Номер 1258, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1258. 1) $\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\text{ctg} x - \sin 2x} = \text{tg} 2x;$

2) $\frac{\text{ctg} x - \text{tg} x}{\cos x + 3\cos 2x} = \text{ctg} 2x;$

3) $\frac{\cos 3x - \sin x}{\cos 5x - \sin 3x} = 1;$

4) $\frac{\cos 3x + \sin 5x}{\cos x + \sin 3x} = -1.$

1) $\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\operatorname{ctg} x - \sin 2x} = \operatorname{tg} 2x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. $\operatorname{ctg} x$ определен $\implies \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\operatorname{tg} 2x$ определен $\implies \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\operatorname{ctg} x - \sin 2x \neq 0$.

Преобразуем знаменатель левой части уравнения:
$\operatorname{ctg} x - \sin 2x = \frac{\cos x}{\sin x} - 2\sin x \cos x = \frac{\cos x - 2\sin^2 x \cos x}{\sin x} = \frac{\cos x(1-2\sin^2 x)}{\sin x} = \frac{\cos x \cos 2x}{\sin x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\frac{\cos x \cos 2x}{\sin x}} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$
$\frac{\sin x (2\cos x + \sin^2 x)}{\cos x \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos 2x}$

С учетом ОДЗ ($\sin x \neq 0$ и $\cos 2x \neq 0$), мы можем сократить дробь на $\frac{\sin x}{\cos 2x}$:
$\frac{2\cos x + \sin^2 x}{\cos x} = 2\cos x$
Из ОДЗ следует, что $\cos x \neq 0$, иначе $\sin^2 x = 1$, и $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = -1$, а $\operatorname{tg} 2x$ был бы определен, но $\sin x = \pm 1$ при $\cos x=0$, что противоречит ОДЗ 1. Хотя, если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, тогда $\sin 2x = 0$ и $\operatorname{ctg} x = 0$, знаменатель равен 0. Итак, $\cos x \neq 0$.
Умножим обе части на $\cos x$:
$2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^2 x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$2\cos x + 1 - \cos^2 x = 2\cos^2 x$
$3\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$
$t_1 = \frac{2+4}{6} = 1$, $t_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$.

1. $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\sin x = 0$, что не входит в ОДЗ. Эти корни посторонние.
2. $\cos x = -1/3$. Это удовлетворяет всем условиям ОДЗ, так как $\sin x \neq 0$, $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{2}{9}-1 = -\frac{7}{9} \neq 0$, и знаменатель $\frac{\cos x \cos 2x}{\sin x} \neq 0$.
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x}{\cos x + 3\cos 2x} = \operatorname{ctg} 2x$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, $\cos x \neq 0$ (т.е. $\sin 2x \neq 0$), $\operatorname{ctg} 2x$ определен (т.е. $\sin 2x \neq 0$), и знаменатель $\cos x + 3\cos 2x \neq 0$.
Упростим числитель левой части:
$\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\operatorname{ctg} 2x$.
Подставим в уравнение:
$\frac{2\operatorname{ctg} 2x}{\cos x + 3\cos 2x} = \operatorname{ctg} 2x$
$\frac{2\operatorname{ctg} 2x}{\cos x + 3\cos 2x} - \operatorname{ctg} 2x = 0$
$\operatorname{ctg} 2x \left(\frac{2}{\cos x + 3\cos 2x} - 1\right) = 0$

Рассмотрим два случая:
1. $\operatorname{ctg} 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим ОДЗ. $\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k \neq 0$. Знаменатель $\cos x + 3\cos 2x = \cos x + 3 \cdot 0 = \cos x$. Для $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $\cos x \neq 0$. Значит, эти корни подходят.
2. $\frac{2}{\cos x + 3\cos 2x} - 1 = 0 \implies \cos x + 3\cos 2x = 2$.
Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$\cos x + 3(2\cos^2 x - 1) = 2$
$6\cos^2 x + \cos x - 3 = 2$
$6\cos^2 x + \cos x - 5 = 0$
Замена $t = \cos x$: $6t^2 + t - 5 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{-1+11}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
$t_2 = \frac{-1-11}{12} = -1$.
а) $\cos x = 5/6$. Это удовлетворяет ОДЗ ($\sin 2x \neq 0$ и $\cos x + 3\cos 2x = 2 \neq 0$).
$x = \pm \arccos(\frac{5}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\sin x = 0$, что не входит в ОДЗ. Корни посторонние.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos(\frac{5}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{\cos 3x - \sin x}{\cos 5x - \sin 3x} = 1$

ОДЗ: $\cos 5x - \sin 3x \neq 0$.
При условии ОДЗ, уравнение равносильно:
$\cos 3x - \sin x = \cos 5x - \sin 3x$
$\cos 3x - \cos 5x = \sin x - \sin 3x$
Применим формулы разности косинусов и синусов:
$-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2} = 2\cos\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}$
$-2\sin(4x)\sin(-x) = 2\cos(2x)\sin(-x)$
$2\sin(4x)\sin x = -2\cos(2x)\sin x$
$2\sin x (\sin 4x + \cos 2x) = 0$
$2\sin x (2\sin 2x \cos 2x + \cos 2x) = 0$
$2\sin x \cos 2x (2\sin 2x + 1) = 0$

Получаем три случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos(5\pi n) - \sin(3\pi n) = (-1)^{5n} - 0 = (-1)^n \neq 0$. Корни подходят.
2. $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos 5x - \sin 3x = \cos 5x - \cos(\frac{\pi}{2}-3x) = -2\sin(x+\frac{\pi}{4})\sin(4x-\frac{\pi}{4})$.
Подставим $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$: $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{2})$. Это выражение равно 0, если $k$ - нечетное. Значит, серия корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2m+1)\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + m\pi$ не подходит. Подходят корни при четных $k=2m$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
3. $2\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -1/2$.
$2x = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Эти корни удовлетворяют ОДЗ (проверка показывает, что знаменатель не обращается в ноль).

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\cos 3x + \sin 5x}{\cos x + \sin 3x} = -1$

ОДЗ: $\cos x + \sin 3x \neq 0$.
При условии ОДЗ, уравнение равносильно:
$\cos 3x + \sin 5x = -(\cos x + \sin 3x)$
$\cos 3x + \cos x + \sin 5x + \sin 3x = 0$
Применим формулы суммы синусов и косинусов:
$2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + 2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 0$
$2\cos 2x \cos x + 2\sin 4x \cos x = 0$
$2\cos x (\cos 2x + \sin 4x) = 0$
$2\cos x (\cos 2x + 2\sin 2x \cos 2x) = 0$
$2\cos x \cos 2x (1 + 2\sin 2x) = 0$

Получаем три случая:
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos x + \sin 3x = 0 + \sin(3(\frac{\pi}{2}+\pi n)) = \sin(\frac{3\pi}{2}+3\pi n) = -(-1)^n \neq 0$. Корни подходят.
2. $\cos 2x = 0 \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Проверка ОДЗ: $\cos x + \sin 3x = \cos x + \sin(x+2x) = \cos x + \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x$. При $\cos 2x=0$, знаменатель равен $\cos x + \cos x \sin 2x = \cos x(1+\sin 2x)$. Для $x=\frac{\pi}{4}+\pi m$ (k - четное), $\cos x \neq 0$ и $\sin 2x = 1$, так что $1+\sin 2x = 2 \neq 0$. Для $x=\frac{3\pi}{4}+\pi m$ (k - нечетное), $\cos x \neq 0$ и $\sin 2x = -1$, так что $1+\sin 2x = 0$. Значит, серия $x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$ не подходит. Подходят корни $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
3. $1 + 2\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = -1/2$.
$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Эти корни удовлетворяют ОДЗ (знаменатель не равен нулю).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.