Номер 1256, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1256. 1) $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2}\sin^2 2x;$

2) $\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4};$

3) $\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x;$

4) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x.$

1) $ \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2}\sin^2 2x $

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2(\sin x \cos x)^2 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $.

$ 1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2 2x\right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = \frac{1}{2}\sin^2 2x $

$ 1 = \frac{1}{2}\sin^2 2x + \frac{1}{2}\sin^2 2x $

$ 1 = \sin^2 2x $

Это уравнение равносильно двум уравнениям:

$ \sin 2x = 1 $ или $ \sin 2x = -1 $.

Объединяя решения, получаем $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

2) $ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4} $

Преобразуем левую часть, используя формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $.

$ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) $.

Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, а $ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x $ (как в задаче 1), получаем:

$ 1 \cdot ((1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $.

Используем формулу $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $:

$ 1 - 3\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x $.

Подставим в исходное уравнение:

$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x = \frac{1}{4} $

$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\sin^2 2x $

$ \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\sin^2 2x $

$ \sin^2 2x = 1 $

Решение этого уравнения (аналогично задаче 1):

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

3) $ \sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x $

Перенесем $ \sin^2 x $ в правую часть:

$ \sin^2 2x = \sin^2 3x - \sin^2 x $

Применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \sin^2 2x = (\sin 3x - \sin x)(\sin 3x + \sin x) $

Используем формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin 3x - \sin x = 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 2\sin x \cos 2x $

$ \sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x \cos x $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ \sin^2 2x = (2\sin x \cos 2x)(2\sin 2x \cos x) $

$ \sin^2 2x = 4\cos 2x \sin 2x (\sin x \cos x) $

Зная, что $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $:

$ \sin^2 2x = 4\cos 2x \sin 2x \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) $

$ \sin^2 2x = 2\cos 2x \sin^2 2x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$ \sin^2 2x - 2\cos 2x \sin^2 2x = 0 $

$ \sin^2 2x (1 - 2\cos 2x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin^2 2x = 0 \implies \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in Z $.

2) $ 1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } k, n \in Z $.

4) $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x $

Используем формулы понижения степени: $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} $ и $ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} $.

$ \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{1-\cos 6x}{2} + \frac{1-\cos 8x}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1+\cos 2x) + (1+\cos 4x) = (1-\cos 6x) + (1-\cos 8x) $

$ 2 + \cos 2x + \cos 4x = 2 - \cos 6x - \cos 8x $

$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ (\cos 8x + \cos 2x) + (\cos 6x + \cos 4x) = 0 $

$ 2\cos\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} + 2\cos\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $

$ 2\cos 5x \cos 3x + 2\cos 5x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos 5x $ за скобки:

$ 2\cos 5x (\cos 3x + \cos x) = 0 $

Еще раз применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках:

$ 2\cos 5x (2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0 $

$ 4\cos 5x \cos 2x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

2) $ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

3) $ \cos 5x = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5} $, где $ m \in Z $.

Заметим, что первая серия решений ($ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $) является подмножеством третьей серии (при $ m = 2+5k $). Поэтому, чтобы избежать дублирования, достаточно указать только вторую и третью серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, \text{ где } n, m \in Z $.