Номер 1252, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения к главе IX. Глава IX. Тригонометрические уравнения - номер 1252, страница 353.
№1252 (с. 353)
Условие. №1252 (с. 353)
скриншот условия

Решить уравнение (1252-1260).
1252.1) $\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$; 2) $\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$; 3) $\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$;
4) $\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$; 5) $\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$; 6) $\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$.
Решение 1. №1252 (с. 353)






Решение 2. №1252 (с. 353)

Решение 3. №1252 (с. 353)


Решение 4. №1252 (с. 353)
1) $\frac{\sin2x}{\sin x}=0$
Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$\begin{cases} \sin2x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$
Решим первое уравнение системы: $\sin2x = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения, решением которого является серия:
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь учтем второе условие системы: $\sin x \neq 0$.
$\sin x = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, мы должны исключить из найденных решений $x = \frac{\pi k}{2}$ те, которые удовлетворяют условию $x = \pi n$.
Приравняем их, чтобы найти "запрещенные" значения $k$:
$\frac{\pi k}{2} = \pi n \implies k = 2n$.
Это означает, что $k$ не может быть четным числом. Следовательно, $k$ должно быть нечетным.
Запишем нечетное число в общем виде: $k = 2m+1$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Подставим это в наше решение для $x$:
$x = \frac{\pi (2m+1)}{2} = \frac{2\pi m + \pi}{2} = \pi m + \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
2) $\frac{\sin3x}{\sin x}=0$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \sin3x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$
Решаем первое уравнение: $\sin3x = 0$.
$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Из условия $\sin x \neq 0$ следует, что $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Исключим из решений $x = \frac{\pi k}{3}$ те, для которых $x = \pi n$:
$\frac{\pi k}{3} = \pi n \implies k = 3n$.
Значит, $k$ не должно быть кратно 3.
Решениями являются серии $x = \frac{\pi k}{3}$ для $k$, не делящихся на 3. Это можно записать как две серии, взяв остатки от деления на 3, которые не равны 0 (то есть 1 и 2):
Если $k = 3m+1$, то $x = \frac{\pi(3m+1)}{3} = \pi m + \frac{\pi}{3}$.
Если $k = 3m+2$, то $x = \frac{\pi(3m+2)}{3} = \pi m + \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
3) $\frac{\cos2x}{\cos x}=0$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \cos2x = 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$
Решаем первое уравнение: $\cos2x = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Из условия $\cos x \neq 0$ следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим, есть ли среди наших решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ "запрещенные" значения:
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Умножим обе части на $\frac{4}{\pi}$:
$1 + 2k = 2 + 4n \implies 2k - 4n = 1 \implies 2(k-2n) = 1$.
Слева стоит четное число, а справа — нечетное. Это равенство невозможно для целых $k$ и $n$. Значит, ни одно из решений не совпадает с исключаемыми значениями. Все найденные решения подходят.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
4) $\frac{\cos3x}{\cos x}=0$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \cos3x = 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$
Решаем первое уравнение: $\cos3x = 0$.
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Из условия $\cos x \neq 0$ следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $k$, которые нужно исключить:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Умножим обе части на $\frac{6}{\pi}$:
$1 + 2k = 3 + 6n \implies 2k = 2 + 6n \implies k = 1 + 3n$.
Значит, $k$ не должно иметь вид $3n+1$.
Остаются значения $k$ вида $3m$ и $3m+2$:
Если $k = 3m$, то $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3m)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m$.
Если $k = 3m+2$, то $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3m+2)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi m$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi m, x = \frac{5\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
5) $\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \sin x = 0, \\ \sin 5x \neq 0. \end{cases}$
Решаем первое уравнение: $\sin x = 0$.
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим условие $\sin 5x \neq 0$, подставив в него найденные решения:
$\sin(5(\pi k)) = \sin(5\pi k)$.
Поскольку $5k$ является целым числом для любого целого $k$, $\sin(5\pi k)$ всегда равен 0.
Таким образом, для любого решения уравнения $\sin x = 0$ знаменатель $\sin 5x$ также обращается в нуль. Это противоречит условию $\sin 5x \neq 0$. Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: Нет решений.
6) $\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} \cos x = 0, \\ \cos 7x \neq 0. \end{cases}$
Решаем первое уравнение: $\cos x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\cos 7x \neq 0$, подставив в него найденные решения:
$7x = 7(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{7\pi}{2} + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + 3\pi + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + (3+7k)\pi$.
Пусть $m = 3+7k$. Поскольку $k$ - целое число, $m$ также является целым числом.
Тогда $\cos(7x) = \cos(\frac{\pi}{2} + m\pi)$. Значение косинуса для таких углов всегда равно 0.
Это противоречит условию $\cos 7x \neq 0$. Таким образом, ни одно из значений $x$, при которых $\cos x = 0$, не является решением исходного уравнения. Решений нет.
Ответ: Нет решений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1252 расположенного на странице 353 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1252 (с. 353), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.