Номер 1249, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1249. 1) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0; $

2) $ \cos x - \cos 3x = \cos 2x - \cos 4x. $

Дано тригонометрическое уравнение: $sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0$.

Для решения сгруппируем первое и третье слагаемые. Это позволит применить формулу суммы синусов: $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(sin(x) + sin(3x)) + sin(2x) = 0$

Применяем формулу к выражению в скобках:

$2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{3x-x}{2} + sin(2x) = 0$

Упрощаем аргументы тригонометрических функций:

$2sin(2x)cos(x) + sin(2x) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $sin(2x)$ за скобки:

$sin(2x)(2cos(x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $sin(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:

$2x = \pi n$, где $n \in Z$ (Z - множество целых чисел).

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

2. $2cos(x) + 1 = 0$

Выразим $cos(x)$:

$2cos(x) = -1$

$cos(x) = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Так как $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Объединив решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$.

Дано тригонометрическое уравнение: $cos(x) - cos(3x) = cos(2x) - cos(4x)$.

Для решения этого уравнения удобно использовать формулу разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. Применим ее к обеим частям уравнения.

Преобразуем левую часть:

$cos(x) - cos(3x) = -2sin\frac{x+3x}{2}sin\frac{x-3x}{2} = -2sin(2x)sin(-x)$

Используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$, получаем:

$2sin(2x)sin(x)$

Преобразуем правую часть:

$cos(2x) - cos(4x) = -2sin\frac{2x+4x}{2}sin\frac{2x-4x}{2} = -2sin(3x)sin(-x)$

$2sin(3x)sin(x)$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$2sin(2x)sin(x) = 2sin(3x)sin(x)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2sin(2x)sin(x) - 2sin(3x)sin(x) = 0$

$2sin(x)(sin(2x) - sin(3x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:

1. $sin(x) = 0$

Решение этого уравнения:

$x = \pi n$, где $n \in Z$.

2. $sin(2x) - sin(3x) = 0$

$sin(2x) = sin(3x)$

Для решения этого уравнения применим формулу разности синусов $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$2sin\frac{2x-3x}{2}cos\frac{2x+3x}{2} = 0$

$2sin(-\frac{x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0$

$-2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0$

Это уравнение распадается еще на два:

a) $sin(\frac{x}{2}) = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in Z$. Заметим, что эта серия решений является подмножеством серии $x = \pi n$ (при четных значениях n), поэтому не добавляет новых корней.

b) $cos(\frac{5x}{2}) = 0$

$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Умножим обе части на 2:

$5x = \pi + 2\pi k$

Разделим на 5:

$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in Z$.

Объединяем все уникальные серии решений.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}$, где $n, k \in Z$.