Номер 1225, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1225. 1) $\sqrt{2} \cos 2x \le 1$;

2) $2 \sin 3x > -1$.

1)

Решим неравенство $\sqrt{2}\cos{2x} \le 1$.

Сначала разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\cos{2x} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель в правой части:

$\cos{2x} \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Тогда неравенство примет вид:

$\cos{t} \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются значения $t$, которые на единичной окружности соответствуют точкам с абсциссой, меньшей или равной $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos{t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, искомые значения $t$ лежат в промежутке от $\frac{\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), общее решение для $t$ будет:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 2x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi}{8} + \pi k \le x \le \frac{7\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{7\pi}{8} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $2\sin{3x} > -1$.

Разделим обе части неравенства на 2:

$\sin{3x} > -\frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид:

$\sin{t} > -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются значения $t$, которые на единичной окружности соответствуют точкам с ординатой, большей $-\frac{1}{2}$.

Найдем углы, для которых $\sin{t} = -\frac{1}{2}$. Это $t = -\frac{\pi}{6}$ и $t = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.

Следовательно, искомые значения $t$ лежат в интервале от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.

Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), общее решение для $t$ будет:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.