Номер 1267, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1267. 1) $ \cos^2 x > \frac{3}{4} $;

2) $ \sin^2 x < \frac{1}{2} $.

1)

Для решения неравенства $\cos^2 x > \frac{3}{4}$ воспользуемся методом понижения степени. Применим тригонометрическую формулу $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} > \frac{3}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(1 + \cos(2x)) > 3$

$2 + 2\cos(2x) > 3$

Перенесем 2 в правую часть:

$2\cos(2x) > 3 - 2$

$2\cos(2x) > 1$

$\cos(2x) > \frac{1}{2}$

Введем новую переменную $t = 2x$. Неравенство примет вид:

$\cos t > \frac{1}{2}$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является совокупность интервалов, которые легко найти на единичной окружности. Значения косинуса (координата по оси x) больше $\frac{1}{2}$ соответствуют дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности функции косинуса, решение для $t$ записывается так:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Для решения неравенства $\sin^2 x < \frac{1}{2}$ также используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в неравенство:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos(2x) < 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\cos(2x) < 0$

Умножим неравенство на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$\cos(2x) > 0$

Сделаем замену $t = 2x$. Получим неравенство:

$\cos t > 0$

Функция косинуса принимает положительные значения в I и IV координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности, решение для $t$ будет:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти решение для $x$:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.