Номер 1235, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1235. 1) $6\sin^2x - \cos x + 6 = 0$;

2) $8\cos^2x - 12\sin x + 7 = 0$.

1) $6\sin^2x - \cos x + 6 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, чтобы выразить $\sin^2x$ через $\cos^2x$: $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$6(1 - \cos^2x) - \cos x + 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6 - 6\cos^2x - \cos x + 6 = 0$
$-6\cos^2x - \cos x + 12 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$6\cos^2x + \cos x - 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$ (так как область значений косинуса от $-1$ до $1$).
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$6t^2 + t - 12 = 0$

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$:
$t_1 = \frac{4}{3} > 1$, следовательно, этот корень не подходит.
$t_2 = -\frac{3}{2} = -1.5 < -1$, следовательно, этот корень также не подходит.
Так как оба корня квадратного уравнения не принадлежат отрезку $[-1, 1]$, то уравнения $\cos x = \frac{4}{3}$ и $\cos x = -\frac{3}{2}$ не имеют решений.

Ответ: нет решений.

2) $8\cos^2x - 12\sin x + 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции.
Подставим это выражение в уравнение:
$8(1 - \sin^2x) - 12\sin x + 7 = 0$

Раскроем скобки и упростим:
$8 - 8\sin^2x - 12\sin x + 7 = 0$
$-8\sin^2x - 12\sin x + 15 = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$8\sin^2x + 12\sin x - 15 = 0$

Выполним замену переменной. Пусть $y = \sin x$, где $|y| \le 1$.
Получим квадратное уравнение:
$8y^2 + 12y - 15 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 144 + 480 = 624$.
Найдем корни для $y$:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{624}}{2 \cdot 8} = \frac{-12 \pm \sqrt{16 \cdot 39}}{16} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{39}}{16} = \frac{4(-3 \pm \sqrt{39})}{16} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{4}$

Получаем два корня:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{39}}{4}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|y| \le 1$.
Для $y_1$: так как $6^2=36$ и $7^2=49$, то $6 < \sqrt{39} < 7$. Тогда $3 < -3 + \sqrt{39} < 4$. Следовательно, $\frac{3}{4} < \frac{-3 + \sqrt{39}}{4} < 1$. Этот корень подходит, так как он принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Для $y_2$: так как $\sqrt{39} > 6$, то $-3 - \sqrt{39} < -9$. Следовательно, $\frac{-3 - \sqrt{39}}{4} < \frac{-9}{4} = -2.25$. Этот корень не подходит, так как он меньше $-1$.

Возвращаемся к замене. Нам нужно решить уравнение:
$\sin x = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$
Общее решение этого уравнения имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{-3 + \sqrt{39}}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{-3 + \sqrt{39}}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.