Номер 1253, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1253. 1) $ \cos x \sin 5x = -1; $

2) $ \sin x \cos 3x = -1. $

1) $\cos x \sin 5x = -1$

Произведение двух тригонометрических функций, косинуса и синуса, равно -1. Поскольку значения функций $\cos x$ и $\sin 5x$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$, их произведение может быть равно -1 только в двух случаях, когда модули множителей равны 1:

1. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \sin 5x = -1 \end{array} \right.$
2. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x = -1 \\ \sin 5x = 1 \end{array} \right.$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Случай 1:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \sin 5x = -1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\cos x = 1$ находим решения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение системы, чтобы проверить, выполняются ли они одновременно:

$\sin(5 \cdot (2\pi n)) = \sin(10\pi n)$

Поскольку $10\pi n$ является целым кратным $2\pi$, значение синуса от этого аргумента всегда равно 0:

$\sin(10\pi n) = 0$

Однако, по условию второго уравнения, должно выполняться равенство $\sin 5x = -1$. Мы получили противоречие: $0 = -1$. Следовательно, эта система не имеет решений.

Случай 2:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x = -1 \\ \sin 5x = 1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\cos x = -1$ находим решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение системы:

$\sin(5(\pi + 2\pi k)) = \sin(5\pi + 10\pi k)$

Используя периодичность синуса, получаем:

$\sin(5\pi + 10\pi k) = \sin(5\pi) = \sin(\pi + 4\pi) = \sin(\pi) = 0$

По условию второго уравнения должно выполняться равенство $\sin 5x = 1$. Мы снова получили противоречие: $0 = 1$. Следовательно, и эта система не имеет решений.

Так как ни одна из возможных систем уравнений не имеет решений, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) $\sin x \cos 3x = -1$

Аналогично первому уравнению, произведение функций $\sin x$ и $\cos 3x$, значения которых лежат в отрезке $[-1, 1]$, равно -1. Это возможно только в двух случаях:

1. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \cos 3x = -1 \end{array} \right.$
2. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \sin x = -1 \\ \cos 3x = 1 \end{array} \right.$

Рассмотрим каждую систему.

Случай 1:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \cos 3x = -1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\sin x = 1$ находим решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение:

$\cos(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 6\pi n)$

Учитывая периодичность косинуса, получаем:

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 6\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

По условию второго уравнения, $\cos 3x = -1$. Получаем противоречие: $0 = -1$. Эта система не имеет решений.

Случай 2:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x = -1 \\ \cos 3x = 1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\sin x = -1$ находим решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение:

$\cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k)$

Поскольку косинус — чётная функция, а $6\pi k$ — период, имеем:

$\cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

По условию второго уравнения, $\cos 3x = 1$. Снова получаем противоречие: $0 = 1$. Эта система также не имеет решений.

Поскольку оба возможных случая не приводят к решениям, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.