Номер 1239, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1239. 1) $\sin 3x = \sin 5x;$

2) $\cos x = \cos 3x.$

1)

Дано уравнение $ \sin{3x} = \sin{5x} $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \sin{5x} - \sin{3x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \cos{\frac{\alpha+\beta}{2}} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ 2 \sin{\frac{5x-3x}{2}} \cos{\frac{5x+3x}{2}} = 0 $

$ 2 \sin{\frac{2x}{2}} \cos{\frac{8x}{2}} = 0 $

$ 2 \sin{x} \cos{4x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin{x} = 0 $

2. $ \cos{4x} = 0 $

Решим каждое уравнение.

Для первого уравнения $ \sin{x} = 0 $ решением является:

$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для второго уравнения $ \cos{4x} = 0 $ решением является:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделив обе части на 4, получим вторую серию решений:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pi n $, $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение $ \cos{x} = \cos{3x} $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \cos{3x} - \cos{x} = 0 $

Воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2 \sin{\frac{\alpha+\beta}{2}} \sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ -2 \sin{\frac{3x+x}{2}} \sin{\frac{3x-x}{2}} = 0 $

$ -2 \sin{\frac{4x}{2}} \sin{\frac{2x}{2}} = 0 $

$ -2 \sin{2x} \sin{x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin{2x} = 0 $

2. $ \sin{x} = 0 $

Решим каждое уравнение.

Для первого уравнения $ \sin{2x} = 0 $ решением является:

$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для второго уравнения $ \sin{x} = 0 $ решением является:

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо объединить полученные решения. Заметим, что вторая серия решений ($ x = \pi k $) является подмножеством первой серии ($ x = \frac{\pi n}{2} $). Действительно, если в первой серии взять четные значения $ n $ (то есть $ n=2k $), то мы получим $ x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k $. Следовательно, первая серия решений включает в себя вторую.

Таким образом, общее решение уравнения можно записать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.