Номер 1252, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IX. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе IX - номер 1252, страница 353.

Условие.

Решить уравнение (1252-1260).

1252.

1) $\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$; 2) $\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$; 3) $\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$;

4) $\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$; 5) $\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$; 6) $\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{\sin2x}{\sin x}=0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} \sin2x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы: $\sin2x = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения, решением которого является серия:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем второе условие системы: $\sin x \neq 0$.

$\sin x = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, мы должны исключить из найденных решений $x = \frac{\pi k}{2}$ те, которые удовлетворяют условию $x = \pi n$.

Приравняем их, чтобы найти "запрещенные" значения $k$:

$\frac{\pi k}{2} = \pi n \implies k = 2n$.

Это означает, что $k$ не может быть четным числом. Следовательно, $k$ должно быть нечетным.

Запишем нечетное число в общем виде: $k = 2m+1$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Подставим это в наше решение для $x$:

$x = \frac{\pi (2m+1)}{2} = \frac{2\pi m + \pi}{2} = \pi m + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin3x}{\sin x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin3x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\sin3x = 0$.

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из условия $\sin x \neq 0$ следует, что $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исключим из решений $x = \frac{\pi k}{3}$ те, для которых $x = \pi n$:

$\frac{\pi k}{3} = \pi n \implies k = 3n$.

Значит, $k$ не должно быть кратно 3.

Решениями являются серии $x = \frac{\pi k}{3}$ для $k$, не делящихся на 3. Это можно записать как две серии, взяв остатки от деления на 3, которые не равны 0 (то есть 1 и 2):

Если $k = 3m+1$, то $x = \frac{\pi(3m+1)}{3} = \pi m + \frac{\pi}{3}$.

Если $k = 3m+2$, то $x = \frac{\pi(3m+2)}{3} = \pi m + \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{\cos2x}{\cos x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos2x = 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из условия $\cos x \neq 0$ следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, есть ли среди наших решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ "запрещенные" значения:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части на $\frac{4}{\pi}$:

$1 + 2k = 2 + 4n \implies 2k - 4n = 1 \implies 2(k-2n) = 1$.

Слева стоит четное число, а справа — нечетное. Это равенство невозможно для целых $k$ и $n$. Значит, ни одно из решений не совпадает с исключаемыми значениями. Все найденные решения подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\cos3x}{\cos x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos3x = 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos3x = 0$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из условия $\cos x \neq 0$ следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $k$, которые нужно исключить:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части на $\frac{6}{\pi}$:

$1 + 2k = 3 + 6n \implies 2k = 2 + 6n \implies k = 1 + 3n$.

Значит, $k$ не должно иметь вид $3n+1$.

Остаются значения $k$ вида $3m$ и $3m+2$:

Если $k = 3m$, то $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3m)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m$.

Если $k = 3m+2$, то $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3m+2)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi m$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi m, x = \frac{5\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

5) $\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x = 0, \\ \sin 5x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\sin x = 0$.

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим условие $\sin 5x \neq 0$, подставив в него найденные решения:

$\sin(5(\pi k)) = \sin(5\pi k)$.

Поскольку $5k$ является целым числом для любого целого $k$, $\sin(5\pi k)$ всегда равен 0.

Таким образом, для любого решения уравнения $\sin x = 0$ знаменатель $\sin 5x$ также обращается в нуль. Это противоречит условию $\sin 5x \neq 0$. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: Нет решений.

6) $\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = 0, \\ \cos 7x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $\cos 7x \neq 0$, подставив в него найденные решения:

$7x = 7(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{7\pi}{2} + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + 3\pi + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + (3+7k)\pi$.

Пусть $m = 3+7k$. Поскольку $k$ - целое число, $m$ также является целым числом.

Тогда $\cos(7x) = \cos(\frac{\pi}{2} + m\pi)$. Значение косинуса для таких углов всегда равно 0.

Это противоречит условию $\cos 7x \neq 0$. Таким образом, ни одно из значений $x$, при которых $\cos x = 0$, не является решением исходного уравнения. Решений нет.

Ответ: Нет решений.