Номер 1261, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (1261—1264).

1261. 1) $ \begin{cases} \sin y \cos y = \frac{1}{2}, \\ \sin 2x + \sin 2y = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x + \sin y = 1, \\ \cos x - \cos y = \sqrt{3}. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sin y \cos y = \frac{1}{2} \\\sin 2x + \sin 2y = 0\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Умножим обе части первого уравнения на 2:

$2 \sin y \cos y = 1$

Отсюда получаем:

$\sin(2y) = 1$

Решим это уравнение относительно $y$:

$2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$y = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим найденное значение $\sin(2y) = 1$ во второе уравнение системы:

$\sin 2x + 1 = 0$

$\sin 2x = -1$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решения системы имеют вид:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $y = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sin x + \sin y = 1 \\\cos x - \cos y = \sqrt{3}\end{cases}$$

Перепишем систему в виде:

$$\begin{cases}\sin y = 1 - \sin x \\\cos y = \cos x - \sqrt{3}\end{cases}$$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Подставим в него выражения для $\sin y$ и $\cos y$ из системы:

$(1 - \sin x)^2 + (\cos x - \sqrt{3})^2 = 1$

Раскроем скобки:

$1 - 2\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 1$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение упрощается:

$1 - 2\sin x + 1 - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 1$

$5 - 2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x = 1$

$-2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x = -4$

Разделим обе части на -2:

$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2$

Для решения этого уравнения применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Уравнение принимает вид:

$\cos(\frac{\pi}{3})\sin x + \sin(\frac{\pi}{3})\cos x = 1$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$

Отсюда находим $x$:

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $y$. Подставим значения $\sin x$ и $\cos x$ для найденного $x$ в преобразованную систему.

$\sin x = \sin(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos x = \cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем в выражения для $\sin y$ и $\cos y$:

$\sin y = 1 - \sin x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos y = \cos x - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Из системы$$\begin{cases}\sin y = \frac{1}{2} \\\cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$однозначно определяется угол $y$ (с точностью до $2\pi k$). Этим условиям соответствует угол второй четверти:

$y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.