Номер 1218, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (1218–1220).

1218. 1) $ \begin{cases} \cos(x + y) = 0, \\ \cos(x - y) = 1; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2}; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2}, \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2}; \end{cases} $ 4) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4}. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \cos(x + y) = 0 \\ \cos(x - y) = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем:

$x + y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения получаем:

$x - y = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x - y = 2\pi n \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y) - (x - y) = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - 2\pi n$

$2y = \frac{\pi}{2} + \pi k - 2\pi n$

$y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Используем формулы синуса суммы и разности: $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$.

Сложим два уравнения системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$\sin(x + y) = 0$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

$\sin(x - y) = -1$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x + y = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Сложим уравнения новой системы, чтобы найти $x$:

$2x = \pi k - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$2y = \pi k - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi k + \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$\sin(x + y) = 1$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

$\sin(x - y) = 0$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x - y = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Сложим уравнения новой системы:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k - \pi n$

$y = \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}, y = \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{cases} $

Используем формулы косинуса суммы и разности: $\cos(a \mp b) = \cos a \cos b \pm \sin a \sin b$.

Сложим два уравнения системы:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\cos(x - y) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$\cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\cos(x + y) = 0$

Из полученных уравнений имеем:

$x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - y = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{2} + \pi n - \frac{\pi}{6} - 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Случай 2: $x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{6} - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Ответ: $( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k )$ и $( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.