Номер 1254, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1254. 1) $2\cos3x = 3\sin x + \cos x;$

2) $\cos3x - \cos2x = \sin3x.$

1) $2\cos3x = 3\sin x + \cos x$

Перенесем $\cos x$ в левую часть уравнения:

$2\cos3x - \cos x = 3\sin x$

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x$.

$2(4\cos^3x - 3\cos x) - \cos x = 3\sin x$

$8\cos^3x - 6\cos x - \cos x = 3\sin x$

$8\cos^3x - 7\cos x = 3\sin x$

Вынесем $\cos x$ за скобки в левой части:

$\cos x(8\cos^2x - 7) = 3\sin x$

Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$. Тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin x = \pm 1$.
Левая часть уравнения обращается в 0, а правая в $3(\pm 1) = \pm 3$. Так как $0 \neq \pm 3$, то значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются решениями уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x \neq 0$:

$8\cos^2x - 7 = \frac{3\sin x}{\cos x}$

$8\cos^2x - 7 = 3\tan x$

Используем формулу, связывающую косинус и тангенс: $\cos^2x = \frac{1}{1+\tan^2x}$. Сделаем замену $t = \tan x$:

$8\frac{1}{1+t^2} - 7 = 3t$

Домножим обе части на $(1+t^2)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$8 - 7(1+t^2) = 3t(1+t^2)$

$8 - 7 - 7t^2 = 3t + 3t^3$

$1 - 7t^2 = 3t + 3t^3$

Получаем кубическое уравнение относительно $t$:

$3t^3 + 7t^2 + 3t - 1 = 0$

Попробуем найти целые или рациональные корни. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{3}$.
Проверкой убеждаемся, что $t=-1$ является корнем: $3(-1)^3 + 7(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -3 + 7 - 3 - 1 = 0$.
Разделим многочлен $3t^3 + 7t^2 + 3t - 1$ на $(t+1)$:

$(3t^3 + 7t^2 + 3t - 1) : (t+1) = 3t^2 + 4t - 1$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(t+1)(3t^2+4t-1) = 0$

Отсюда получаем совокупность уравнений:

1) $t+1 = 0 \Rightarrow t_1 = -1$

2) $3t^2+4t-1 = 0$. Решаем квадратное уравнение:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$

$t_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Теперь вернемся к замене $t = \tan x$:

1) $\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $\tan x = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x = \arctan\frac{-2 + \sqrt{7}}{3} + \pi n; x = \arctan\frac{-2 - \sqrt{7}}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos3x - \cos2x = \sin3x$

Перегруппируем члены уравнения:

$\cos3x - \sin3x = \cos2x$

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ можно записать как $R\cos(\alpha - \phi)$, где $R=\sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1, b=-1$, поэтому $R=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin3x\right) = \cos2x$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:

$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos3x - \sin\frac{\pi}{4}\sin3x\right) = \cos2x$

$\sqrt{2}\cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) = \cos2x$

Чтобы упростить аргументы, сделаем замену $u = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда $x = u - \frac{\pi}{4}$.
Аргументы функций примут вид:
$3x + \frac{\pi}{4} = 3(u - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3u - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 3u - \frac{\pi}{2}$
$2x = 2(u - \frac{\pi}{4}) = 2u - \frac{\pi}{2}$
Подставим в уравнение:

$\sqrt{2}\cos\left(3u - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2u - \frac{\pi}{2}\right)$

Используя формулы приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$, получаем:

$\sqrt{2}\sin(3u) = \sin(2u)$

Раскроем синусы по формулам тройного и двойного углов:

$\sqrt{2}(3\sin u - 4\sin^3u) = 2\sin u \cos u$

Перенесем все в одну сторону и вынесем $\sin u$ за скобки:

$\sin u (\sqrt{2}(3 - 4\sin^2u) - 2\cos u) = 0$

Получаем совокупность уравнений:

1) $\sin u = 0 \Rightarrow u = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sqrt{2}(3 - 4\sin^2u) - 2\cos u = 0$
Заменим $\sin^2u = 1 - \cos^2u$ и получим квадратное уравнение относительно $\cos u$:

$\sqrt{2}(3 - 4(1-\cos^2u)) - 2\cos u = 0$

$\sqrt{2}(-1 + 4\cos^2u) - 2\cos u = 0$

$4\sqrt{2}\cos^2u - 2\cos u - \sqrt{2} = 0$

Решаем это уравнение (например, через дискриминант):
$D = (-2)^2 - 4(4\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$\cos u = \frac{2 \pm 6}{2 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{2 \pm 6}{8\sqrt{2}}$

$\cos u = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos u = \frac{-4}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Теперь найдем решения для $u$ из всех случаев:

1) $\sin u = 0 \Rightarrow u = \pi k$

2) $\cos u = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow u = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

3) $\cos u = -\frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow u = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi k$

Наконец, вернемся к переменной $x = u - \frac{\pi}{4}$:

1) $x = \pi k - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

2) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

3) $x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi k$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k; x = 2\pi k; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.