Номер 1238, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1238. 1) $3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0;$

2) $2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0.$

1) $3\sin^2x + \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

Случай 1: $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение: $3(1) + \sin x \cdot 0 - 2(0)^2 = 0$ $3 = 0$ Получили неверное равенство. Это означает, что значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются корнями уравнения.

Случай 2: $\cos x \neq 0$. Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$: $\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение: $3\tan^2x + \tan x - 2 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. $3t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$ $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Выполним обратную замену:
a) $\tan x = -1$
$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\tan x = \frac{2}{3}$
$x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2x + 3\sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подстановка в уравнение дает: $2(1) + 3\sin x \cdot 0 - 2(0)^2 = 0$ $2 = 0$ Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $\frac{2\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

Упростим, используя $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $2\tan^2x + 3\tan x - 2 = 0$

Введем замену $t = \tan x$: $2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Вернемся к переменной $x$:
a) $\tan x = -2$
$x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\tan x = \frac{1}{2}$
$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi k, \quad x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.