Номер 1257, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1257. 1) $\sin3x + |\sin x| = \sin2x$;

2) $\cos3x + |\cos x| = \sin2x$.

1) $ \sin3x + |\sin x| = \sin2x $

Данное уравнение содержит модуль $ |\sin x| $. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака $ \sin x $.

Случай 1: $ \sin x \ge 0 $

Это условие выполняется для $ x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\sin x| = \sin x $, и уравнение принимает вид: $ \sin3x + \sin x = \sin2x $ Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = \sin2x $ $ 2\sin2x \cos x = \sin2x $ $ 2\sin2x \cos x - \sin2x = 0 $ $ \sin2x(2\cos x - 1) = 0 $ Это равенство выполняется, если:
а) $ \sin2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
б) $ 2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни, удовлетворяющие условию $ \sin x \ge 0 $:
Из серии $ x = \frac{\pi n}{2} $: подходят $ x = \pi k $ (при четных $ n=2k $) и $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $ (при $ n=1, 5, 9, ... $ или $ n=4k+1 $).
Из серии $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m $:
- $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m $: $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 $. Корень подходит.
- $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m $: $ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 $. Корень не подходит.

Случай 2: $ \sin x < 0 $

Это условие выполняется для $ x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\sin x| = -\sin x $, и уравнение принимает вид: $ \sin3x - \sin x = \sin2x $ Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = \sin2x $ $ 2\cos2x \sin x = 2\sin x \cos x $ $ 2\sin x(\cos2x - \cos x) = 0 $ Поскольку в этом случае $ \sin x \ne 0 $, мы можем разделить обе части на $ 2\sin x $: $ \cos2x = \cos x $ Это равенство имеет решения: $ 2x = \pm x + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
а) $ 2x = x + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n $. В этих точках $ \sin x = 0 $, что не удовлетворяет условию $ \sin x < 0 $.
б) $ 2x = -x + 2\pi n \Rightarrow 3x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3} $.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $ \sin x < 0 $:
При $ n=1, x = \frac{2\pi}{3} $, $ \sin x > 0 $. Не подходит.
При $ n=2, x = \frac{4\pi}{3} $, $ \sin x < 0 $. Подходит. Серия корней $ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $ или $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k $.
При $ n=3, x = 2\pi $, $ \sin x = 0 $. Не подходит. Цикл повторяется.

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $ x = \pi k $; $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $; $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $; $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos3x + |\cos x| = \sin2x $

Раскроем модуль $ |\cos x| $, рассмотрев два случая.

Случай 1: $ \cos x \ge 0 $

Это условие выполняется для $ x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\cos x| = \cos x $, и уравнение принимает вид: $ \cos3x + \cos x = \sin2x $ Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = \sin2x $ $ 2\cos2x \cos x = 2\sin x \cos x $ $ 2\cos x(\cos2x - \sin x) = 0 $
а) $ \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют условию $ \cos x \ge 0 $.
б) $ \cos2x - \sin x = 0 \Rightarrow \cos2x = \sin x $. Используя формулу $ \cos2x = 1 - 2\sin^2x $: $ 1 - 2\sin^2x = \sin x $ $ 2\sin^2x + \sin x - 1 = 0 $ Пусть $ y = \sin x $, тогда $ 2y^2 + y - 1 = 0 $. Корни этого квадратного уравнения: $ y_1 = -1, y_2 = \frac{1}{2} $.
- $ \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m $. Здесь $ \cos x = 0 $, корень подходит. Эта серия является частью серии $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $.
- $ \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m $ или $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $. Проверяем условие $ \cos x \ge 0 $. Для $ x = \frac{\pi}{6} $, $ \cos x > 0 $, корень подходит. Для $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ \cos x < 0 $, корень не подходит.

Случай 2: $ \cos x < 0 $

Это условие выполняется для $ x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\cos x| = -\cos x $, и уравнение принимает вид: $ \cos3x - \cos x = \sin2x $ Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ -2\sin2x \sin x = \sin2x $ $ \sin2x(1 + 2\sin x) = 0 $
а) $ \sin2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} $. Условию $ \cos x < 0 $ удовлетворяет только $ x = \pi + 2\pi m $.
б) $ 1 + 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} $. Решения: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m $ и $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m $. Условию $ \cos x < 0 $ удовлетворяет только $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m $.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $; $ x = \pi + 2\pi k $; $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $; $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.