Страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1238. 1) $3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0;$

2) $2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0.$

1) $3\sin^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

Случай 1: $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение: $3(1) + \sin x \cdot 0 - 2(0)^2 = 0$ $3 = 0$ Получили неверное равенство. Это означает, что значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются корнями уравнения.

Случай 2: $\cos x \neq 0$. Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$: $\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение: $3\tan^2x + \tan x - 2 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. $3t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$ $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Выполним обратную замену:
a) $\tan x = -1$
$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\tan x = \frac{2}{3}$
$x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2x + 3\sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подстановка в уравнение дает: $2(1) + 3\sin x \cdot 0 - 2(0)^2 = 0$ $2 = 0$ Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $\frac{2\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

Упростим, используя $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $2\tan^2x + 3\tan x - 2 = 0$

Введем замену $t = \tan x$: $2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Вернемся к переменной $x$:
a) $\tan x = -2$
$x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\tan x = \frac{1}{2}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi k, \quad x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

1239. 1) $\sin 3x = \sin 5x;$

2) $\cos x = \cos 3x.$

1)

Дано уравнение $ \sin{3x} = \sin{5x} $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin{5x} - \sin{3x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ 2 \sin{\frac{5x-3x}{2}} \cos{\frac{5x+3x}{2}} = 0 $

$ 2 \sin{\frac{2x}{2}} \cos{\frac{8x}{2}} = 0 $

$ 2 \sin{x} \cos{4x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin{x} = 0 $

2. $ \cos{4x} = 0 $

Решим каждое уравнение.

Для первого уравнения $ \sin{x} = 0 $ решением является:

$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для второго уравнения $ \cos{4x} = 0 $ решением является:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделив обе части на 4, получим вторую серию решений:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi n $, $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение $ \cos{x} = \cos{3x} $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \cos{3x} - \cos{x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2 \sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ -2 \sin{\frac{3x+x}{2}} \sin{\frac{3x-x}{2}} = 0 $

$ -2 \sin{\frac{4x}{2}} \sin{\frac{2x}{2}} = 0 $

$ -2 \sin{2x} \sin{x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin{2x} = 0 $

2. $ \sin{x} = 0 $

Решим каждое уравнение.

Для первого уравнения $ \sin{2x} = 0 $ решением является:

$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для второго уравнения $ \sin{x} = 0 $ решением является:

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо объединить полученные решения. Заметим, что вторая серия решений ($ x = \pi k $) является подмножеством первой серии ($ x = \frac{\pi n}{2} $). Действительно, если в первой серии взять четные значения $ n $ (то есть $ n=2k $), то мы получим $ x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k $. Следовательно, первая серия решений включает в себя вторую.

Таким образом, общее решение уравнения можно записать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

1240. 1) $\cos^2 3x - \cos 3x \cos 5x = 0$;

2) $\sin x \sin 5x - \sin^2 5x = 0$.

1) Решим уравнение $ \cos^2{3x} - \cos{3x}\cos{5x} = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \cos{3x} $ за скобки:

$ \cos{3x}(\cos{3x} - \cos{5x}) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

А) $ \cos{3x} = 0 $

Б) $ \cos{3x} - \cos{5x} = 0 $

Решим уравнение А):

$ \cos{3x} = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его решения имеют вид:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Разделив на 3, получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Решим уравнение Б):

$ \cos{3x} - \cos{5x} = 0 \implies \cos{3x} = \cos{5x} $

Равенство косинусов $ \cos\alpha = \cos\beta $ выполняется, если $ \alpha = \pm\beta + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $. Применим это к нашему уравнению:

$ 3x = 5x + 2\pi k \quad $ или $ \quad 3x = -5x + 2\pi k $

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $ 3x = 5x + 2\pi k $

$ -2x = 2\pi k $

$ x = -\pi k $. Поскольку $k$ - любое целое число, это эквивалентно $ x = \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 3x = -5x + 2\pi k $

$ 8x = 2\pi k $

$ x = \frac{2\pi k}{8} = \frac{\pi k}{4}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что серия решений $ x = \pi k $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi k}{4} $ (получается при значениях $k$, кратных 4). Следовательно, из этих двух серий достаточно оставить только $ x = \frac{\pi k}{4} $.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

2) Решим уравнение $ \sin{x}\sin{5x} - \sin^2{5x} = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin{5x} $ за скобки:

$ \sin{5x}(\sin{x} - \sin{5x}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

А) $ \sin{5x} = 0 $

Б) $ \sin{x} - \sin{5x} = 0 $

Решим уравнение А):

$ \sin{5x} = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения:

$ 5x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Отсюда получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Решим уравнение Б):

$ \sin{x} - \sin{5x} = 0 \implies \sin{x} = \sin{5x} $

Равенство синусов $ \sin\alpha = \sin\beta $ выполняется, если $ \alpha = \beta + 2\pi k $ или $ \alpha = \pi - \beta + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $. Применим это к нашему уравнению:

$ x = 5x + 2\pi k \quad $ или $ \quad x = \pi - 5x + 2\pi k $

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $ x = 5x + 2\pi k $

$ -4x = 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi k}{2} $. Поскольку $k$ - любое целое число, это эквивалентно $ x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

2) $ x = \pi - 5x + 2\pi k $

$ 6x = \pi + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Объединяем все три найденные серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $

Вычислить (1241—1242).

1241.

1) $sin\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

2) $tg\left(\arccos\frac{1}{2}\right)$;

3) $tg\left(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

1) Для вычисления выражения $ \sin(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) $ сначала найдем значение $ \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} $. По определению, арккосинус числа $a$ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0, \pi] $, что $ \cos(\alpha) = a $. Таким образом, нам нужен угол $ \alpha \in [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{6} $. Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение: $ \sin(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sin(\frac{\pi}{6}) $. Значение синуса этого угла равно $ \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

2) Чтобы вычислить $ \tg(\arccos\frac{1}{2}) $, первым шагом определим значение $ \arccos\frac{1}{2} $. Это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} $. Таким углом является $ \alpha = \frac{\pi}{3} $. Далее подставляем найденный угол в выражение для тангенса: $ \tg(\arccos\frac{1}{2}) = \tg(\frac{\pi}{3}) $. Табличное значение тангенса для этого угла составляет $ \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $

3) Для вычисления $ \tg(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}) $, сначала найдем значение $ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это угол $ \alpha $ из отрезка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этот угол равен $ \alpha = \frac{\pi}{4} $. Подставив это значение в исходное выражение, получаем: $ \tg(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}) = \tg(\frac{\pi}{4}) $. Значение тангенса для угла $ \frac{\pi}{4} $ равно $ 1 $.
Ответ: $ 1 $

1242. 1) $ \sin(4\arcsin 1); $

2) $ \sin\left(3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

3) $ \cos(6\arcsin 1); $

4) $ \operatorname{tg}\left(4\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right). $

1) Вычислим $sin(4 \cdot arcsin(1))$.
По определению, $arcsin(1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.
$arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
Подставляем это значение в исходное выражение:
$sin(4 \cdot \frac{\pi}{2}) = sin(2\pi)$.
Значение $sin(2\pi)$ равно 0.
Ответ: 0

2) Вычислим $sin(3 \cdot arcsin\frac{\sqrt{3}}{2})$.
По определению, $arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.
$arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в исходное выражение:
$sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = sin(\pi)$.
Значение $sin(\pi)$ равно 0.
Ответ: 0

3) Вычислим $cos(6 \cdot arcsin(1))$.
Как и в первом пункте, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
Подставляем это значение в выражение:
$cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) = cos(3\pi)$.
Так как функция косинуса периодическая с периодом $2\pi$, то $cos(3\pi) = cos(\pi + 2\pi) = cos(\pi)$.
Значение $cos(\pi)$ равно -1.
Ответ: -1

4) Вычислим $tg(4 \cdot arccos\frac{\sqrt{2}}{2})$.
По определению, $arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.
$arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в исходное выражение:
$tg(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = tg(\pi)$.
Значение $tg(\pi)$ равно 0, так как $tg(\pi) = \frac{sin(\pi)}{cos(\pi)} = \frac{0}{-1}$.
Ответ: 0

Решить уравнение (1243—1249).

1243.

1) $ \sin 2x + 2\cos 2x = 1; $

2) $ \cos 2x + 3\sin 2x = 3. $

1) Решим уравнение $\sin(2x) + 2\cos(2x) = 1$.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой, выразив $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через тангенс угла $x$. Формулы имеют вид:

$\sin(2x) = \frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$

$\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$

Данная подстановка применима, если $2x \neq \pi + 2\pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ корнями исходного уравнения. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $2x = \pi + 2\pi k$. Тогда $\sin(2x) = 0$ и $\cos(2x) = -1$. Подставив в уравнение, получим: $0 + 2(-1) = 1$, что приводит к неверному равенству $-2 = 1$. Следовательно, значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ не являются решениями.

Подставим формулы в уравнение:

$\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)} + 2\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $1+\tan^2(x)$, который не равен нулю:

$2\tan(x) + 2(1-\tan^2(x)) = 1+\tan^2(x)$

$2\tan(x) + 2 - 2\tan^2(x) = 1 + \tan^2(x)$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$3\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tan(x)$, чтобы получить квадратное уравнение:

$3y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{2+4}{6} = 1$

$y_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $\tan(x) = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan(x) = -\frac{1}{3}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos(2x) + 3\sin(2x) = 3$.

Как и в предыдущем задании, воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t = \tan(x)$.

$\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$, $\sin(2x) = \frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$

Проверим, не теряются ли корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$). При подстановке этих значений в исходное уравнение получаем $\cos(\pi + 2\pi k) + 3\sin(\pi + 2\pi k) = -1 + 3 \cdot 0 = -1$. Так как $-1 \neq 3$, эти значения не являются корнями, и подстановка является правомерной.

Подставим формулы в уравнение:

$\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} + 3\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)} = 3$

Умножим обе части уравнения на $1+\tan^2(x)$:

$1-\tan^2(x) + 6\tan(x) = 3(1+\tan^2(x))$

$1-\tan^2(x) + 6\tan(x) = 3 + 3\tan^2(x)$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$3\tan^2(x) + \tan^2(x) - 6\tan(x) + 3 - 1 = 0$

$4\tan^2(x) - 6\tan(x) + 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$2\tan^2(x) - 3\tan(x) + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tan(x)$:

$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$

Корни:

$y_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$y_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1. Если $\tan(x) = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan(x) = \frac{1}{2}$, то $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1244. 1) $1 + 2\sin x = \sin 2x + 2\cos x$;

2) $1 + 3\cos x = \sin 2x + 3\sin x$.

1) $1 + 2\sin x = \sin 2x + 2\cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + 2\sin x - \sin 2x - 2\cos x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$1 + 2\sin x - 2\sin x \cos x - 2\cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Переставим члены и сгруппируем их следующим образом:

$(2\sin x - 2\cos x) + (1 - 2\sin x \cos x) = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Тогда выражение в скобках $1 - 2\sin x \cos x$ можно представить как квадрат разности:

$1 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$

Подставим это обратно в уравнение:

$2(\sin x - \cos x) + (\sin x - \cos x)^2 = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки:

$(\sin x - \cos x)(2 + (\sin x - \cos x)) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $\sin x - \cos x = 0$

б) $2 + \sin x - \cos x = 0$

Решим первое уравнение (а):

$\sin x = \cos x$

Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = \pm 1$, поэтому равенство $\sin x = \cos x$ не выполняется. Значит, можно разделить обе части на $\cos x \neq 0$:

$\tan x = 1$

Отсюда находим корни: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение (б):

$\sin x - \cos x = -2$

Для решения этого уравнения используем метод введения вспомогательного угла. Максимальное значение выражения $\sin x - \cos x$ равно $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, выражение $\sin x - \cos x$ не может быть равно $-2$. Более формально:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = -2$

$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = -2$

$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -2$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, а $-\sqrt{2} < -1$, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются решения уравнения (а).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + 3\cos x = \sin 2x + 3\sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + 3\cos x - \sin 2x - 3\sin x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$1 + 3\cos x - 2\sin x \cos x - 3\sin x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(3\cos x - 3\sin x) + (1 - 2\sin x \cos x) = 0$

Как и в предыдущей задаче, заменим $1 - 2\sin x \cos x$ на $(\cos x - \sin x)^2$:

$3(\cos x - \sin x) + (\cos x - \sin x)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$ за скобки:

$(\cos x - \sin x)(3 + (\cos x - \sin x)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\cos x - \sin x = 0$

б) $3 + \cos x - \sin x = 0$

Решим первое уравнение (а):

$\cos x = \sin x$

Разделив на $\cos x \neq 0$, получаем:

$\tan x = 1$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение (б):

$\cos x - \sin x = -3$

Используем метод вспомогательного угла. Максимальное значение выражения $\cos x - \sin x$ равно $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Поскольку $-3 < -\sqrt{2}$, это уравнение не имеет решений. Покажем это формально:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = -3$

$\sqrt{2}(\cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4}) = -3$

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -3$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$

Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $-\frac{3}{\sqrt{2}} < -1$, данное уравнение решений не имеет.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только решения уравнения (а).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

1245. 1) $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos(2x);$

2) $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin(2x).$

1)

Решим уравнение $ \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1 + \cos(2x) $.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя формулы сложения для синуса и косинуса:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

Применим эти формулы к слагаемым в левой части:

$ \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x $.

$ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x = \cos x $.

Далее преобразуем правую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $:

$ 1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x $.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему:

$ \cos x = 2\cos^2 x $.

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$ 2\cos^2 x - \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (2\cos x - 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

а) $ \cos x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\cos x - 1 = 0 $, что равносильно $ \cos x = \frac{1}{2} $. Решениями этого уравнения являются $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Решим уравнение $ \sin(x - \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(2x) $.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $ a\sin\theta + b\cos\theta $ можно представить как $ R\sin(\theta + \alpha) $, где $ R = \sqrt{a^2+b^2} $. В нашем случае $ a=1 $, $ b=1 $ и $ \theta = x - \frac{\pi}{4} $.

Вычисляем $ R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $. Тогда левая часть принимает вид:

$ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) $.

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, выражение можно записать как:

$ \sqrt{2}\left(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4} + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4}\right) $.

Применяя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2}\sin\left(\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin x $.

Правую часть уравнения преобразуем по формуле синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.

В результате уравнение принимает вид:

$ \sqrt{2}\sin x = 2\sin x \cos x $.

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0 $.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

а) $ \sin x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 2\cos x - \sqrt{2} = 0 $, что равносильно $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Решениями этого уравнения являются $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi k; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

1246. 1) $\cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4}$

2) $\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \frac{1}{4}$

1) Решим уравнение $\cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4}$.

Вынесем общий множитель $\sin x \cos x$ за скобки в левой части уравнения:

$\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{4}$

Воспользуемся формулами двойного угла:

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$\frac{1}{2} \sin(2x) \cdot \cos(2x) = \frac{1}{4}$

Снова применим формулу синуса двойного угла для выражения $\sin(2x) \cos(2x)$. Из формулы $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$\sin(2x) \cos(2x) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin(4x)$.

Подставим это обратно в уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(4x) = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \sin(4x) = \frac{1}{4}$

$\sin(4x) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \frac{1}{4}$.

Вынесем общий множитель $\sin x \cos x$ за скобки в левой части уравнения:

$\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \frac{1}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{2} \sin(2x) \cdot 1 = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin(\alpha) = a$ записывается как $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. Знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Получаем:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1247. 1) $ \sin^2 x + \sin^2 2x = 1; $

2) $ \sin^2 x + \cos^2 2x = 1; $

3) $ \sin 4x = 6\cos^2 2x - 4; $

4) $ 2\cos^2 3x + \sin 5x = 1. $

1) Исходное уравнение: $sin^2x + sin^22x = 1$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$. Заменим 1 в правой части уравнения:
$sin^2x + sin^22x = sin^2x + cos^2x$
Вычтем $sin^2x$ из обеих частей:
$sin^22x = cos^2x$
Перенесем все в левую часть:
$sin^22x - cos^2x = 0$
Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:
$(2sinxcosx)^2 - cos^2x = 0$
$4sin^2xcos^2x - cos^2x = 0$
Вынесем $cos^2x$ за скобки:
$cos^2x(4sin^2x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1. $cos^2x = 0 \implies cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $4sin^2x - 1 = 0 \implies sin^2x = \frac{1}{4} \implies sinx = \pm\frac{1}{2}$.
Отсюда $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^2x + cos^22x = 1$.
Заменим 1 на $sin^2x + cos^2x$:
$sin^2x + cos^22x = sin^2x + cos^2x$
$cos^22x = cos^2x$
Воспользуемся формулой понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$:
$\frac{1+cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1+cos(2x)}{2}$
$\frac{1+cos4x}{2} = \frac{1+cos2x}{2}$
$1+cos4x = 1+cos2x$
$cos4x = cos2x$
$cos4x - cos2x = 0$
Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$-2sin\frac{4x+2x}{2}sin\frac{4x-2x}{2} = 0$
$-2sin(3x)sin(x) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $sinx = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $sin3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что первая серия решений ($x = \pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{3}$ при $n=3k$). Поэтому достаточно указать только вторую серию.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin4x = 6cos^22x - 4$.
Используем основное тригонометрическое тождество, представив $4$ как $4 \cdot 1 = 4(sin^22x + cos^22x)$:
$sin4x = 6cos^22x - 4(sin^22x + cos^22x)$
$sin4x = 6cos^22x - 4sin^22x - 4cos^22x$
$sin4x = 2cos^22x - 4sin^22x$
Применим формулу синуса двойного угла $sin4x = 2sin2xcos2x$:
$2sin2xcos2x = 2cos^22x - 4sin^22x$
Разделим обе части на 2:
$sin2xcos2x = cos^22x - 2sin^22x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2sin^22x + sin2xcos2x - cos^22x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $cos2x=0$ решением. Если $cos2x=0$, то $sin^22x=1$, и уравнение принимает вид $2(1) + 0 - 0 = 2 \neq 0$. Значит, $cos2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $cos^22x$:
$2\frac{sin^22x}{cos^22x} + \frac{sin2xcos2x}{cos^22x} - \frac{cos^22x}{cos^22x} = 0$
$2tan^22x + tan2x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = tan2x$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$
Вернемся к замене:
1. $tan2x = \frac{1}{2} \implies 2x = arctan(\frac{1}{2}) + \pi k \implies x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $tan2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}arctan(\frac{1}{2}) + \frac{\pi k}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $2cos^23x + sin5x = 1$.
Применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}$ для $2cos^23x$:
$2 \cdot \frac{1+cos(2 \cdot 3x)}{2} + sin5x = 1$
$1 + cos6x + sin5x = 1$
$cos6x + sin5x = 0$
$cos6x = -sin5x$
Используем формулу приведения $sin(-\alpha) = -sin\alpha$:
$cos6x = sin(-5x)$
Теперь используем еще одну формулу приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$:
$sin(\frac{\pi}{2} - 6x) = sin(-5x)$
Равенство синусов $sinA = sinB$ выполняется в двух случаях: $A=B+2\pi k$ или $A=\pi-B+2\pi k$.
1. $\frac{\pi}{2} - 6x = -5x + 2\pi k$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi k$. Так как $k$ - любое целое, можно записать $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (заменив $-k$ на $n$), где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\frac{\pi}{2} - 6x = \pi - (-5x) + 2\pi k$
$\frac{\pi}{2} - 6x = \pi + 5x + 2\pi k$
$-11x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$-11x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{22} - \frac{2\pi k}{11}$. Так как $k$ - любое целое, можно записать $x = -\frac{\pi}{22} + \frac{2\pi m}{11}$ (заменив $-k$ на $m$), где $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{22} + \frac{2\pi m}{11}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

1248.

1) $\sin^2 x - \cos x \cos 3x = \frac{1}{4}$;

2) $\sin 3x = 3\sin x$;

3) $3\cos 2x - 7\sin x = 4$;

4) $1 + \cos x + \cos 2x = 0$.

1) Исходное уравнение: $ \sin^2 x - \cos x \cos 3x = \frac{1}{4} $.
Воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $ и формулой преобразования произведения в сумму $ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(x+3x) + \cos(x-3x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(2x)) $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{\cos(4x) + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4} $
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$ 2(1 - \cos(2x)) - 2(\cos(4x) + \cos(2x)) = 1 $
$ 2 - 2\cos(2x) - 2\cos(4x) - 2\cos(2x) = 1 $
$ 2 - 4\cos(2x) - 2\cos(4x) = 1 $
Теперь используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $:
$ 2 - 4\cos(2x) - 2(2\cos^2(2x) - 1) = 1 $
$ 2 - 4\cos(2x) - 4\cos^2(2x) + 2 = 1 $
$ 4 - 4\cos(2x) - 4\cos^2(2x) = 1 $
Приведем к стандартному квадратному виду:
$ 4\cos^2(2x) + 4\cos(2x) - 3 = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos(2x) $, где $ |t| \le 1 $:
$ 4t^2 + 4t - 3 = 0 $
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $
$ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8} $
$ t_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
$ t_2 = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} $
Корень $ t_2 = -3/2 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене: $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $.
$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin(3x) = 3\sin x $.
Используем формулу синуса тройного угла $ \sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x $.
Подставим ее в уравнение:
$ 3\sin x - 4\sin^3 x = 3\sin x $
Вычтем $ 3\sin x $ из обеих частей:
$ -4\sin^3 x = 0 $
$ \sin^3 x = 0 $
$ \sin x = 0 $
Решением этого уравнения является:
$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ 3\cos(2x) - 7\sin x = 4 $.
Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $.
Подставим в уравнение:
$ 3(1 - 2\sin^2 x) - 7\sin x = 4 $
$ 3 - 6\sin^2 x - 7\sin x = 4 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \sin x $:
$ 6\sin^2 x + 7\sin x + 1 = 0 $
Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ |t| \le 1 $:
$ 6t^2 + 7t + 1 = 0 $
Решим квадратное уравнение:
$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 $
$ t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 5}{12} $
$ t_1 = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1 $
$ t_2 = \frac{-7 + 5}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} $
Оба корня удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Возвращаемся к замене.
1. $ \sin x = -1 $
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin x = -\frac{1}{6} $
$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Так как $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, можно записать: $ x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ 1 + \cos x + \cos(2x) = 0 $.
Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через косинус: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $.
Подставим в уравнение:
$ 1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0 $
$ \cos x + 2\cos^2 x = 0 $
Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x (1 + 2\cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ 1 + 2\cos x = 0 $
$ 2\cos x = -1 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
$ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

1249. 1) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0; $

2) $ \cos x - \cos 3x = \cos 2x - \cos 4x. $

Дано тригонометрическое уравнение: $sin(x) + sin(2x) + sin(3x) = 0$.

Для решения сгруппируем первое и третье слагаемые. Это позволит применить формулу суммы синусов: $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(sin(x) + sin(3x)) + sin(2x) = 0$

Применяем формулу к выражению в скобках:

$2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{3x-x}{2} + sin(2x) = 0$

Упрощаем аргументы тригонометрических функций:

$2sin(2x)cos(x) + sin(2x) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $sin(2x)$ за скобки:

$sin(2x)(2cos(x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $sin(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:

$2x = \pi n$, где $n \in Z$ (Z - множество целых чисел).

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

2. $2cos(x) + 1 = 0$

Выразим $cos(x)$:

$2cos(x) = -1$

$cos(x) = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Так как $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Объединив решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$.

Дано тригонометрическое уравнение: $cos(x) - cos(3x) = cos(2x) - cos(4x)$.

Для решения этого уравнения удобно использовать формулу разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. Применим ее к обеим частям уравнения.

Преобразуем левую часть:

$cos(x) - cos(3x) = -2sin\frac{x+3x}{2}sin\frac{x-3x}{2} = -2sin(2x)sin(-x)$

Используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$, получаем:

$2sin(2x)sin(x)$

Преобразуем правую часть:

$cos(2x) - cos(4x) = -2sin\frac{2x+4x}{2}sin\frac{2x-4x}{2} = -2sin(3x)sin(-x)$

$2sin(3x)sin(x)$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$2sin(2x)sin(x) = 2sin(3x)sin(x)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2sin(2x)sin(x) - 2sin(3x)sin(x) = 0$

$2sin(x)(sin(2x) - sin(3x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:

1. $sin(x) = 0$

Решение этого уравнения:

$x = \pi n$, где $n \in Z$.

2. $sin(2x) - sin(3x) = 0$

$sin(2x) = sin(3x)$

Для решения этого уравнения применим формулу разности синусов $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$2sin\frac{2x-3x}{2}cos\frac{2x+3x}{2} = 0$

$2sin(-\frac{x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0$

$-2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0$

Это уравнение распадается еще на два:

a) $sin(\frac{x}{2}) = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in Z$. Заметим, что эта серия решений является подмножеством серии $x = \pi n$ (при четных значениях n), поэтому не добавляет новых корней.

b) $cos(\frac{5x}{2}) = 0$

$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Умножим обе части на 2:

$5x = \pi + 2\pi k$

Разделим на 5:

$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in Z$.

Объединяем все уникальные серии решений.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}$, где $n, k \in Z$.

Вычислить (1250–1251).

1250.

1) $\sin \left(\pi - \arcsin \frac{3}{4}\right);$

2) $\sin \left(\pi + \arcsin \frac{2}{3}\right).$

1) Для вычисления значения выражения $sin(\pi - arcsin\frac{3}{4})$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

В нашем случае, пусть $\alpha = arcsin\frac{3}{4}$.

Тогда исходное выражение можно переписать следующим образом:

$sin(\pi - arcsin\frac{3}{4}) = sin(arcsin\frac{3}{4})$.

По определению арксинуса, для любого числа $x$ из отрезка $[-1, 1]$ справедливо равенство $sin(arcsin(x)) = x$.

Так как число $\frac{3}{4}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то:

$sin(arcsin\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) Для вычисления значения выражения $sin(\pi + arcsin\frac{2}{3})$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

В данном случае, пусть $\alpha = arcsin\frac{2}{3}$.

Применим формулу к нашему выражению:

$sin(\pi + arcsin\frac{2}{3}) = -sin(arcsin\frac{2}{3})$.

Согласно определению арксинуса, для любого числа $x$ из отрезка $[-1, 1]$ выполняется равенство $sin(arcsin(x)) = x$.

Так как число $\frac{2}{3}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, мы можем записать:

$sin(arcsin\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$.

Следовательно, итоговое значение выражения равно:

$-sin(arcsin\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$

1251. 1) $\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right)$;

2) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} 2\right)$.

1) Для вычисления значения выражения $tg(\pi + \mathrm{arctg}\frac{5}{4})$ воспользуемся формулой приведения для тангенса. Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо тождество: $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = \mathrm{arctg}\frac{5}{4}$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$tg(\pi + \mathrm{arctg}\frac{5}{4}) = tg(\mathrm{arctg}\frac{5}{4})$.
Далее, по определению арктангенса, для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $tg(\mathrm{arctg}(x)) = x$.
Следовательно, $tg(\mathrm{arctg}\frac{5}{4}) = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$.

2) Для вычисления значения выражения $ctg(\frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg}(2))$ воспользуемся формулой приведения, связывающей котангенс и тангенс: $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.
В нашем случае в качестве угла $\alpha$ выступает $\mathrm{arctg}(2)$.
Подставим это значение в формулу:
$ctg(\frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg}(2)) = tg(\mathrm{arctg}(2))$.
Согласно определению арктангенса, $tg(\mathrm{arctg}(x)) = x$.
Таким образом, $tg(\mathrm{arctg}(2)) = 2$.
Ответ: $2$.

Решить уравнение (1252-1260).

1) $\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$; 2) $\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$; 3) $\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$;

4) $\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$; 5) $\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$; 6) $\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$.

1) $\frac{\sin2x}{\sin x}=0$

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} \sin2x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы: $\sin2x = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения, решением которого является серия:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем второе условие системы: $\sin x \neq 0$.

$\sin x = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, мы должны исключить из найденных решений $x = \frac{\pi k}{2}$ те, которые удовлетворяют условию $x = \pi n$.

Приравняем их, чтобы найти "запрещенные" значения $k$:

$\frac{\pi k}{2} = \pi n \implies k = 2n$.

Это означает, что $k$ не может быть четным числом. Следовательно, $k$ должно быть нечетным.

Запишем нечетное число в общем виде: $k = 2m+1$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Подставим это в наше решение для $x$:

$x = \frac{\pi (2m+1)}{2} = \frac{2\pi m + \pi}{2} = \pi m + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin3x}{\sin x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin3x = 0, \\ \sin x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\sin3x = 0$.

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из условия $\sin x \neq 0$ следует, что $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Исключим из решений $x = \frac{\pi k}{3}$ те, для которых $x = \pi n$:

$\frac{\pi k}{3} = \pi n \implies k = 3n$.

Значит, $k$ не должно быть кратно 3.

Решениями являются серии $x = \frac{\pi k}{3}$ для $k$, не делящихся на 3. Это можно записать как две серии, взяв остатки от деления на 3, которые не равны 0 (то есть 1 и 2):

Если $k = 3m+1$, то $x = \frac{\pi(3m+1)}{3} = \pi m + \frac{\pi}{3}$.

Если $k = 3m+2$, то $x = \frac{\pi(3m+2)}{3} = \pi m + \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, x = \frac{2\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{\cos2x}{\cos x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos2x = 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos2x = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из условия $\cos x \neq 0$ следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, есть ли среди наших решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ "запрещенные" значения:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части на $\frac{4}{\pi}$:

$1 + 2k = 2 + 4n \implies 2k - 4n = 1 \implies 2(k-2n) = 1$.

Слева стоит четное число, а справа — нечетное. Это равенство невозможно для целых $k$ и $n$. Значит, ни одно из решений не совпадает с исключаемыми значениями. Все найденные решения подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\cos3x}{\cos x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos3x = 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos3x = 0$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Из условия $\cos x \neq 0$ следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $k$, которые нужно исключить:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части на $\frac{6}{\pi}$:

$1 + 2k = 3 + 6n \implies 2k = 2 + 6n \implies k = 1 + 3n$.

Значит, $k$ не должно иметь вид $3n+1$.

Остаются значения $k$ вида $3m$ и $3m+2$:

Если $k = 3m$, то $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3m)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m$.

Если $k = 3m+2$, то $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3m+2)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi m$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi m, x = \frac{5\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

5) $\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x = 0, \\ \sin 5x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\sin x = 0$.

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим условие $\sin 5x \neq 0$, подставив в него найденные решения:

$\sin(5(\pi k)) = \sin(5\pi k)$.

Поскольку $5k$ является целым числом для любого целого $k$, $\sin(5\pi k)$ всегда равен 0.

Таким образом, для любого решения уравнения $\sin x = 0$ знаменатель $\sin 5x$ также обращается в нуль. Это противоречит условию $\sin 5x \neq 0$. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: Нет решений.

6) $\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = 0, \\ \cos 7x \neq 0. \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $\cos 7x \neq 0$, подставив в него найденные решения:

$7x = 7(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{7\pi}{2} + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + 3\pi + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + (3+7k)\pi$.

Пусть $m = 3+7k$. Поскольку $k$ - целое число, $m$ также является целым числом.

Тогда $\cos(7x) = \cos(\frac{\pi}{2} + m\pi)$. Значение косинуса для таких углов всегда равно 0.

Это противоречит условию $\cos 7x \neq 0$. Таким образом, ни одно из значений $x$, при которых $\cos x = 0$, не является решением исходного уравнения. Решений нет.

Ответ: Нет решений.

1253. 1) $ \cos x \sin 5x = -1; $

2) $ \sin x \cos 3x = -1. $

1) $\cos x \sin 5x = -1$

Произведение двух тригонометрических функций, косинуса и синуса, равно -1. Поскольку значения функций $\cos x$ и $\sin 5x$ принадлежат отрезку $[-1, 1]$, их произведение может быть равно -1 только в двух случаях, когда модули множителей равны 1:

1. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \sin 5x = -1 \end{array} \right.$
2. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x = -1 \\ \sin 5x = 1 \end{array} \right.$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Случай 1:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \sin 5x = -1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\cos x = 1$ находим решения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение системы, чтобы проверить, выполняются ли они одновременно:

$\sin(5 \cdot (2\pi n)) = \sin(10\pi n)$

Поскольку $10\pi n$ является целым кратным $2\pi$, значение синуса от этого аргумента всегда равно 0:

$\sin(10\pi n) = 0$

Однако, по условию второго уравнения, должно выполняться равенство $\sin 5x = -1$. Мы получили противоречие: $0 = -1$. Следовательно, эта система не имеет решений.

Случай 2:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x = -1 \\ \sin 5x = 1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\cos x = -1$ находим решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение системы:

$\sin(5(\pi + 2\pi k)) = \sin(5\pi + 10\pi k)$

Используя периодичность синуса, получаем:

$\sin(5\pi + 10\pi k) = \sin(5\pi) = \sin(\pi + 4\pi) = \sin(\pi) = 0$

По условию второго уравнения должно выполняться равенство $\sin 5x = 1$. Мы снова получили противоречие: $0 = 1$. Следовательно, и эта система не имеет решений.

Так как ни одна из возможных систем уравнений не имеет решений, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) $\sin x \cos 3x = -1$

Аналогично первому уравнению, произведение функций $\sin x$ и $\cos 3x$, значения которых лежат в отрезке $[-1, 1]$, равно -1. Это возможно только в двух случаях:

1. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \cos 3x = -1 \end{array} \right.$
2. Система уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} \sin x = -1 \\ \cos 3x = 1 \end{array} \right.$

Рассмотрим каждую систему.

Случай 1:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1 \\ \cos 3x = -1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\sin x = 1$ находим решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение:

$\cos(3(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 6\pi n)$

Учитывая периодичность косинуса, получаем:

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 6\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

По условию второго уравнения, $\cos 3x = -1$. Получаем противоречие: $0 = -1$. Эта система не имеет решений.

Случай 2:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x = -1 \\ \cos 3x = 1 \end{array} \right.$

Из первого уравнения $\sin x = -1$ находим решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти значения $x$ во второе уравнение:

$\cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k)$

Поскольку косинус — чётная функция, а $6\pi k$ — период, имеем:

$\cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

По условию второго уравнения, $\cos 3x = 1$. Снова получаем противоречие: $0 = 1$. Эта система также не имеет решений.

Поскольку оба возможных случая не приводят к решениям, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

1254. 1) $2\cos3x = 3\sin x + \cos x;$

2) $\cos3x - \cos2x = \sin3x.$

1) $2\cos3x = 3\sin x + \cos x$

Перенесем $\cos x$ в левую часть уравнения:

$2\cos3x - \cos x = 3\sin x$

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x$.

$2(4\cos^3x - 3\cos x) - \cos x = 3\sin x$

$8\cos^3x - 6\cos x - \cos x = 3\sin x$

$8\cos^3x - 7\cos x = 3\sin x$

Вынесем $\cos x$ за скобки в левой части:

$\cos x(8\cos^2x - 7) = 3\sin x$

Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$. Тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin x = \pm 1$.
Левая часть уравнения обращается в 0, а правая в $3(\pm 1) = \pm 3$. Так как $0 \neq \pm 3$, то значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются решениями уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x \neq 0$:

$8\cos^2x - 7 = \frac{3\sin x}{\cos x}$

$8\cos^2x - 7 = 3\tan x$

Используем формулу, связывающую косинус и тангенс: $\cos^2x = \frac{1}{1+\tan^2x}$. Сделаем замену $t = \tan x$:

$8\frac{1}{1+t^2} - 7 = 3t$

Домножим обе части на $(1+t^2)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$8 - 7(1+t^2) = 3t(1+t^2)$

$8 - 7 - 7t^2 = 3t + 3t^3$

$1 - 7t^2 = 3t + 3t^3$

Получаем кубическое уравнение относительно $t$:

$3t^3 + 7t^2 + 3t - 1 = 0$

Попробуем найти целые или рациональные корни. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{3}$.
Проверкой убеждаемся, что $t=-1$ является корнем: $3(-1)^3 + 7(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -3 + 7 - 3 - 1 = 0$.
Разделим многочлен $3t^3 + 7t^2 + 3t - 1$ на $(t+1)$:

$(3t^3 + 7t^2 + 3t - 1) : (t+1) = 3t^2 + 4t - 1$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(t+1)(3t^2+4t-1) = 0$

Отсюда получаем совокупность уравнений:

1) $t+1 = 0 \Rightarrow t_1 = -1$

2) $3t^2+4t-1 = 0$. Решаем квадратное уравнение:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$

$t_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Теперь вернемся к замене $t = \tan x$:

1) $\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{-2 + \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $\tan x = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{-2 - \sqrt{7}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x = \arctan\frac{-2 + \sqrt{7}}{3} + \pi n; x = \arctan\frac{-2 - \sqrt{7}}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos3x - \cos2x = \sin3x$

Перегруппируем члены уравнения:

$\cos3x - \sin3x = \cos2x$

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ можно записать как $R\cos(\alpha - \phi)$, где $R=\sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1, b=-1$, поэтому $R=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin3x\right) = \cos2x$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:

$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos3x - \sin\frac{\pi}{4}\sin3x\right) = \cos2x$

$\sqrt{2}\cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) = \cos2x$

Чтобы упростить аргументы, сделаем замену $u = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда $x = u - \frac{\pi}{4}$.
Аргументы функций примут вид:
$3x + \frac{\pi}{4} = 3(u - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3u - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 3u - \frac{\pi}{2}$
$2x = 2(u - \frac{\pi}{4}) = 2u - \frac{\pi}{2}$
Подставим в уравнение:

$\sqrt{2}\cos\left(3u - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2u - \frac{\pi}{2}\right)$

Используя формулы приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$, получаем:

$\sqrt{2}\sin(3u) = \sin(2u)$

Раскроем синусы по формулам тройного и двойного углов:

$\sqrt{2}(3\sin u - 4\sin^3u) = 2\sin u \cos u$

Перенесем все в одну сторону и вынесем $\sin u$ за скобки:

$\sin u (\sqrt{2}(3 - 4\sin^2u) - 2\cos u) = 0$

Получаем совокупность уравнений:

1) $\sin u = 0 \Rightarrow u = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sqrt{2}(3 - 4\sin^2u) - 2\cos u = 0$
Заменим $\sin^2u = 1 - \cos^2u$ и получим квадратное уравнение относительно $\cos u$:

$\sqrt{2}(3 - 4(1-\cos^2u)) - 2\cos u = 0$

$\sqrt{2}(-1 + 4\cos^2u) - 2\cos u = 0$

$4\sqrt{2}\cos^2u - 2\cos u - \sqrt{2} = 0$

Решаем это уравнение (например, через дискриминант):
$D = (-2)^2 - 4(4\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$\cos u = \frac{2 \pm 6}{2 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{2 \pm 6}{8\sqrt{2}}$

$\cos u = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos u = \frac{-4}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Теперь найдем решения для $u$ из всех случаев:

1) $\sin u = 0 \Rightarrow u = \pi k$

2) $\cos u = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow u = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

3) $\cos u = -\frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow u = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi k$

Наконец, вернемся к переменной $x = u - \frac{\pi}{4}$:

1) $x = \pi k - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

2) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

3) $x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi k$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k; x = 2\pi k; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; x = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1251. 1) $2\cos3x \sin x + \cos x,$

2) $\cos3x - \cos2x \sin x.$

1255.

1) $\sin2x + \cos2x = 2\text{tg}x + 1;$

2) $\sin2x - \cos2x = \text{tg}x.$

1) $sin2x + cos2x = 2tgx + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется наличием тангенса в правой части. Знаменатель тангенса, $cosx$, не должен быть равен нулю.
$cosx \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Для решения этого уравнения удобно выразить все тригонометрические функции через тангенс угла $x$. Сделаем замену $t = tgx$.
Используем известные формулы выражения синуса и косинуса двойного угла через тангенс одинарного угла:
$sin2x = \frac{2tgx}{1+tg^2x} = \frac{2t}{1+t^2}$
$cos2x = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2t + 1$

Сложим дроби в левой части уравнения, так как у них одинаковый знаменатель:
$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} = 2t + 1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} - (2t + 1) = 0$
$\frac{(2t + 1 - t^2) - (2t + 1)(1+t^2)}{1+t^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $1+t^2$ всегда больше нуля при любом действительном значении $t$. Поэтому приравниваем числитель к нулю:
$(2t + 1 - t^2) - (2t + 2t^3 + 1 + t^2) = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2t + 1 - t^2 - 2t - 2t^3 - 1 - t^2 = 0$
$-2t^3 - 2t^2 = 0$
Вынесем общий множитель $-2t^2$ за скобки:
$-2t^2(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1. $t^2 = 0 \implies t = 0$
2. $t + 1 = 0 \implies t = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1. $tgx = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in Z$.

Полученные серии корней удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$).

Ответ: $\pi n, n \in Z$; $-\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in Z$.

2) $sin2x - cos2x = tgx$

ОДЗ уравнения: $cosx \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Как и в предыдущем задании, используем замену $t = tgx$ и соответствующие формулы для $sin2x$ и $cos2x$:
$sin2x = \frac{2t}{1+t^2}$
$cos2x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим выражения в уравнение:
$\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} = t$

Упростим левую часть:
$\frac{2t - (1-t^2)}{1+t^2} = t$
$\frac{2t - 1 + t^2}{1+t^2} = t$

Домножим обе части уравнения на знаменатель $1+t^2$, который не равен нулю:
$t^2+2t-1 = t(1+t^2)$
$t^2+2t-1 = t + t^3$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить кубическое уравнение:
$t^3 - t^2 - t + 1 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(t^3 - t^2) - (t - 1) = 0$
$t^2(t - 1) - 1(t - 1) = 0$
$(t^2 - 1)(t - 1) = 0$
Разложим $(t^2-1)$ по формуле разности квадратов:
$(t - 1)(t + 1)(t - 1) = 0$
$(t - 1)^2(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
1. $(t-1)^2 = 0 \implies t-1 = 0 \implies t = 1$
2. $t+1 = 0 \implies t = -1$

Выполним обратную замену $t = tgx$:
1. $tgx = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in Z$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ. Эти два семейства можно объединить в одну более компактную формулу: $x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$ или $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

1256. 1) $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2}\sin^2 2x;$

2) $\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4};$

3) $\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x;$

4) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x.$

1) $ \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2}\sin^2 2x $

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2(\sin x \cos x)^2 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $.

$ 1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2 2x\right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = \frac{1}{2}\sin^2 2x $

$ 1 = \frac{1}{2}\sin^2 2x + \frac{1}{2}\sin^2 2x $

$ 1 = \sin^2 2x $

Это уравнение равносильно двум уравнениям:

$ \sin 2x = 1 $ или $ \sin 2x = -1 $.

Объединяя решения, получаем $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

2) $ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4} $

Преобразуем левую часть, используя формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $.

$ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) $.

Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, а $ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x $ (как в задаче 1), получаем:

$ 1 \cdot ((1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $.

Используем формулу $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $:

$ 1 - 3\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x $.

Подставим в исходное уравнение:

$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x = \frac{1}{4} $

$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\sin^2 2x $

$ \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\sin^2 2x $

$ \sin^2 2x = 1 $

Решение этого уравнения (аналогично задаче 1):

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

3) $ \sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x $

Перенесем $ \sin^2 x $ в правую часть:

$ \sin^2 2x = \sin^2 3x - \sin^2 x $

Применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \sin^2 2x = (\sin 3x - \sin x)(\sin 3x + \sin x) $

Используем формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$ \sin 3x - \sin x = 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 2\sin x \cos 2x $

$ \sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x \cos x $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ \sin^2 2x = (2\sin x \cos 2x)(2\sin 2x \cos x) $

$ \sin^2 2x = 4\cos 2x \sin 2x (\sin x \cos x) $

Зная, что $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $:

$ \sin^2 2x = 4\cos 2x \sin 2x \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) $

$ \sin^2 2x = 2\cos 2x \sin^2 2x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$ \sin^2 2x - 2\cos 2x \sin^2 2x = 0 $

$ \sin^2 2x (1 - 2\cos 2x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin^2 2x = 0 \implies \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in Z $.

2) $ 1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } k, n \in Z $.

4) $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x $

Используем формулы понижения степени: $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} $ и $ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} $.

$ \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{1-\cos 6x}{2} + \frac{1-\cos 8x}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1+\cos 2x) + (1+\cos 4x) = (1-\cos 6x) + (1-\cos 8x) $

$ 2 + \cos 2x + \cos 4x = 2 - \cos 6x - \cos 8x $

$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ (\cos 8x + \cos 2x) + (\cos 6x + \cos 4x) = 0 $

$ 2\cos\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} + 2\cos\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $

$ 2\cos 5x \cos 3x + 2\cos 5x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\cos 5x $ за скобки:

$ 2\cos 5x (\cos 3x + \cos x) = 0 $

Еще раз применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках:

$ 2\cos 5x (2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0 $

$ 4\cos 5x \cos 2x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

2) $ \cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.

3) $ \cos 5x = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5} $, где $ m \in Z $.

Заметим, что первая серия решений ($ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $) является подмножеством третьей серии (при $ m = 2+5k $). Поэтому, чтобы избежать дублирования, достаточно указать только вторую и третью серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}, \text{ где } n, m \in Z $.