Номер 1231, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1231. 1) $2\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$;

2) $1 - \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 0$;

3) $3 + 4\sin(2x + 1) = 0$;

4) $5\sin(2x - 1) - 2 = 0$.

1) $2\sin(3x-\frac{\pi}{4}) + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть и разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить синус:
$2\sin(3x-\frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(3x-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(y) = a$. Общее решение для него: $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 3x-\frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$3x-\frac{\pi}{4} = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$
$3x-\frac{\pi}{4} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 - \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = 0$
Выразим синус:
$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\sin(y) = 1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + 4\sin(2x + 1) = 0$
Выразим синус:
$4\sin(2x + 1) = -3$
$\sin(2x + 1) = -\frac{3}{4}$
Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ есть $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 2x+1$ и $a = -\frac{3}{4}$.
$2x + 1 = (-1)^k \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi k$
Используем свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:
$2x + 1 = (-1)^k (-\arcsin(\frac{3}{4})) + \pi k$
$2x + 1 = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$2x = -1 + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{1}{2} + (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin(\frac{3}{4}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2} + (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin(\frac{3}{4}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $5\sin(2x - 1) - 2 = 0$
Выразим синус:
$5\sin(2x - 1) = 2$
$\sin(2x - 1) = \frac{2}{5}$
Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ есть $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 2x - 1$ и $a = \frac{2}{5}$.
$2x - 1 = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi k$
Выразим $x$:
$2x = 1 + (-1)^k \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{1}{2} + (-1)^k \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{1}{2} + (-1)^k \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.