Страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1257. 1) $\sin3x + |\sin x| = \sin2x$;

2) $\cos3x + |\cos x| = \sin2x$.

1) $ \sin3x + |\sin x| = \sin2x $

Данное уравнение содержит модуль $ |\sin x| $. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака $ \sin x $.

Случай 1: $ \sin x \ge 0 $

Это условие выполняется для $ x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\sin x| = \sin x $, и уравнение принимает вид: $ \sin3x + \sin x = \sin2x $ Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = \sin2x $ $ 2\sin2x \cos x = \sin2x $ $ 2\sin2x \cos x - \sin2x = 0 $ $ \sin2x(2\cos x - 1) = 0 $ Это равенство выполняется, если:
а) $ \sin2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
б) $ 2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни, удовлетворяющие условию $ \sin x \ge 0 $:
Из серии $ x = \frac{\pi n}{2} $: подходят $ x = \pi k $ (при четных $ n=2k $) и $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $ (при $ n=1, 5, 9, ... $ или $ n=4k+1 $).
Из серии $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m $:
- $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m $: $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 $. Корень подходит.
- $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m $: $ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 $. Корень не подходит.

Случай 2: $ \sin x < 0 $

Это условие выполняется для $ x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\sin x| = -\sin x $, и уравнение принимает вид: $ \sin3x - \sin x = \sin2x $ Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = \sin2x $ $ 2\cos2x \sin x = 2\sin x \cos x $ $ 2\sin x(\cos2x - \cos x) = 0 $ Поскольку в этом случае $ \sin x \ne 0 $, мы можем разделить обе части на $ 2\sin x $: $ \cos2x = \cos x $ Это равенство имеет решения: $ 2x = \pm x + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
а) $ 2x = x + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n $. В этих точках $ \sin x = 0 $, что не удовлетворяет условию $ \sin x < 0 $.
б) $ 2x = -x + 2\pi n \Rightarrow 3x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3} $.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $ \sin x < 0 $:
При $ n=1, x = \frac{2\pi}{3} $, $ \sin x > 0 $. Не подходит.
При $ n=2, x = \frac{4\pi}{3} $, $ \sin x < 0 $. Подходит. Серия корней $ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $ или $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k $.
При $ n=3, x = 2\pi $, $ \sin x = 0 $. Не подходит. Цикл повторяется.

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $ x = \pi k $; $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $; $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $; $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

---

2) $ \cos3x + |\cos x| = \sin2x $

Раскроем модуль $ |\cos x| $, рассмотрев два случая.

Случай 1: $ \cos x \ge 0 $

Это условие выполняется для $ x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\cos x| = \cos x $, и уравнение принимает вид: $ \cos3x + \cos x = \sin2x $ Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = \sin2x $ $ 2\cos2x \cos x = 2\sin x \cos x $ $ 2\cos x(\cos2x - \sin x) = 0 $
а) $ \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют условию $ \cos x \ge 0 $.
б) $ \cos2x - \sin x = 0 \Rightarrow \cos2x = \sin x $. Используя формулу $ \cos2x = 1 - 2\sin^2x $: $ 1 - 2\sin^2x = \sin x $ $ 2\sin^2x + \sin x - 1 = 0 $ Пусть $ y = \sin x $, тогда $ 2y^2 + y - 1 = 0 $. Корни этого квадратного уравнения: $ y_1 = -1, y_2 = \frac{1}{2} $.
- $ \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m $. Здесь $ \cos x = 0 $, корень подходит. Эта серия является частью серии $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $.
- $ \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m $ или $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $. Проверяем условие $ \cos x \ge 0 $. Для $ x = \frac{\pi}{6} $, $ \cos x > 0 $, корень подходит. Для $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ \cos x < 0 $, корень не подходит.

Случай 2: $ \cos x < 0 $

Это условие выполняется для $ x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ |\cos x| = -\cos x $, и уравнение принимает вид: $ \cos3x - \cos x = \sin2x $ Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $: $ -2\sin2x \sin x = \sin2x $ $ \sin2x(1 + 2\sin x) = 0 $
а) $ \sin2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} $. Условию $ \cos x < 0 $ удовлетворяет только $ x = \pi + 2\pi m $.
б) $ 1 + 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} $. Решения: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m $ и $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m $. Условию $ \cos x < 0 $ удовлетворяет только $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m $.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $; $ x = \pi + 2\pi k $; $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $; $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

1258. 1) $\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\text{ctg} x - \sin 2x} = \text{tg} 2x;$

2) $\frac{\text{ctg} x - \text{tg} x}{\cos x + 3\cos 2x} = \text{ctg} 2x;$

3) $\frac{\cos 3x - \sin x}{\cos 5x - \sin 3x} = 1;$

4) $\frac{\cos 3x + \sin 5x}{\cos x + \sin 3x} = -1.$

1) $\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\operatorname{ctg} x - \sin 2x} = \operatorname{tg} 2x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. $\operatorname{ctg} x$ определен $\implies \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{tg} 2x$ определен $\implies \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\operatorname{ctg} x - \sin 2x \neq 0$.

Преобразуем знаменатель левой части уравнения:
$\operatorname{ctg} x - \sin 2x = \frac{\cos x}{\sin x} - 2\sin x \cos x = \frac{\cos x - 2\sin^2 x \cos x}{\sin x} = \frac{\cos x(1-2\sin^2 x)}{\sin x} = \frac{\cos x \cos 2x}{\sin x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\frac{\cos x \cos 2x}{\sin x}} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$
$\frac{\sin x (2\cos x + \sin^2 x)}{\cos x \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos 2x}$

С учетом ОДЗ ($\sin x \neq 0$ и $\cos 2x \neq 0$), мы можем сократить дробь на $\frac{\sin x}{\cos 2x}$:
$\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\cos x} = 2\cos x$
Из ОДЗ следует, что $\cos x \neq 0$, иначе $\sin^2 x = 1$, и $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = -1$, а $\operatorname{tg} 2x$ был бы определен, но $\sin x = \pm 1$ при $\cos x=0$, что противоречит ОДЗ 1. Хотя, если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, тогда $\sin 2x = 0$ и $\operatorname{ctg} x = 0$, знаменатель равен 0. Итак, $\cos x \neq 0$.
Умножим обе части на $\cos x$:
$2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^2 x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$2\cos x + 1 - \cos^2 x = 2\cos^2 x$
$3\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$
$t_1 = \frac{2+4}{6} = 1$, $t_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$.

1. $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\sin x = 0$, что не входит в ОДЗ. Эти корни посторонние.
2. $\cos x = -1/3$. Это удовлетворяет всем условиям ОДЗ, так как $\sin x \neq 0$, $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9}-1 = -\frac{7}{9} \neq 0$, и знаменатель $\frac{\cos x \cos 2x}{\sin x} \neq 0$.
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x}{\cos x + 3\cos 2x} = \operatorname{ctg} 2x$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, $\cos x \neq 0$ (т.е. $\sin 2x \neq 0$), $\operatorname{ctg} 2x$ определен (т.е. $\sin 2x \neq 0$), и знаменатель $\cos x + 3\cos 2x \neq 0$.
Упростим числитель левой части:
$\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\operatorname{ctg} 2x$.
Подставим в уравнение:
$\frac{2\operatorname{ctg} 2x}{\cos x + 3\cos 2x} = \operatorname{ctg} 2x$
$\frac{2\operatorname{ctg} 2x}{\cos x + 3\cos 2x} - \operatorname{ctg} 2x = 0$
$\operatorname{ctg} 2x \left(\frac{2}{\cos x + 3\cos 2x} - 1\right) = 0$

Рассмотрим два случая:
1. $\operatorname{ctg} 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим ОДЗ. $\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k \neq 0$. Знаменатель $\cos x + 3\cos 2x = \cos x + 3 \cdot 0 = \cos x$. Для $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $\cos x \neq 0$. Значит, эти корни подходят.
2. $\frac{2}{\cos x + 3\cos 2x} - 1 = 0 \implies \cos x + 3\cos 2x = 2$.
Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$\cos x + 3(2\cos^2 x - 1) = 2$
$6\cos^2 x + \cos x - 3 = 2$
$6\cos^2 x + \cos x - 5 = 0$
Замена $t = \cos x$: $6t^2 + t - 5 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{-1+11}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
$t_2 = \frac{-1-11}{12} = -1$.
а) $\cos x = 5/6$. Это удовлетворяет ОДЗ ($\sin 2x \neq 0$ и $\cos x + 3\cos 2x = 2 \neq 0$).
$x = \pm \arccos(\frac{5}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\sin x = 0$, что не входит в ОДЗ. Корни посторонние.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos(\frac{5}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{\cos 3x - \sin x}{\cos 5x - \sin 3x} = 1$

ОДЗ: $\cos 5x - \sin 3x \neq 0$.
При условии ОДЗ, уравнение равносильно:
$\cos 3x - \sin x = \cos 5x - \sin 3x$
$\cos 3x - \cos 5x = \sin x - \sin 3x$
Применим формулы разности косинусов и синусов:
$-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2} = 2\cos\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}$
$-2\sin(4x)\sin(-x) = 2\cos(2x)\sin(-x)$
$2\sin(4x)\sin x = -2\cos(2x)\sin x$
$2\sin x (\sin 4x + \cos 2x) = 0$
$2\sin x (2\sin 2x \cos 2x + \cos 2x) = 0$
$2\sin x \cos 2x (2\sin 2x + 1) = 0$

Получаем три случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos(5\pi n) - \sin(3\pi n) = (-1)^{5n} - 0 = (-1)^n \neq 0$. Корни подходят.
2. $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos 5x - \sin 3x = \cos 5x - \cos(\frac{\pi}{2}-3x) = -2\sin(x+\frac{\pi}{4})\sin(4x-\frac{\pi}{4})$.
Подставим $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$: $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2})$. Это выражение равно 0, если $k$ - нечетное. Значит, серия корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2m+1)\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + m\pi$ не подходит. Подходят корни при четных $k=2m$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
3. $2\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -1/2$.
$2x = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Эти корни удовлетворяют ОДЗ (проверка показывает, что знаменатель не обращается в ноль).

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\cos 3x + \sin 5x}{\cos x + \sin 3x} = -1$

ОДЗ: $\cos x + \sin 3x \neq 0$.
При условии ОДЗ, уравнение равносильно:
$\cos 3x + \sin 5x = -(\cos x + \sin 3x)$
$\cos 3x + \cos x + \sin 5x + \sin 3x = 0$
Применим формулы суммы синусов и косинусов:
$2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 0$
$2\cos 2x \cos x + 2\sin 4x \cos x = 0$
$2\cos x (\cos 2x + \sin 4x) = 0$
$2\cos x (\cos 2x + 2\sin 2x \cos 2x) = 0$
$2\cos x \cos 2x (1 + 2\sin 2x) = 0$

Получаем три случая:
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos x + \sin 3x = 0 + \sin(3(\frac{\pi}{2}+\pi n)) = \sin(\frac{3\pi}{2}+3\pi n) = -(-1)^n \neq 0$. Корни подходят.
2. $\cos 2x = 0 \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos x + \sin 3x = \cos x + \sin(x+2x) = \cos x + \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x$. При $\cos 2x=0$, знаменатель равен $\cos x + \cos x \sin 2x = \cos x(1+\sin 2x)$. Для $x=\frac{\pi}{4}+\pi m$ (k - четное), $\cos x \neq 0$ и $\sin 2x = 1$, так что $1+\sin 2x = 2 \neq 0$. Для $x=\frac{3\pi}{4}+\pi m$ (k - нечетное), $\cos x \neq 0$ и $\sin 2x = -1$, так что $1+\sin 2x = 0$. Значит, серия $x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$ не подходит. Подходят корни $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
3. $1 + 2\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = -1/2$.
$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Эти корни удовлетворяют ОДЗ (знаменатель не равен нулю).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

1259. 1) $\sqrt{2\cos x - \sin x} = \operatorname{ctg} x \sqrt{\sin x}$;

2) $\sqrt{6\sin x \cos 2x} = \sqrt{-7\sin 2x}$;

3) $\sqrt{5\operatorname{tg} x + 10} = \frac{5}{2}\sin x + \frac{1}{\cos x}$;

4) $\sqrt{12 - 6\sqrt{2}\operatorname{tg} x} = 3\sin x - \frac{\sqrt{2}}{\cos x}$.

1) $\sqrt{2\cos x - \sin x} = \operatorname{ctg} x \sqrt{\sin x}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2\cos x - \sin x \ge 0$.
2. Выражение под вторым корнем должно быть неотрицательным: $\sin x \ge 0$.
3. Аргумент котангенса должен быть таким, чтобы функция была определена, т.е. $\sin x \ne 0$.
Из (2) и (3) получаем $\sin x > 0$.
Так как правая часть уравнения $\operatorname{ctg} x \sqrt{\sin x}$ должна быть неотрицательна (поскольку равна корню), и $\sqrt{\sin x} > 0$, то $\operatorname{ctg} x \ge 0$. Это означает, что $\cos x \ge 0$. Так как $\sin x > 0$ и $\cos x \ge 0$, то $x$ находится в первой четверти (включая точку $\pi/2$, но $\sin(\pi/2)=1 \ne 0$ и $\cos(\pi/2)=0$). Если $\cos x = 0$, то $\operatorname{ctg} x = 0$, и уравнение принимает вид $\sqrt{2(0)-1}=0$, что неверно. Следовательно, $\cos x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения: $\operatorname{ctg} x \sqrt{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x}\sqrt{\sin x} = \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$.
Уравнение принимает вид: $\sqrt{2\cos x - \sin x} = \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$.
Возведем обе части в квадрат: $2\cos x - \sin x = \frac{\cos^2 x}{\sin x}$.
Умножим обе части на $\sin x$ (так как $\sin x \ne 0$): $2\sin x \cos x - \sin^2 x = \cos^2 x$.
$2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$.
Используя формулу синуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество, получаем: $\sin(2x) = 1$.
Решения этого уравнения: $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из найденных решений удовлетворяют ОДЗ ($\sin x > 0$ и $\cos x > 0$).
- Если $k$ — четное число, $k=2n$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Эти решения подходят.
- Если $k$ — нечетное число, $k=2n+1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Эти решения не удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{6\sin x \cos 2x} = \sqrt{-7\sin 2x}$

ОДЗ: 1. $6\sin x \cos 2x \ge 0$.
2. $-7\sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \le 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $6\sin x \cos 2x = -7\sin 2x$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $6\sin x \cos 2x = -7(2\sin x \cos x)$.
$6\sin x \cos 2x = -14\sin x \cos x$.
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель: $6\sin x \cos 2x + 14\sin x \cos x = 0$.
$2\sin x (3\cos 2x + 7\cos x) = 0$.
Отсюда получаем два случая:
а) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $3\cos 2x + 7\cos x = 0$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $3(2\cos^2 x - 1) + 7\cos x = 0$.
$6\cos^2 x + 7\cos x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $6t^2 + 7t - 3 = 0$.
$D = 7^2 - 4(6)(-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$t_{1,2} = \frac{-7 \pm 11}{12}$.
$t_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
Итак, $\cos x = \frac{1}{3}$.

Проверим найденные серии решений по ОДЗ.
- Для $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$: $\sin x = 0$, $\sin 2x = \sin(2\pi k) = 0$. Оба условия ОДЗ ($0 \ge 0$ и $0 \le 0$) выполнены. Эта серия решений подходит.
- Для $\cos x = \frac{1}{3}$: Проверим условие $\sin 2x \le 0$: $\sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{2}{3}\sin x$. Неравенство $\frac{2}{3}\sin x \le 0$ означает, что $\sin x \le 0$. Проверим условие $6\sin x \cos 2x \ge 0$: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$. Неравенство $6\sin x (-\frac{7}{9}) \ge 0$ означает $-\frac{14}{3}\sin x \ge 0$, что также сводится к $\sin x \le 0$. Оба условия ОДЗ требуют, чтобы при $\cos x = \frac{1}{3}$ выполнялось $\sin x \le 0$. Это соответствует углам в IV четверти. Решения уравнения $\cos x = \frac{1}{3}$ имеют вид $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Условию $\sin x \le 0$ удовлетворяет серия $x = -\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, \quad x = -\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{5\operatorname{tg} x + 10} = \frac{5}{2}\sin x + \frac{1}{\cos x}$

ОДЗ: 1. $5\operatorname{tg} x + 10 \ge 0 \implies \operatorname{tg} x \ge -2$.
2. $\cos x \ne 0$.
3. Правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{5}{2}\sin x + \frac{1}{\cos x} = \frac{5\sin x \cos x + 2}{2\cos x} \ge 0$.

Приведем правую часть к общему знаменателю и возведем обе части уравнения в квадрат: $5\frac{\sin x}{\cos x} + 10 = \left(\frac{5\sin x \cos x + 2}{2\cos x}\right)^2$.
$\frac{5\sin x + 10\cos x}{\cos x} = \frac{(5\sin x \cos x + 2)^2}{4\cos^2 x}$.
Умножим на $4\cos^2 x$: $4\cos x (5\sin x + 10\cos x) = (5\sin x \cos x + 2)^2$.
$20\sin x \cos x + 40\cos^2 x = 25\sin^2 x \cos^2 x + 20\sin x \cos x + 4$.
$40\cos^2 x = 25\sin^2 x \cos^2 x + 4$.
Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $40\cos^2 x = 25(1-\cos^2 x)\cos^2 x + 4$.
Пусть $t = \cos^2 x$, $0 \le t < 1$: $40t = 25t(1-t) + 4 \implies 40t = 25t - 25t^2 + 4 \implies 25t^2 + 15t - 4 = 0$.
$D = 15^2 - 4(25)(-4) = 225 + 400 = 625 = 25^2$.
$t = \frac{-15 \pm 25}{50}$. $t_1 = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$, $t_2 = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5}$ (не подходит).
Итак, $\cos^2 x = \frac{1}{5}$, откуда $\cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Рассмотрим случаи и проверим ОДЗ.
- $\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ($\sin x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$). Если $\sin x = \frac{2}{\sqrt{5}}$ (I четверть), то $\operatorname{tg} x = 2$. ОДЗ: $2 \ge -2$ (верно). Правая часть: $\frac{5(2/5)+2}{2/\sqrt{5}} > 0$ (верно). Это решение: $x = \arctan(2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Если $\sin x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ (IV четверть), то $\operatorname{tg} x = -2$. ОДЗ: $-2 \ge -2$ (верно). Правая часть: $\frac{5(-2/5)+2}{2/\sqrt{5}} = 0$ (верно). Это решение: $x = \arctan(-2) + 2\pi k = -\arctan(2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ ($\sin x = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$). Если $\sin x = \frac{2}{\sqrt{5}}$ (II четверть), то $\operatorname{tg} x = -2$. ОДЗ: $-2 \ge -2$ (верно). Правая часть: $\frac{5(-2/5)+2}{-2/\sqrt{5}} = 0$ (верно). Это решение: $x = \arctan(-2) + \pi + 2\pi k = \pi - \arctan(2) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Если $\sin x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ (III четверть), то $\operatorname{tg} x = 2$. ОДЗ: $2 \ge -2$ (верно). Правая часть: $\frac{5(2/5)+2}{-2/\sqrt{5}} < 0$ (неверно). Это не решение.

Решения для $\operatorname{tg} x = -2$ можно объединить: $x = -\arctan(2) + 2\pi k$ и $x = -\arctan(2) + \pi + 2\pi k$ объединяются в серию $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(2) + 2\pi k, \quad x = -\arctan(2) + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{12 - 6\sqrt{2}\operatorname{tg} x} = 3\sin x - \frac{\sqrt{2}}{\cos x}$

ОДЗ: 1. $12 - 6\sqrt{2}\operatorname{tg} x \ge 0 \implies \operatorname{tg} x \le \frac{12}{6\sqrt{2}} \implies \operatorname{tg} x \le \sqrt{2}$.
2. $\cos x \ne 0$.
3. Правая часть неотрицательна: $3\sin x - \frac{\sqrt{2}}{\cos x} = \frac{3\sin x \cos x - \sqrt{2}}{\cos x} \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат: $12 - 6\sqrt{2}\frac{\sin x}{\cos x} = \left(\frac{3\sin x \cos x - \sqrt{2}}{\cos x}\right)^2$.
$\frac{12\cos x - 6\sqrt{2}\sin x}{\cos x} = \frac{(3\sin x \cos x - \sqrt{2})^2}{\cos^2 x}$.
Умножим на $\cos^2 x$: $\cos x(12\cos x - 6\sqrt{2}\sin x) = (3\sin x \cos x - \sqrt{2})^2$.
$12\cos^2 x - 6\sqrt{2}\sin x \cos x = 9\sin^2 x \cos^2 x - 6\sqrt{2}\sin x \cos x + 2$.
$12\cos^2 x = 9\sin^2 x \cos^2 x + 2$.
Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $12\cos^2 x = 9(1-\cos^2 x)\cos^2 x + 2$.
Пусть $t = \cos^2 x$, $0 \le t < 1$: $12t = 9t(1-t) + 2 \implies 12t = 9t - 9t^2 + 2 \implies 9t^2 + 3t - 2 = 0$.
$D = 3^2 - 4(9)(-2) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
$t = \frac{-3 \pm 9}{18}$. $t_1 = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$ (не подходит).
Итак, $\cos^2 x = \frac{1}{3}$, откуда $\cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим случаи и проверим ОДЗ.
- $\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ($\sin x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$). Правая часть $\ge 0 \implies 3\sin x \cos x - \sqrt{2} \ge 0$. Если $\sin x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ (I четверть), то $\operatorname{tg} x = \sqrt{2}$. ОДЗ: $\operatorname{tg} x \le \sqrt{2}$ (верно). Правая часть: $3\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (верно). Это решение: $x = \arctan(\sqrt{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Если $\sin x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$ (IV четверть), то $\operatorname{tg} x = -\sqrt{2}$. ОДЗ: $\operatorname{tg} x \le \sqrt{2}$ (верно). Правая часть: $3(-\sqrt{\frac{2}{3}})\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{2} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} < 0$ (неверно). Это не решение.
- $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ ($\sin x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$). Правая часть $\ge 0 \implies 3\sin x \cos x - \sqrt{2} \le 0$. Если $\sin x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ (II четверть), то $\operatorname{tg} x = -\sqrt{2}$. ОДЗ: $\operatorname{tg} x \le \sqrt{2}$ (верно). Правая часть: $3\sqrt{\frac{2}{3}}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) - \sqrt{2} = -\sqrt{2}-\sqrt{2} = -2\sqrt{2} \le 0$ (верно). Это решение: $x = \pi - \arctan(\sqrt{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Если $\sin x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$ (III четверть), то $\operatorname{tg} x = \sqrt{2}$. ОДЗ: $\operatorname{tg} x \le \sqrt{2}$ (верно). Правая часть: $3(-\sqrt{\frac{2}{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}}) - \sqrt{2} = \sqrt{2}-\sqrt{2}=0 \le 0$ (верно). Это решение: $x = \pi + \arctan(\sqrt{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\sqrt{2}) + 2\pi k, \quad x = \pi - \arctan(\sqrt{2}) + 2\pi k, \quad x = \pi + \arctan(\sqrt{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

1260. 1) $\frac{(\sqrt{3}+1)\sin3x+\sin5x}{|\sin x|}=\sqrt{3};$

2) $\frac{(\sqrt{3}+1)\cos3x-\cos5x}{|\cos x|}=\sqrt{3};$

3) $\frac{2\sin3x}{\sin x}=\frac{|\cos6x|}{\cos2x};$

4) $\frac{\sin6x}{|\sin4x|}=\frac{\cos3x}{\cos x}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{(\sqrt{3} + 1)\sin3x + \sin5x}{|\sin x|} = \sqrt{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $|\sin x| \neq 0$, что означает $\sin x \neq 0$, следовательно, $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Перенесем знаменатель в правую часть:

$(\sqrt{3} + 1)\sin3x + \sin5x = \sqrt{3}|\sin x|$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$\sqrt{3}\sin3x + \sin3x + \sin5x = \sqrt{3}|\sin x|$

Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению $\sin3x + \sin5x$:

$\sin5x + \sin3x = 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin4x\cos x$

Подставим это в уравнение:

$\sqrt{3}\sin3x + 2\sin4x\cos x = \sqrt{3}|\sin x|$

Перенесем $\sqrt{3}|\sin x|$ в левую часть:

$\sqrt{3}(\sin3x - |\sin x|) + 2\sin4x\cos x = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$.

Случай 1: $\sin x > 0$.

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}(\sin3x - \sin x) + 2\sin4x\cos x = 0$

Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin3x - \sin x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2\cos2x\sin x$

Подставляем в уравнение:

$\sqrt{3}(2\cos2x\sin x) + 2(2\sin2x\cos2x)\cos x = 0$

$2\sqrt{3}\cos2x\sin x + 4(2\sin x\cos x)\cos2x\cos x = 0$

$2\sin x\cos2x(\sqrt{3} + 4\cos^2 x) = 0$

По ОДЗ $\sin x \neq 0$. Выражение $\sqrt{3} + 4\cos^2 x$ всегда положительно. Следовательно, остается только $\cos2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Выберем те решения, для которых $\sin x > 0$. Это соответствует I и II координатным четвертям.

При $m=0, x = \frac{\pi}{4}$. $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Решение подходит.

При $m=1, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Решение подходит.

При $m=2, x = \frac{5\pi}{4}$. $\sin(\frac{5\pi}{4}) < 0$. Не подходит.

При $m=3, x = \frac{7\pi}{4}$. $\sin(\frac{7\pi}{4}) < 0$. Не подходит.

Таким образом, решения для этого случая: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x < 0$.

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}(\sin3x + \sin x) + 2\sin4x\cos x = 0$

Применяя формулу суммы синусов:

$\sqrt{3}(2\sin2x\cos x) + 2(2\sin2x\cos2x)\cos x = 0$

$2\cos x\sin2x(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

$2\cos x(2\sin x\cos x)(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

$4\sin x\cos^2 x(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

Так как $\sin x \neq 0$, то $\cos^2 x(\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$. Это дает два варианта:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m$. С учетом $\sin x < 0$, получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} + 2\cos2x = 0 \implies \cos2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения, для которых $\sin x < 0$ (III и IV четверти).

Из серии $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m$: $x = \frac{17\pi}{12} + 2\pi k$ (III четверть).

Из серии $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi m$: $x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k = \frac{19\pi}{12} + 2\pi k$ (IV четверть).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi k, x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{(\sqrt{3} + 1)\cos3x - \cos5x}{|\cos x|} = \sqrt{3} $

ОДЗ: $|\cos x| \neq 0 \implies \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение:

$(\sqrt{3} + 1)\cos3x - \cos5x = \sqrt{3}|\cos x|$

$\sqrt{3}\cos3x + \cos3x - \cos5x = \sqrt{3}|\cos x|$

$\sqrt{3}(\cos3x - |\cos x|) + (\cos3x - \cos5x) = 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos3x - \cos5x = -2\sin4x\sin(-x) = 2\sin4x\sin x$

Получаем: $\sqrt{3}(\cos3x - |\cos x|) + 2\sin4x\sin x = 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\cos x > 0$.

$|\cos x| = \cos x$. Уравнение: $\sqrt{3}(\cos3x - \cos x) + 2\sin4x\sin x = 0$.

$\sqrt{3}(-2\sin2x\sin x) + 2(2\sin2x\cos2x)\sin x = 0$

$-2\sqrt{3}\sin2x\sin x + 4\sin2x\cos2x\sin x = 0$

$2\sin x\sin2x(-\sqrt{3} + 2\cos2x) = 0$

Это дает три множителя:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi m$. С учетом $\cos x > 0$, получаем $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin2x = 0 \implies x = \frac{\pi m}{2}$. Эта серия включает предыдущую, а также значения, исключенные ОДЗ.

3) $-\sqrt{3} + 2\cos2x = 0 \implies \cos2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi m$.

Выбираем решения с $\cos x > 0$: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x < 0$.

$|\cos x| = -\cos x$. Уравнение: $\sqrt{3}(\cos3x + \cos x) + 2\sin4x\sin x = 0$.

$\sqrt{3}(2\cos2x\cos x) + 2(4\sin x\cos x\cos2x)\sin x = 0$

$2\cos x\cos2x(\sqrt{3} + 4\sin^2 x) = 0$

По ОДЗ $\cos x \neq 0$. Выражение $\sqrt{3} + 4\sin^2 x$ всегда положительно. Остается $\cos2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$.

Выбираем решения с $\cos x < 0$ (II и III четверти).

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \pm\frac{\pi}{12} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{2\sin3x}{\sin x} = \frac{|\cos6x|}{\cos2x} $

ОДЗ: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n$; $\cos2x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем левую часть, используя формулу тройного угла $\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$:

$\frac{2(3\sin x - 4\sin^3 x)}{\sin x} = 2(3-4\sin^2 x) = 2(3-4\frac{1-\cos2x}{2}) = 2(3-2+2\cos2x) = 2(1+2\cos2x)$.

Уравнение принимает вид:

$2(1+2\cos2x) = \frac{|\cos6x|}{\cos2x}$

Используем формулу $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$. Пусть $\alpha=2x$. Тогда $\cos6x = 4\cos^3(2x)-3\cos(2x)$.

$2(1+2\cos2x) = \frac{|4\cos^3(2x)-3\cos(2x)|}{\cos2x} = \frac{|\cos2x|\cdot|4\cos^2(2x)-3|}{\cos2x}$

Обозначим $u = \cos2x$. По ОДЗ $u \neq 0$.

$2(1+2u) = \frac{|u|\cdot|4u^2-3|}{u}$

Случай 1: $u = \cos2x > 0$.

$|u|=u$. Уравнение: $2(1+2u) = |4u^2-3|$.

а) $4u^2-3 \ge 0 \implies u^2 \ge 3/4 \implies u \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2(1+2u) = 4u^2-3 \implies 4u^2-4u-5=0$. $u=\frac{1\pm\sqrt{6}}{2}$. Ни один корень не удовлетворяет условию $u \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $4u^2-3 < 0 \implies 0 < u < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2(1+2u) = -(4u^2-3) \implies 4u^2+4u-1=0$. $u=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}$. Условию $0 < u < \frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяет только $u = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Итак, $\cos2x = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Случай 2: $u = \cos2x < 0$.

$|u|=-u$. Уравнение: $2(1+2u) = -|4u^2-3|$.

Левая часть $2(1+2u)$ должна быть $\le 0$, что дает $u \le -1/2$. Так что ищем решения в $(-1, -1/2]$.

а) $4u^2-3 \ge 0 \implies u^2 \ge 3/4 \implies u \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2(1+2u) = -(4u^2-3) \implies 4u^2+4u-1=0$. $u=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}$. Ни один корень не удовлетворяет условию $u \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $4u^2-3 < 0 \implies -\frac{\sqrt{3}}{2} < u \le -1/2$.

$2(1+2u) = 4u^2-3 \implies 4u^2-4u-5=0$. $u=\frac{1\pm\sqrt{6}}{2}$. Условию $-\frac{\sqrt{3}}{2} < u \le -1/2$ удовлетворяет $u=\frac{1-\sqrt{6}}{2}$.

Итак, $\cos2x = \frac{1-\sqrt{6}}{2}$.

Объединяя решения для $\cos2x$:

$\cos2x = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$ и $\cos2x = \frac{1-\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $x = \pm\frac{1}{2}\arccos\frac{\sqrt{2}-1}{2} + \pi k, x = \pm\frac{1}{2}\arccos\frac{1-\sqrt{6}}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{\sin6x}{|\sin4x|} = \frac{\cos3x}{\cos x} $

ОДЗ: $|\sin4x| \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi n}{4}$; $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение: $\sin6x \cos x = |\sin4x| \cos3x$.

Используем формулу $\sin6x = 2\sin3x\cos3x$:

$2\sin3x\cos3x\cos x = |\sin4x|\cos3x$

$ \cos3x (2\sin3x\cos x - |\sin4x|) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $\cos3x = 0$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$.

Проверяем ОДЗ. $x \neq \frac{\pi n}{4}$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. Условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ исключает из серии $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}$ значения, где $m = 1, 4, 7, ...$ (то есть $m \equiv 1 \pmod 3$).

Оставшиеся решения можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $2\sin3x\cos x - |\sin4x| = 0$.

Преобразуем $2\sin3x\cos x = \sin(3x+x) + \sin(3x-x) = \sin4x + \sin2x$.

Уравнение становится: $\sin4x + \sin2x = |\sin4x|$.

а) Если $\sin4x > 0$, то $\sin4x + \sin2x = \sin4x \implies \sin2x=0 \implies x=\frac{\pi m}{2}$.

Для этих $x$, $4x=2\pi m$, поэтому $\sin4x=0$. Это противоречит условию $\sin4x > 0$. Решений нет.

б) Если $\sin4x < 0$, то $\sin4x + \sin2x = -\sin4x \implies 2\sin4x + \sin2x = 0$.

$2(2\sin2x\cos2x) + \sin2x = 0 \implies \sin2x(4\cos2x + 1) = 0$.

Если $\sin2x=0$, то $\sin4x = 2\sin2x\cos2x = 0$, что противоречит $\sin4x < 0$.

Остается $4\cos2x + 1 = 0 \implies \cos2x = -\frac{1}{4}$.

Проверим условие $\sin4x < 0$.

$\sin4x = 2\sin2x\cos2x = 2\sin2x(-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2}\sin2x$.

Чтобы $\sin4x < 0$, нужно $-\frac{1}{2}\sin2x < 0 \implies \sin2x > 0$.

Из $\cos2x = -1/4$ и $\sin2x > 0$ следует, что угол $2x$ находится во II четверти.

Значит, $2x = \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k$.

$x = \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, x = \frac{1}{2}\arccos(-\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решить систему уравнений (1261—1264).

1261. 1) $ \begin{cases} \sin y \cos y = \frac{1}{2}, \\ \sin 2x + \sin 2y = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x + \sin y = 1, \\ \cos x - \cos y = \sqrt{3}. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sin y \cos y = \frac{1}{2} \\\sin 2x + \sin 2y = 0\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Умножим обе части первого уравнения на 2:

$2 \sin y \cos y = 1$

Отсюда получаем:

$\sin(2y) = 1$

Решим это уравнение относительно $y$:

$2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$y = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим найденное значение $\sin(2y) = 1$ во второе уравнение системы:

$\sin 2x + 1 = 0$

$\sin 2x = -1$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решения системы имеют вид:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $y = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sin x + \sin y = 1 \\\cos x - \cos y = \sqrt{3}\end{cases}$$

Перепишем систему в виде:

$$\begin{cases}\sin y = 1 - \sin x \\\cos y = \cos x - \sqrt{3}\end{cases}$$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Подставим в него выражения для $\sin y$ и $\cos y$ из системы:

$(1 - \sin x)^2 + (\cos x - \sqrt{3})^2 = 1$

Раскроем скобки:

$1 - 2\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 1$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение упрощается:

$1 - 2\sin x + 1 - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 1$

$5 - 2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x = 1$

$-2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x = -4$

Разделим обе части на -2:

$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2$

Для решения этого уравнения применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Уравнение принимает вид:

$\cos(\frac{\pi}{3})\sin x + \sin(\frac{\pi}{3})\cos x = 1$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$

Отсюда находим $x$:

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $y$. Подставим значения $\sin x$ и $\cos x$ для найденного $x$ в преобразованную систему.

$\sin x = \sin(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos x = \cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем в выражения для $\sin y$ и $\cos y$:

$\sin y = 1 - \sin x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos y = \cos x - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Из системы$$\begin{cases}\sin y = \frac{1}{2} \\\cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$однозначно определяется угол $y$ (с точностью до $2\pi k$). Этим условиям соответствует угол второй четверти:

$y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

1262.

1) $ \begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3}, \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2}, \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{2}. \end{cases} $

1)

Дана система тригонометрических уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{\sin x}{\sin y} = \frac{5}{3} \\ \frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Из уравнений системы выразим $\sin x$ и $\cos x$ через функции от $y$:

$$ \sin x = \frac{5}{3} \sin y $$ $$ \cos x = \frac{1}{3} \cos y $$

Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$ \left(\frac{5}{3} \sin y\right)^2 + \left(\frac{1}{3} \cos y\right)^2 = 1 $$ $$ \frac{25}{9} \sin^2 y + \frac{1}{9} \cos^2 y = 1 $$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 25 \sin^2 y + \cos^2 y = 9 $$

Используем тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$ и подставим его в полученное уравнение:

$$ 25 \sin^2 y + (1 - \sin^2 y) = 9 $$ $$ 24 \sin^2 y + 1 = 9 $$ $$ 24 \sin^2 y = 8 $$ $$ \sin^2 y = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $$

Отсюда находим $\cos^2 y$:

$$ \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

Теперь мы можем найти значения для синусов и косинусов:

$$ \sin y = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$ $$ \cos y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Соответствующие значения для $\sin x$ и $\cos x$:

$$ \sin x = \frac{5}{3} \sin y = \frac{5}{3} \left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pm \frac{5\sqrt{3}}{9} $$ $$ \cos x = \frac{1}{3} \cos y = \frac{1}{3} \left(\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \pm \frac{\sqrt{6}}{9} $$

Из исходных уравнений следует, что $\sin x$ и $\sin y$ имеют одинаковые знаки, и $\cos x$ и $\cos y$ также имеют одинаковые знаки. Это означает, что углы $x$ и $y$ должны находиться в одной и той же координатной четверти (с точностью до полного оборота $2\pi$).

Рассмотрим тангенсы углов $x$ и $y$:

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{5}{3} \sin y}{\frac{1}{3} \cos y} = 5 \frac{\sin y}{\cos y} = 5 \tan y $$

Найдем $\tan^2 y$:

$$ \tan^2 y = \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} $$

Отсюда $\tan y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $\tan x = 5 \tan y = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Так как $x$ и $y$ находятся в одной четверти, знаки их тангенсов должны совпадать. Это условие выполняется. Таким образом, мы можем записать общее решение через арктангенс.

Первая серия решений (когда тангенсы положительны, что соответствует I и III четвертям):

$$ y = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad x = \arctan\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Вторая серия решений (когда тангенсы отрицательны, что соответствует II и IV четвертям):

$$ y = \arctan\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad x = \arctan\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Эти две серии можно объединить в одну запись:

Ответ: $x = \pm \arctan\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, y = \pm \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, при этом знаки в выражениях для $x$ и $y$ выбираются одинаковыми.

2)

Дана система тригонометрических уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = -\frac{1}{2} \end{cases} $$

Эта система напоминает формулы синуса суммы и разности двух углов:

$$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$ $$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $$

Сложим два уравнения системы:

$$ \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ \sin(x+y) = 0 $$

Вычтем второе уравнение системы из первого:

$$ \sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ \sin(x-y) = 1 $$

Теперь мы имеем более простую систему для выражений $(x+y)$ и $(x-y)$:

$$ \begin{cases} \sin(x+y) = 0 \\ \sin(x-y) = 1 \end{cases} $$

Решим каждое из этих уравнений. Из первого уравнения получаем:

$$ x+y = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Из второго уравнения получаем:

$$ x-y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Мы получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = \pi k \\ x-y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases} $$

Чтобы найти $x$, сложим эти два уравнения:

$$ 2x = \pi k + \frac{\pi}{2} + 2\pi n $$ $$ x = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n $$

Чтобы найти $y$, вычтем второе уравнение из первого:

$$ 2y = \pi k - \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \pi k - \frac{\pi}{2} - 2\pi n $$ $$ y = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi n $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n + \frac{\pi k}{2}, y = -\frac{\pi}{4} - \pi n + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

1263. 1) $ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 4\sin x - 2\sin y = 3, \\ 2\cos x - \cos y = 0. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Для упрощения введем новые переменные. Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 1 \\ a^2 + b^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 1 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (1 - a)^2 = \frac{1}{2}$

$a^2 + 1 - 2a + a^2 = \frac{1}{2}$

$2a^2 - 2a + 1 - \frac{1}{2} = 0$

$2a^2 - 2a + \frac{1}{2} = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4a^2 - 4a + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(2a - 1)^2 = 0$

Отсюда находим $a$:

$2a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $b$:

$b = 1 - a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Вернемся к исходным переменным, выполнив обратную замену:

$\sin x = a = \frac{1}{2}$

$\cos y = b = \frac{1}{2}$

Решим каждое из этих простейших тригонометрических уравнений.

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ получаем серию решений для $x$:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos y = \frac{1}{2}$ получаем серию решений для $y$:

$y = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4\sin x - 2\sin y = 3 \\ 2\cos x - \cos y = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $\cos y$ через $\cos x$:

$\cos y = 2\cos x$

Из первого уравнения выразим $\sin y$ через $\sin x$:

$2\sin y = 4\sin x - 3 \implies \sin y = \frac{4\sin x - 3}{2}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и подставим в него полученные выражения для $\sin y$ и $\cos y$:

$\left(\frac{4\sin x - 3}{2}\right)^2 + (2\cos x)^2 = 1$

$\frac{16\sin^2 x - 24\sin x + 9}{4} + 4\cos^2 x = 1$

Умножим обе части уравнения на 4:

$16\sin^2 x - 24\sin x + 9 + 16\cos^2 x = 4$

Сгруппируем слагаемые с $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$:

$16(\sin^2 x + \cos^2 x) - 24\sin x + 9 = 4$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение упрощается:

$16 \cdot 1 - 24\sin x + 9 = 4$

$25 - 24\sin x = 4$

$24\sin x = 21$

$\sin x = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

Теперь найдем $\cos x$ из тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{7}{8}\right)^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{64 - 49}{64} = \frac{15}{64}$

Отсюда $\cos x = \pm \sqrt{\frac{15}{64}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

В этом случае имеем $\sin x = \frac{7}{8}$ и $\cos x = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Найдем соответствующие значения для $y$:

$\sin y = \frac{4\sin x - 3}{2} = \frac{4(\frac{7}{8}) - 3}{2} = \frac{\frac{7}{2} - 3}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

$\cos y = 2\cos x = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Так как $|\frac{\sqrt{15}}{4}| < 1$ ($\sqrt{15} < 4 \iff 15 < 16$), значения корректны.

Решения для этого случая (аргументы $x$ и $y$ находятся в первой четверти):

$x = \arcsin\left(\frac{7}{8}\right) + 2\pi k$

$y = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$

Случай 2: $\cos x = -\frac{\sqrt{15}}{8}$.

В этом случае имеем $\sin x = \frac{7}{8}$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{15}}{8}$.

Найдем значения для $y$:

$\sin y = \frac{4\sin x - 3}{2} = \frac{1}{4}$ (значение то же, что и в первом случае).

$\cos y = 2\cos x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right) = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Решения для этого случая (аргумент $x$ во второй четверти, аргумент $y$ во второй четверти):

$x = \pi - \arcsin\left(\frac{7}{8}\right) + 2\pi k$

$y = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$

Объединяем решения из двух случаев, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left(\arcsin\frac{7}{8} + 2\pi k, \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi n\right)$; $\left(\pi - \arcsin\frac{7}{8} + 2\pi k, \pi - \arcsin\frac{1}{4} + 2\pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

1264. 1) $\begin{cases} \mathrm{ctg}^4 2x + 32\sin^2 y = 55, \\ \frac{1}{\sin^2 2x} - 4\cos y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \mathrm{tg}x + \mathrm{tg}y + \mathrm{tg}x\mathrm{tg}y = 1, \\ \sin 2y - \sqrt{2}\sin x = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \cos 2x - 2\cos^2 y + 2 = 0, \\ \cos x\sqrt{\cos y} = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{1 + \sin x\sin y} = \cos y, \\ 2\mathrm{ctg} x\sin y + \sqrt{3} = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \operatorname{ctg}^4 2x + 32\sin^2 y = 55 \\ \frac{1}{\sin^2 2x} - 4\cos y = 5 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin 2x \neq 0$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Из второго уравнения выразим $\frac{1}{\sin^2 2x}$:

$$ \frac{1}{\sin^2 2x} = 5 + 4\cos y $$

Подставим это в тождество:

$$ 1 + \operatorname{ctg}^2 2x = 5 + 4\cos y $$

$$ \operatorname{ctg}^2 2x = 4 + 4\cos y $$

Теперь подставим полученное выражение для $\operatorname{ctg}^2 2x$ в первое уравнение системы. Первое уравнение можно записать как $(\operatorname{ctg}^2 2x)^2 + 32\sin^2 y = 55$.

$$ (4 + 4\cos y)^2 + 32\sin^2 y = 55 $$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$:

$$ 16(1 + \cos y)^2 + 32(1 - \cos^2 y) = 55 $$

$$ 16(1 + 2\cos y + \cos^2 y) + 32 - 32\cos^2 y = 55 $$

$$ 16 + 32\cos y + 16\cos^2 y + 32 - 32\cos^2 y = 55 $$

$$ -16\cos^2 y + 32\cos y + 48 = 55 $$

$$ 16\cos^2 y - 32\cos y + 7 = 0 $$

Сделаем замену $t = \cos y$, где $|t| \le 1$.

$$ 16t^2 - 32t + 7 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение, находим дискриминант:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 7 = 1024 - 448 = 576 = 24^2$.

$t_{1,2} = \frac{32 \pm 24}{2 \cdot 16} = \frac{32 \pm 24}{32}$.

$t_1 = \frac{32 + 24}{32} = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}$. Этот корень не подходит, так как $\frac{7}{4} > 1$.

$t_2 = \frac{32 - 24}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$. Этот корень подходит.

Итак, $\cos y = \frac{1}{4}$. Отсюда $y = \pm\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $x$. Мы получили, что $\operatorname{ctg}^2 2x = 4 + 4\cos y$.

$$ \operatorname{ctg}^2 2x = 4 + 4\left(\frac{1}{4}\right) = 4 + 1 = 5 $$

$$ \operatorname{ctg} 2x = \pm\sqrt{5} $$

Отсюда $2x = \operatorname{arcctg}(\pm\sqrt{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$$ x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(\pm\sqrt{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $$

Условие ОДЗ $\sin 2x \neq 0$ выполняется, так как если $\sin 2x = 0$, то $\operatorname{ctg} 2x$ не был бы определен.

Ответ: $(\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(\pm\sqrt{5}) + \frac{\pi k}{2}; \pm\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 1 \\ \sin 2y - \sqrt{2}\sin x = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$$ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = 1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y $$

Если $1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \neq 0$, то можно разделить обе части на это выражение:

$$ \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} = 1 $$

Используя формулу тангенса суммы, получаем:

$$ \operatorname{tg}(x+y) = 1 $$

Отсюда $x+y = \frac{\pi}{4} + \pi k$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$. (Заметим, что случай $1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 0$ приводит к системе $\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = 1$ и $\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = 0$, что дает $\operatorname{tg}^2 x = -1$ и не имеет действительных решений).

Из второго уравнения $\sin 2y = 1 + \sqrt{2}\sin x$. Так как $-1 \le \sin 2y \le 1$, то должно выполняться:

$-1 \le 1 + \sqrt{2}\sin x \le 1$.

Это двойное неравенство равносильно $-2 \le \sqrt{2}\sin x \le 0$, откуда $\sin x \le 0$.

Из $x+y = \frac{\pi}{4} + \pi k$ выразим $y = \frac{\pi}{4} - x + \pi k$. Тогда $2y = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k$.

$\sin(2y) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = \cos(2x)$.

Подставим это во второе уравнение:

$$ \cos 2x - \sqrt{2}\sin x = 1 $$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$ (1 - 2\sin^2 x) - \sqrt{2}\sin x = 1 $$

$$ -2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0 $$

$$ \sin x (2\sin x + \sqrt{2}) = 0 $$

Получаем два случая, оба удовлетворяют условию $\sin x \le 0$:

Случай 1: $\sin x = 0$.
Тогда $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
$y = \frac{\pi}{4} - x + \pi k = \frac{\pi}{4} - \pi m + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi(k-m)$. Пусть $p = k-m$, тогда $y = \frac{\pi}{4} + \pi p, p \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos(\pi m) = (-1)^m \neq 0$ (верно), $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi p) \neq 0$ (верно). Это решение подходит.

Случай 2: $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения для $x$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$.
Если $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, то $y = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4} + 2\pi m) + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi(k-2m)$. Для этих значений $y$, $\cos y = 0$, что не входит в ОДЗ.
Если $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, то $y = \frac{\pi}{4} - (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi m) + \pi k = \pi + \pi(k-2m)$. Пусть $p=k-2m+1$, тогда $y = \pi p, p \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi m) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$ (верно), $\cos(\pi p) = (-1)^p \neq 0$ (верно). Это решение подходит.

Ответ: $(\pi m, \frac{\pi}{4} + \pi p)$, $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \pi p)$, где $m, p \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \cos 2x - 2\cos^2 y + 2 = 0 \\ \cos x \sqrt{\cos y} = 0 \end{cases} $$

ОДЗ: $\cos y \ge 0$.

Из второго уравнения следует, что либо $\cos x = 0$, либо $\sqrt{\cos y} = 0$ (то есть $\cos y = 0$).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.
Тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
При этом $\cos 2x = \cos(2(\frac{\pi}{2} + \pi k)) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1$.
Подставим это значение в первое уравнение:
$$ -1 - 2\cos^2 y + 2 = 0 $$
$$ 1 - 2\cos^2 y = 0 $$
$$ \cos^2 y = \frac{1}{2} \implies \cos y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Согласно ОДЗ, $\cos y \ge 0$, поэтому выбираем только $\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Отсюда $y = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Эта пара является решением.

Случай 2: $\cos y = 0$.
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Подставим $\cos y = 0$ в первое уравнение:
$$ \cos 2x - 2(0)^2 + 2 = 0 $$
$$ \cos 2x = -2 $$
Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos 2x| \le 1$.
Следовательно, решения существуют только в первом случае.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{1 + \sin x \sin y} = \cos y \\ 2\operatorname{ctg} x \sin y + \sqrt{3} = 0 \end{cases} $$

ОДЗ: $1 + \sin x \sin y \ge 0$, $\cos y \ge 0$, $\sin x \neq 0$.

Возведем первое уравнение в квадрат (это возможно, так как $\cos y \ge 0$):

$$ 1 + \sin x \sin y = \cos^2 y $$

Используя $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$, получаем:

$$ 1 + \sin x \sin y = 1 - \sin^2 y $$

$$ \sin x \sin y + \sin^2 y = 0 $$

$$ \sin y (\sin x + \sin y) = 0 $$

Отсюда следуют два случая.

Случай А: $\sin y = 0$.
Тогда $y = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Из ОДЗ $\cos y \ge 0$, поэтому $\cos(\pi n) = (-1)^n \ge 0$, что возможно только при четных $n$. Пусть $n=2m$, тогда $y = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Подставим $\sin y = 0$ во второе уравнение системы:
$$ 2\operatorname{ctg} x \cdot 0 + \sqrt{3} = 0 \implies \sqrt{3} = 0 $$
Получили противоречие. Значит, этот случай не дает решений.

Случай Б: $\sin x + \sin y = 0 \implies \sin y = -\sin x$.
Проверим ОДЗ: $1 + \sin x \sin y = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \ge 0$ (верно для любого $x$). Также $\sin x \neq 0$, иначе $\sin y = 0$, что мы уже рассмотрели.
Подставим $\sin y = -\sin x$ во второе уравнение:
$$ 2 \frac{\cos x}{\sin x} (-\sin x) + \sqrt{3} = 0 $$
$$ -2\cos x + \sqrt{3} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Теперь вернемся к первому уравнению с учетом наших находок: $\sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos y$, что равносильно $\sqrt{\cos^2 x} = \cos y$, или $|\cos x| = \cos y$.
Так как мы нашли $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то получаем $\cos y = |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это согласуется с ОДЗ $\cos y \ge 0$.
Теперь у нас есть система для нахождения $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin y = -\sin x \end{cases} $$

Из $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим два подслучая для $x$.

1. Если $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, то $\sin x = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Тогда $\sin y = -\sin x = -\frac{1}{2}$.
Имеем систему для $y$: $\cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = -\frac{1}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $y$ в IV четверти, то есть $y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, то $\sin x = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Тогда $\sin y = -\sin x = \frac{1}{2}$.
Имеем систему для $y$: $\cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin y = \frac{1}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $y$ в I четверти, то есть $y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n)$, $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Решить неравенство (1265–1267).

1265.

1) $2\cos^2x + \sin x - 1 < 0;$

2) $2\sin^2x - 5\cos x + 1 > 0.$

1) $2\cos^2x + \sin x - 1 < 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы привести неравенство к одной функции:

$2(1 - \sin^2x) + \sin x - 1 < 0$

$2 - 2\sin^2x + \sin x - 1 < 0$

$-2\sin^2x + \sin x + 1 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$2\sin^2x - \sin x - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$2t^2 - t - 1 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $2t^2 - t - 1 > 0$ выполняется при $t < t_1$ или $t > t_2$.

Получаем совокупность неравенств: $t < -\frac{1}{2}$ или $t > 1$.

Вернемся к замене $t = \sin x$ и учтем ограничение $-1 \le \sin x \le 1$.

1. $\sin x > 1$ - это неравенство не имеет решений.

2. $\sin x < -\frac{1}{2}$

Решим это неравенство с помощью единичной окружности. Найдем значения $x$, для которых $\sin x = -\frac{1}{2}$. Это $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{5\pi}{6}$ (или $x = \frac{7\pi}{6}$).

Значения $\sin x$ меньше $-\frac{1}{2}$ находятся на дуге окружности, расположенной ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$.

Это соответствует интервалу от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$. С учетом периодичности функции синус, общее решение имеет вид:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Можно также записать ответ в положительных углах: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2x - 5\cos x + 1 > 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$, чтобы привести неравенство к одной функции:

$2(1 - \cos^2x) - 5\cos x + 1 > 0$

$2 - 2\cos^2x - 5\cos x + 1 > 0$

$-2\cos^2x - 5\cos x + 3 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$2\cos^2x + 5\cos x - 3 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

$2t^2 + 5t - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -\frac{12}{4} = -3$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $2t^2 + 5t - 3 < 0$ выполняется при $t_1 < t < t_2$.

Получаем неравенство: $-3 < t < \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене $t = \cos x$ и учтем ограничение $-1 \le \cos x \le 1$.

Объединяя условия $-3 < t < \frac{1}{2}$ и $-1 \le t \le 1$, получаем двойное неравенство: $-1 \le t < \frac{1}{2}$.

Таким образом, нужно решить неравенство: $-1 \le \cos x < \frac{1}{2}$.

Неравенство $\cos x \ge -1$ выполняется для всех действительных $x$. Поэтому задача сводится к решению неравенства $\cos x < \frac{1}{2}$.

Решим это неравенство с помощью единичной окружности. Найдем значения $x$, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$. Это $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$ (или $x = \frac{5\pi}{3}$).

Значения $\cos x$ меньше $\frac{1}{2}$ находятся на дуге окружности, расположенной левее прямой $x = \frac{1}{2}$.

Это соответствует интервалу от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$. С учетом периодичности функции косинус, общее решение имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

1266. 1) $\sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{3x}{2} > 0$;

2) $\cos 2x + \cos x \ge 0$.

1) Решим неравенство $ \sin\frac{3x}{2} + \cos\frac{3x}{2} > 0 $.

Для решения этого неравенства применим метод введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть неравенства на $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{3x}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{3x}{2} \right) > 0 $

Поскольку $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, мы можем переписать выражение в скобках:

$ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{3x}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{3x}{2} \right) > 0 $

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2} \sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) > 0 $

Так как $ \sqrt{2} > 0 $, мы можем разделить обе части неравенства на $ \sqrt{2} $, не меняя знака неравенства:

$ \sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) > 0 $

Функция синус положительна в первой и второй координатных четвертях. Следовательно, аргумент синуса должен удовлетворять условию:

$ 2\pi k < \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь выразим $ \frac{3x}{2} $, вычитая $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей двойного неравенства:

$ 2\pi k - \frac{\pi}{4} < \frac{3x}{2} < \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{3x}{2} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

Наконец, выразим $ x $, умножив все части неравенства на $ \frac{2}{3} $:

$ \frac{2}{3}\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) < x < \frac{2}{3}\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right) $

$ -\frac{2\pi}{12} + \frac{4\pi k}{3} < x < \frac{6\pi}{12} + \frac{4\pi k}{3} $

$ -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi k}{3}\right), k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos2x + \cos x \ge 0 $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2x = 2\cos^2x - 1 $.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$ (2\cos^2x - 1) + \cos x \ge 0 $

$ 2\cos^2x + \cos x - 1 \ge 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \cos x $. Так как область значений косинуса $ [-1, 1] $, то $ -1 \le y \le 1 $.

Неравенство принимает вид:

$ 2y^2 + y - 1 \ge 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ 2y^2 + y - 1 = 0 $ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 $

$ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $

$ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} $

Графиком функции $ f(y) = 2y^2 + y - 1 $ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $ f(y) \ge 0 $ выполняется при $ y \le -1 $ или $ y \ge \frac{1}{2} $.

Выполним обратную замену $ y = \cos x $:

$ \cos x \le -1 $ или $ \cos x \ge \frac{1}{2} $.

Рассмотрим каждое из этих неравенств:

1) $ \cos x \le -1 $. Учитывая, что $ \cos x \ge -1 $, это неравенство эквивалентно уравнению $ \cos x = -1 $. Его решениями являются $ x = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos x \ge \frac{1}{2} $. Решая это простейшее тригонометрическое неравенство (например, с помощью единичной окружности), получаем:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right] \cup \{\pi + 2\pi n\}, n \in \mathbb{Z} $.

1267. 1) $ \cos^2 x > \frac{3}{4} $;

2) $ \sin^2 x < \frac{1}{2} $.

1)

Для решения неравенства $\cos^2 x > \frac{3}{4}$ воспользуемся методом понижения степени. Применим тригонометрическую формулу $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} > \frac{3}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(1 + \cos(2x)) > 3$

$2 + 2\cos(2x) > 3$

Перенесем 2 в правую часть:

$2\cos(2x) > 3 - 2$

$2\cos(2x) > 1$

$\cos(2x) > \frac{1}{2}$

Введем новую переменную $t = 2x$. Неравенство примет вид:

$\cos t > \frac{1}{2}$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является совокупность интервалов, которые легко найти на единичной окружности. Значения косинуса (координата по оси x) больше $\frac{1}{2}$ соответствуют дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности функции косинуса, решение для $t$ записывается так:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Для решения неравенства $\sin^2 x < \frac{1}{2}$ также используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в неравенство:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos(2x) < 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\cos(2x) < 0$

Умножим неравенство на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$\cos(2x) > 0$

Сделаем замену $t = 2x$. Получим неравенство:

$\cos t > 0$

Функция косинуса принимает положительные значения в I и IV координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности, решение для $t$ будет:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти решение для $x$:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1268. Найти все решения неравенства $\cos x - \sin x - \cos 2x > 0$ на интервале (0; 2π).

Исходное неравенство: $cos(x) - sin(x) - cos(2x) > 0$.

Для решения преобразуем неравенство. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Эту формулу можно представить в виде разности квадратов: $cos^2(x) - sin^2(x) = (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x))$.

Подставим это выражение в исходное неравенство: $cos(x) - sin(x) - (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) > 0$

Теперь вынесем общий множитель $(cos(x) - sin(x))$ за скобки: $(cos(x) - sin(x))(1 - (cos(x) + sin(x))) > 0$ $(cos(x) - sin(x))(1 - cos(x) - sin(x)) > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов на заданном промежутке $(0; 2\pi)$. Для этого найдем корни левой части, то есть решим уравнение: $(cos(x) - sin(x))(1 - cos(x) - sin(x)) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) = sin(x)$. Разделив обе части на $cos(x)$ (что возможно, так как если $cos(x)=0$, то $sin(x)=\pm1$, и равенство не выполняется), получим $tan(x) = 1$. На интервале $(0; 2\pi)$ решениями этого уравнения являются $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{4}$.

2) $1 - cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) + sin(x) = 1$. Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}sin(x)) = 1$ $\sqrt{2}(cos(x)cos(\frac{\pi}{4}) + sin(x)sin(\frac{\pi}{4})) = 1$ $\sqrt{2}cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1$ $cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Отсюда $x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Получаем две серии решений: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k$ На интервале $(0; 2\pi)$ находится только один корень из этих серий: $x_3 = \frac{\pi}{2}$.

Найденные корни $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{5\pi}{4}$ разбивают интервал $(0; 2\pi)$ на четыре промежутка. Определим знак выражения $f(x) = (cos(x) - sin(x))(1 - cos(x) - sin(x))$ на каждом из них, выбрав пробные точки.

• Интервал $(0; \frac{\pi}{4})$. Возьмем $x = \frac{\pi}{6}$.
  $cos(\frac{\pi}{6}) - sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} > 0$.
  $1 - cos(\frac{\pi}{6}) - sin(\frac{\pi}{6}) = 1 - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} < 0$.
  Знак $f(x)$: $(+) \cdot (-) = (-)$.
• Интервал $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$. Возьмем $x = \frac{\pi}{3}$.
  $cos(\frac{\pi}{3}) - sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1-\sqrt{3}}{2} < 0$.
  $1 - cos(\frac{\pi}{3}) - sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} < 0$.
  Знак $f(x)$: $(-) \cdot (-) = (+)$.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4})$. Возьмем $x = \pi$.
  $cos(\pi) - sin(\pi) = -1 < 0$.
  $1 - cos(\pi) - sin(\pi) = 1 - (-1) = 2 > 0$.
  Знак $f(x)$: $(-) \cdot (+) = (-)$.
• Интервал $(\frac{5\pi}{4}; 2\pi)$. Возьмем $x = \frac{3\pi}{2}$.
  $cos(\frac{3\pi}{2}) - sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1 > 0$.
  $1 - cos(\frac{3\pi}{2}) - sin(\frac{3\pi}{2}) = 1 - (0 - 1) = 2 > 0$.
  Знак $f(x)$: $(+) \cdot (+) = (+)$.

Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на тех интервалах, где знак выражения положителен. Это интервалы $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{5\pi}{4}; 2\pi)$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{4}; 2\pi)$.