right)^2 + (2\cos x)^2 = 1$

$\frac{16\sin^2 x - 24\sin x + 9}{4} + 4\cos^2 x = 1$

Умножим обе части уравнения на 4:

$16\sin^2 x - 24\sin x + 9 + 16\cos^2 x = 4$

Сгруппируем слагаемые с $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$:

$16(\sin^2 x + \cos^2 x) - 24\sin x + 9 = 4$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение упрощается:

$16 \cdot 1 - 24\sin x + 9 = 4$

$25 - 24\sin x = 4$

$24\sin x = 21$

$\sin x = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

Теперь найдем $\cos x$ из тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{7}{8}\right)^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{64 - 49}{64} = \frac{15}{64}$

Отсюда $\cos x = \pm \sqrt{\frac{15}{64}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

В этом случае имеем $\sin x = \frac{7}{8}$ и $\cos x = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Найдем соответствующие значения для $y$:

$\sin y = \frac{4\sin x - 3}{2} = \frac{4(\frac{7}{8}) - 3}{2} = \frac{\frac{7}{2} - 3}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

$\cos y = 2\cos x = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Так как $|\frac{\sqrt{15}}{4}| < 1$ ($\sqrt{15} < 4 \iff 15 < 16$), значения корректны.

Решения для этого случая (аргументы $x$ и $y$ находятся в первой четверти):

$x = \arcsin\left(\frac{7}{8}\right) + 2\pi k$

$y = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$

Случай 2: $\cos x = -\frac{\sqrt{15}}{8}$.

В этом случае имеем $\sin x = \frac{7}{8}$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{15}}{8}$.

Найдем значения для $y$:

$\sin y = \frac{4\sin x - 3}{2} = \frac{1}{4}$ (значение то же, что и в первом случае).

$\cos y = 2\cos x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right) = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Решения для этого случая (аргумент $x$ во второй четверти, аргумент $y$ во второй четверти):

$x = \pi - \arcsin\left(\frac{7}{8}\right) + 2\pi k$

$y = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$

Объединяем решения из двух случаев, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left(\arcsin\frac{7}{8} + 2\pi k, \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi n\right)$; $\left(\pi - \arcsin\frac{7}{8} + 2\pi k, \pi - \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.