Номер 1234, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1234. 1) $2\sin^2 x + \sin x = 0;$

2) $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0;$

3) $\cos^2 x - 2\cos x = 0;$

4) $6\cos^2 x + 7\cos x - 3 = 0.$

1) $2\sin^2x + \sin x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\sin x$. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

а) $\sin x = 0$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

б) $2\sin x + 1 = 0$

$2\sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Общая формула для решений этого уравнения:

$x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2x - 5\sin x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Для его решения введем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как значения синуса лежат в промежутке $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем: $3t^2 - 5t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Теперь выполним обратную замену и проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$.

а) $t_1 = 2 \implies \sin x = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > 1$. Уравнение $\sin x = 2$ не имеет действительных решений.

б) $t_2 = -\frac{1}{3} \implies \sin x = -\frac{1}{3}$. Этот корень подходит, так как $|-\frac{1}{3}| \le 1$.

Решения уравнения $\sin x = -\frac{1}{3}$ записываются в виде:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos^2x - 2\cos x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos x$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $\cos x = 0$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = 2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1, 1]$, а $2$ не входит в этот промежуток.

Следовательно, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $6\cos^2x + 7\cos x - 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Условие для $t$: $|t| \le 1$.

После замены получаем квадратное уравнение: $6t^2 + 7t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.

Выполним обратную замену и проверим корни.

а) $t_1 = \frac{1}{3} \implies \cos x = \frac{1}{3}$. Корень подходит, так как $|\frac{1}{3}| \le 1$.

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $t_2 = -\frac{3}{2} \implies \cos x = -\frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{3}{2} < -1$. Уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.