Номер 1260, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1260. 1) $\frac{(\sqrt{3}+1)\sin3x+\sin5x}{|\sin x|}=\sqrt{3};$

2) $\frac{(\sqrt{3}+1)\cos3x-\cos5x}{|\cos x|}=\sqrt{3};$

3) $\frac{2\sin3x}{\sin x}=\frac{|\cos6x|}{\cos2x};$

4) $\frac{\sin6x}{|\sin4x|}=\frac{\cos3x}{\cos x}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{(\sqrt{3} + 1)\sin3x + \sin5x}{|\sin x|} = \sqrt{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $|\sin x| \neq 0$, что означает $\sin x \neq 0$, следовательно, $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Перенесем знаменатель в правую часть:

$(\sqrt{3} + 1)\sin3x + \sin5x = \sqrt{3}|\sin x|$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$\sqrt{3}\sin3x + \sin3x + \sin5x = \sqrt{3}|\sin x|$

Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению $\sin3x + \sin5x$:

$\sin5x + \sin3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin4x\cos x$

Подставим это в уравнение:

$\sqrt{3}\sin3x + 2\sin4x\cos x = \sqrt{3}|\sin x|$

Перенесем $\sqrt{3}|\sin x|$ в левую часть:

$\sqrt{3}(\sin3x - |\sin x|) + 2\sin4x\cos x = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$.

Случай 1: $\sin x > 0$.

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}(\sin3x - \sin x) + 2\sin4x\cos x = 0$

Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin3x - \sin x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2\cos2x\sin x$

Подставляем в уравнение:

$\sqrt{3}(2\cos2x\sin x) + 2(2\sin2x\cos2x)\cos x = 0$

$2\sqrt{3}\cos2x\sin x + 4(2\sin x\cos x)\cos2x\cos x = 0$

$2\sin x\cos2x(\sqrt{3} + 4\cos^2 x) = 0$

По ОДЗ $\sin x \neq 0$. Выражение $\sqrt{3} + 4\cos^2 x$ всегда положительно. Следовательно, остается только $\cos2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Выберем те решения, для которых $\sin x > 0$. Это соответствует I и II координатным четвертям.

При $m=0, x = \frac{\pi}{4}$. $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Решение подходит.

При $m=1, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Решение подходит.

При $m=2, x = \frac{5\pi}{4}$. $\sin(\frac{5\pi}{4}) < 0$. Не подходит.

При $m=3, x = \frac{7\pi}{4}$. $\sin(\frac{7\pi}{4}) < 0$. Не подходит.

Таким образом, решения для этого случая: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}(\sin3x + \sin x) + 2\sin4x\cos x = 0$

Применяя формулу суммы синусов:

$\sqrt{3}(2\sin2x\cos x) + 2(2\sin2x\cos2x)\cos x = 0$

$2\cos x\sin2x(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

$2\cos x(2\sin x\cos x)(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

$4\sin x\cos^2 x(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

Так как $\sin x \neq 0$, то $\cos^2 x(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$. Это дает два варианта:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m$. С учетом $\sin x < 0$, получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} + 2\cos2x = 0 \implies \cos2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, для которых $\sin x < 0$ (III и IV четверти).

Из серии $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m$: $x = \frac{17\pi}{12} + 2\pi k$ (III четверть).

Из серии $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi m$: $x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k = \frac{19\pi}{12} + 2\pi k$ (IV четверть).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{(\sqrt{3} + 1)\cos3x - \cos5x}{|\cos x|} = \sqrt{3} $

ОДЗ: $|\cos x| \neq 0 \implies \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение:

$(\sqrt{3} + 1)\cos3x - \cos5x = \sqrt{3}|\cos x|$

$\sqrt{3}\cos3x + \cos3x - \cos5x = \sqrt{3}|\cos x|$

$\sqrt{3}(\cos3x - |\cos x|) + (\cos3x - \cos5x) = 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos3x - \cos5x = -2\sin4x\sin(-x) = 2\sin4x\sin x$

Получаем: $\sqrt{3}(\cos3x - |\cos x|) + 2\sin4x\sin x = 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\cos x > 0$.

$|\cos x| = \cos x$. Уравнение: $\sqrt{3}(\cos3x - \cos x) + 2\sin4x\sin x = 0$.

$\sqrt{3}(-2\sin2x\sin x) + 2(2\sin2x\cos2x)\sin x = 0$

$-2\sqrt{3}\sin2x\sin x + 4\sin2x\cos2x\sin x = 0$

$2\sin x\sin2x(-\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

Это дает три множителя:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi m$. С учетом $\cos x > 0$, получаем $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin2x = 0 \implies x = \frac{\pi m}{2}$. Эта серия включает предыдущую, а также значения, исключенные ОДЗ.

3) $-\sqrt{3} + 2\cos2x = 0 \implies \cos2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi m$.

Выбираем решения с $\cos x > 0$: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$.

$|\cos x| = -\cos x$. Уравнение: $\sqrt{3}(\cos3x + \cos x) + 2\sin4x\sin x = 0$.

$\sqrt{3}(2\cos2x\cos x) + 2(4\sin x\cos x\cos2x)\sin x = 0$

$2\cos x\cos2x(\sqrt{3} + 4\sin^2 x) = 0$

По ОДЗ $\cos x \neq 0$. Выражение $\sqrt{3} + 4\sin^2 x$ всегда положительно. Остается $\cos2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$.

Выбираем решения с $\cos x < 0$ (II и III четверти).

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \pm\frac{\pi}{12} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{2\sin3x}{\sin x} = \frac{|\cos6x|}{\cos2x} $

ОДЗ: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n$; $\cos2x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем левую часть, используя формулу тройного угла $\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$:

$\frac{2(3\sin x - 4\sin^3 x)}{\sin x} = 2(3-4\sin^2 x) = 2(3-4\frac{1-\cos2x}{2}) = 2(3-2+2\cos2x) = 2(1+2\cos2x)$.

Уравнение принимает вид:

$2(1+2\cos2x) = \frac{|\cos6x|}{\cos2x}$

Используем формулу $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$. Пусть $\alpha=2x$. Тогда $\cos6x = 4\cos^3(2x)-3\cos(2x)$.

$2(1+2\cos2x) = \frac{|4\cos^3(2x)-3\cos(2x)|}{\cos2x} = \frac{|\cos2x|\cdot|4\cos^2(2x)-3|}{\cos2x}$

Обозначим $u = \cos2x$. По ОДЗ $u \neq 0$.

$2(1+2u) = \frac{|u|\cdot|4u^2-3|}{u}$

Случай 1: $u = \cos2x > 0$.

$|u|=u$. Уравнение: $2(1+2u) = |4u^2-3|$.

а) $4u^2-3 \ge 0 \implies u^2 \ge 3/4 \implies u \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2(1+2u) = 4u^2-3 \implies 4u^2-4u-5=0$. $u=\frac{1\pm\sqrt{6}}{2}$. Ни один корень не удовлетворяет условию $u \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $4u^2-3 < 0 \implies 0 < u < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2(1+2u) = -(4u^2-3) \implies 4u^2+4u-1=0$. $u=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}$. Условию $0 < u < \frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяет только $u = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Итак, $\cos2x = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Случай 2: $u = \cos2x < 0$.

$|u|=-u$. Уравнение: $2(1+2u) = -|4u^2-3|$.

Левая часть $2(1+2u)$ должна быть $\le 0$, что дает $u \le -1/2$. Так что ищем решения в $(-1, -1/2]$.

а) $4u^2-3 \ge 0 \implies u^2 \ge 3/4 \implies u \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2(1+2u) = -(4u^2-3) \implies 4u^2+4u-1=0$. $u=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}$. Ни один корень не удовлетворяет условию $u \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $4u^2-3 < 0 \implies -\frac{\sqrt{3}}{2} < u \le -1/2$.

$2(1+2u) = 4u^2-3 \implies 4u^2-4u-5=0$. $u=\frac{1\pm\sqrt{6}}{2}$. Условию $-\frac{\sqrt{3}}{2} < u \le -1/2$ удовлетворяет $u=\frac{1-\sqrt{6}}{2}$.

Итак, $\cos2x = \frac{1-\sqrt{6}}{2}$.

Объединяя решения для $\cos2x$:

$\cos2x = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$ и $\cos2x = \frac{1-\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $x = \pm\frac{1}{2}\arccos\frac{\sqrt{2}-1}{2} + \pi k, x = \pm\frac{1}{2}\arccos\frac{1-\sqrt{6}}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{\sin6x}{|\sin4x|} = \frac{\cos3x}{\cos x} $

ОДЗ: $|\sin4x| \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi n}{4}$; $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение: $\sin6x \cos x = |\sin4x| \cos3x$.

Используем формулу $\sin6x = 2\sin3x\cos3x$:

$2\sin3x\cos3x\cos x = |\sin4x|\cos3x$

$ \cos3x (2\sin3x\cos x - |\sin4x|) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $\cos3x = 0$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$.

Проверяем ОДЗ. $x \neq \frac{\pi n}{4}$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. Условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ исключает из серии $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$ значения, где $m = 1, 4, 7, ...$ (то есть $m \equiv 1 \pmod 3$).

Оставшиеся решения можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $2\sin3x\cos x - |\sin4x| = 0$.

Преобразуем $2\sin3x\cos x = \sin(3x+x) + \sin(3x-x) = \sin4x + \sin2x$.

Уравнение становится: $\sin4x + \sin2x = |\sin4x|$.

а) Если $\sin4x > 0$, то $\sin4x + \sin2x = \sin4x \implies \sin2x=0 \implies x=\frac{\pi m}{2}$.

Для этих $x$, $4x=2\pi m$, поэтому $\sin4x=0$. Это противоречит условию $\sin4x > 0$. Решений нет.

б) Если $\sin4x < 0$, то $\sin4x + \sin2x = -\sin4x \implies 2\sin4x + \sin2x = 0$.

$2(2\sin2x\cos2x) + \sin2x = 0 \implies \sin2x(4\cos2x + 1) = 0$.

Если $\sin2x=0$, то $\sin4x = 2\sin2x\cos2x = 0$, что противоречит $\sin4x < 0$.

Остается $4\cos2x + 1 = 0 \implies \cos2x = -\frac{1}{4}$.

Проверим условие $\sin4x < 0$.

$\sin4x = 2\sin2x\cos2x = 2\sin2x(-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2}\sin2x$.

Чтобы $\sin4x < 0$, нужно $-\frac{1}{2}\sin2x < 0 \implies \sin2x > 0$.

Из $\cos2x = -1/4$ и $\sin2x > 0$ следует, что угол $2x$ находится во II четверти.

Значит, $2x = \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k$.

$x = \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, x = \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.